用結(jié)構(gòu)化思維推理數(shù)的概念本質(zhì)的一致性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出：“初步體會(huì)數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí)。”分?jǐn)?shù)作為數(shù)概念大家族中的重要一員，是對(duì)整數(shù)意義的進(jìn)一步擴(kuò)充，是在現(xiàn)實(shí)生活情境中當(dāng)整數(shù)無(wú)法精準(zhǔn)表達(dá)的情況下、在客觀需求的推動(dòng)下產(chǎn)生的數(shù)的一種新形式。分?jǐn)?shù)與整數(shù)相比，應(yīng)用的范圍不同、適用的場(chǎng)景不同，具體的計(jì)數(shù)方法和進(jìn)制不同，但是從數(shù)的概念的本質(zhì)上來(lái)講，它們是一致的，用結(jié)構(gòu)化思維去推理分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)概念本質(zhì)的一致性，是學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意

義”這一課的核心任務(wù)。

一、紛繁復(fù)雜的分?jǐn)?shù)不容易理解

德國(guó)有句諺語(yǔ)：用“掉到分?jǐn)?shù)里去了”來(lái)形容一個(gè)人陷人絕境。由此可見(jiàn)，與整數(shù)相比，分?jǐn)?shù)是復(fù)雜的，甚至有學(xué)生認(rèn)為分?jǐn)?shù)不是一個(gè)數(shù)，而是兩個(gè)數(shù)。深入研究我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，根據(jù)不同的實(shí)際情況和應(yīng)用場(chǎng)景，分?jǐn)?shù)至少有以下四重含義：

分?jǐn)?shù)的四重含義，往往在同一個(gè)場(chǎng)景中互相交疊，讓人一不小心就誤人歧途。由此可見(jiàn)，小學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)（尤其是要深入理解其本質(zhì)含義）確實(shí)是一件艱難的事情。

二、分?jǐn)?shù)歸根結(jié)底仍然是一種數(shù)

無(wú)論分?jǐn)?shù)如何復(fù)雜，但歸根結(jié)底它還是一種數(shù)，它是數(shù)概念這個(gè)大家族中的一員。既然如此，整數(shù)所具備的計(jì)數(shù)原理，分?jǐn)?shù)也同樣具備。這就為學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義”中理解數(shù)概念本質(zhì)的一致性，提供了理論依據(jù)。

通過(guò)仔細(xì)深入地解讀教材文本發(fā)現(xiàn)，我們其實(shí)更應(yīng)該脫離分?jǐn)?shù)所在的具體情境或應(yīng)用場(chǎng)景，把它當(dāng)作一個(gè)純粹的數(shù)來(lái)進(jìn)行研究。此時(shí)，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)原理仍然和整數(shù)、小數(shù)的計(jì)數(shù)原理是一致的。無(wú)非就是要做好兩件事：第一是確定計(jì)數(shù)單位；第二是弄清楚一個(gè)分?jǐn)?shù)中所含有的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

基于這樣的認(rèn)識(shí)，我們把結(jié)構(gòu)化思維助力類比推理作為教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”這一課的基本思路。

三、數(shù)概念一致性的結(jié)構(gòu)化解析

結(jié)合本工作室對(duì)“分?jǐn)?shù)的意義”這一課的多輪打磨過(guò)程，對(duì)分?jǐn)?shù)意義的結(jié)構(gòu)化解析探索和研磨中的一些心得分享如下：

（一）分?jǐn)?shù)的外部形態(tài)結(jié)構(gòu)化

小學(xué)生由于年齡心理特征，決定著他們的形象思維比抽象思維更發(fā)達(dá)，他們對(duì)事物的認(rèn)知總是從看到的表象開(kāi)始。所以，數(shù)學(xué)知識(shí)的外部形態(tài)是學(xué)生打開(kāi)數(shù)學(xué)世界大門的鑰匙，在小學(xué)生學(xué)習(xí)新知的過(guò)程中有著舉足輕重的作用。關(guān)于分?jǐn)?shù)的外部形態(tài)結(jié)構(gòu)化有三個(gè)層別：

一是視覺(jué)表象載體的結(jié)構(gòu)化。例如不同的香蕉在整體中總是占 ，因?yàn)槲覀兯硎镜牟糠峙c總數(shù)的關(guān)系總是“4份中的1份”。

124二是數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)的結(jié)構(gòu)化。像 些分235數(shù)，總是由分子、分母和分?jǐn)?shù)線三部分組成，結(jié)合視覺(jué)載體部分結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知過(guò)程，這些分?jǐn)?shù)都可以理解為：整體°

三是形和義聯(lián)想的結(jié)構(gòu)化。一個(gè)分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過(guò)程，通俗地講就是“先分后數(shù)（shu”。用這種動(dòng)態(tài)的思維過(guò)程去理解分?jǐn)?shù)的符號(hào)外形，再結(jié)合分?jǐn)?shù)的讀法就能夠很好地將分?jǐn)?shù)的“音”“形”“義”有機(jī)統(tǒng)一。

（二）分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)原理結(jié)構(gòu)化

認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的過(guò)程中，分?jǐn)?shù)單位的地位極其重要。它是我們數(shù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)一開(kāi)頭這一份如何數(shù)，接下來(lái)就“照這樣”數(shù)下去。如：

當(dāng)學(xué)生在遲疑片刻后大膽地?cái)?shù)出 米和 米時(shí)，他們不精 （204號(hào)其實(shí)已經(jīng)沖破了自我認(rèn)知的樊籠一原來(lái)分?jǐn)?shù)也可以和整數(shù)一樣地?cái)?shù)：“幾分之”就相當(dāng)于數(shù)整數(shù)時(shí)候的“個(gè)、十、百”這些計(jì)數(shù)單位，而“分子”才是真正要數(shù)的變量。

此時(shí)，教師趁熱打鐵帶領(lǐng)學(xué)生回顧整數(shù)的計(jì)數(shù)方法：

然后再對(duì)比今天所學(xué)，學(xué)生喜不自禁地發(fā)現(xiàn)原來(lái)一切數(shù)的認(rèn)識(shí)無(wú)非就是干好兩件事：一是確定計(jì)數(shù)的單位- 一也就是在多大尺度上開(kāi)始數(shù)數(shù)這件事；二是確定一個(gè)數(shù)中包含的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)一也就是按照標(biāo)準(zhǔn)數(shù)了幾次累加起來(lái)的總數(shù)是多少。在整數(shù)中，比較小的計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)累加太多了，可以構(gòu)建更大的計(jì)數(shù)單位來(lái)方便計(jì)數(shù)。在分4數(shù)中似乎也有類似的現(xiàn)象 米其實(shí)就是1米呀！“湯”4不同，但是“容器”是一樣的。學(xué)生在以此類推的類比推理過(guò)程中，逐步克服了對(duì)假分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)形式的整數(shù)等“異形”分?jǐn)?shù)認(rèn)知上的畏難情緒。

計(jì)數(shù)原理的結(jié)構(gòu)化是對(duì)視覺(jué)外殼結(jié)構(gòu)化的進(jìn)一步提升和內(nèi)化，至此，學(xué)生基本上達(dá)到了對(duì)分?jǐn)?shù)意義的本質(zhì)理解。

（三）分?jǐn)?shù)的應(yīng)用場(chǎng)景結(jié)構(gòu)化

學(xué)以致用是數(shù)學(xué)的重要功能價(jià)值，在不同的場(chǎng)景中，我們需要用到不同的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，諸如兩個(gè)數(shù)之間比較大小、求和、求差等問(wèn)題，學(xué)生頭腦中的固有印象就是整數(shù)的意義和運(yùn)算范疇（包括大部分用到小數(shù)的問(wèn)題也是如此）。

為了凸顯分?jǐn)?shù)在生活中解決實(shí)際問(wèn)題的特殊作用，教師特意設(shè)計(jì)了兩個(gè)用分?jǐn)?shù)表示“率”的含義的實(shí)際問(wèn)題。

第一個(gè)是發(fā)芽率問(wèn)題：

“小麗的種子只有3顆發(fā)芽，而小林的有4顆發(fā)芽，為什么小麗還那么高興呢？”用整數(shù)意義無(wú)法解決的問(wèn)題制造的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生陷人了困境，在老師的啟發(fā)下，有學(xué)生靈光乍現(xiàn)地反應(yīng)過(guò)來(lái)了“可能小林的沒(méi)有完全發(fā)芽，而小麗的完全發(fā)芽了”。

事實(shí)正是如此。由此，學(xué)生深切地感受到有一些用整數(shù)無(wú)法解決的問(wèn)題，用分?jǐn)?shù)就能完美解釋一一這就為后續(xù)學(xué)習(xí)“量”“率”對(duì)比的問(wèn)題埋下了思維的種子。

第二個(gè)問(wèn)題是糖水的含糖率問(wèn)題：

有了上面的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生學(xué)會(huì)了全面思考一糖水甜不甜，要綜合考慮糖和水之間的關(guān)系。雖然老師并未言明，但學(xué)生隱隱約約已經(jīng)感覺(jué)到了分?jǐn)?shù)不僅可以描述單個(gè)事件組成的“個(gè)例”，還能描述一類事件組成的“普例”。

用好結(jié)構(gòu)化思維，鼓勵(lì)學(xué)生大膽推理，神秘的分?jǐn)?shù)也能逐漸褪去它的面紗，讓我們能一睹它的真容。

【注：本文系昆明市教育科學(xué)研究“十四五”規(guī)劃課題“核心素養(yǎng)導(dǎo)向下小學(xué)第三學(xué)段學(xué)生數(shù)學(xué)推理意識(shí)培育的策略研究”（批號(hào)：JY202207）階段性研究成果】