一種提升均勻自由度的優化層次嵌套陣列設計

中圖分類號：TN911.72 文獻標志碼：A

Abstract：To improve the uniform degrees of freedom，an optimized hierarchical nested array is proposed in this paper.By optimizing the element layout of the subarrays of traditional nested arrays，a hierarchical array structure is constructed，which effectively diminishes the redundancy within the difference co-array and considerably raises the uniform degrees of freedom. Theoretical analysis shows that the array can provide higher uniform degrees of freedom than the traditional nested array and other sparse arrays under the same number of array elements.It can be seen from the experimental results that the array put forward herein presents significant advantages regarding the performance of direction of arrival estimation and uniform degree of freedom，thereby confirming the effectiveness and rationality of its design.

Key words：nested array; direction of arrival estimation;uniform degrees of freedom； spatial smoothing；sparse array

0 引言

域應用廣泛，均勻線性陣列（UniformLinearAr-ray，ULA）是最早應用的陣列，該陣列的配置簡單且呈線性結構.根據奈奎斯特采樣定理，一個具有波達方向估計在現代導航及雷達探測等領Q 個陣元的ULA最多只能分辨出 Q-1 個人射信源.然而，在實際工程應用中，通常需要處理數量龐大的入射信源，這就需要更多的陣元，由于ULA的陣列孔徑有限，在復雜的場景下需要配置更多的陣元，導致無法滿足高分辨和抗干擾的需求.

為了解決陣列孔徑受限等問題，研究人員提出了稀疏陣列，該陣列能夠在有限數量的物理陣元下實現更高數量的均勻自由度，為復雜場景下的波達方向估計提供了新的思路與方法.早期著名的稀疏陣列包含最小冗余陣列（MinimumRedundantAr-ray，MRA）[2]、互質陣列（Coprime Array，CA）[3]及嵌套陣列（NestedArray，NA）[4].MRA通過計算機隨機生成一組數作為陣元的位置，其通過增大相鄰陣元間距實現陣列稀疏化，從而顯著提升了陣列自由度；然而由于陣元位置具有隨機性，MRA難以用確定的數學表達式進行描述.CA的結構設計較為簡潔，然而其差分共陣中存在空洞，導致波達方向估計的性能顯著下降.NA的陣元位置可以用確切的數學表達式表達，通過將一階陣列與二階陣列進行嵌套設計，其對應的差分共陣中不存在空洞.

隨著系統性能要求的不斷提高，研究重點逐漸轉向結構更為復雜的稀疏陣列配置，以獲得更高的自由度.文獻[5]提出了兩種新型互質陣列結構：壓縮元素間距的互質陣列（CoprimeArraywithCompressed Inter-Element Spacing，CACIS）和移位子陣列的互質陣列（CoprimeArraywithDis-placedSubarrays，CADiS），通過引人壓縮因子靈活控制相鄰陣元間距，有效提升了均勻自由度，但其差分共陣中存在空洞；文獻[6」的二階增強型嵌套陣列（The Second Augmented Nested Array，ANA-2）通過調整陣元間距，在保持稀疏性的同時顯著擴展了均勻自由度，并降低了互耦效應；文獻[7］的精簡互質陣列（Thinned Coprime Array，TCA）通過剔除冗余陣元，在保持與CA相同均勻自由度的同時實現了結構優化；文獻［8]的填充互質陣列（Padded CoprimeArrays，PCAs）引人了CADiS的變體tCADiS，通過填充子陣列空洞擴展了差分共陣列的連續數段；文獻［9]的擴張嵌套陣列（DilatedNestedArrays，DNA）通過優化子陣列配置并使用最優子陣數目，顯著提升了陣列的均勻自由度；文獻［10]中無孔嵌套陣列（Nested ArraywithThreeSub-ULAs，NA-TS）采用分層嵌套的子陣列結構，實現了更高的均勻自由度；文獻[11]進一步通過重構NA子陣列，提出了一階廣義增強多子陣列嵌套陣列（GeneralizedAugmentedMulti-subarray Nested Array，GAMSNA-I），使均勻自由度得到進一步提升.

互質陣列在波達方向估計中具有重要應用價值，但其差分共陣列中的空洞問題制約了估計精度.相比之下，嵌套陣列雖避免了空洞缺陷，但其均勻自由度仍有優化空間.針對這一問題，本文基于嵌套陣列的配置特性，創新性地重構陣元排布方式，提出了一種優化層次嵌套陣列（OptimizedHi-erarchicalNestedArray，OHNA）.與傳統嵌套陣列相比，OHNA具有以下優勢：（1）采用多層結構設計，顯著提升了陣列的空間利用率；（2）具有明確的結構表達式，便于理論分析與實際應用；（3）能夠實現更高的均勻自由度，有效提升估計性能.通過理論分析和仿真實驗，驗證了該陣列的優越性能.在實際應用中，OHNA可廣泛應用于雷達探測、智能交通系統（ITS）及5G通信等領域，能夠提升多目標檢測與定位精度，為高密度信號環境下的實時處理提供可靠技術支持.

1稀疏陣列信號模型及理論基礎

假設存在一個陣元間隔為 d 的 Q 元稀疏陣列，陣元的位置集合為 …，Q} ，其中 表示人射信號的波長， Z 為整數集合.設有 U 個來自方向集{θ₁，θ₂，…，θ_U} 遠場窄帶不相關信號作用于該陣列，在 Ψ_t 時刻接收信號的模型[12]可表示為：

X（t）=As（t）+n（t）

式（1）中： A=[ω₁，ω₂，…，ω_U] 為陣列流形矩 陣； 為導向向量； s（ε_t） 為信源向量; 為噪聲向量.

接收信號 X（t） 的協方差矩陣為：

R_X=AR_SA^H+σ_n²I_Q

式（2）中： R_S 為信源的協方差矩陣； I_Q 為單位矩陣.

接收信號的協方差矩陣 R_X 通過矢量化后得到一個列向量，表示為：

式（3）中： r 為信號源功率向量； I_q 為矢量化后的噪聲向量； 為差分共陣列的陣列流形矩陣；“。\"為Khatri-Rao 積.

其對應的差分共陣列為：

如果要準確估計信號的波達方向，可以結合基于空間平滑的子空間類算法[13，14]，還可以結合基于壓縮感知[15的方法，進而提高波達方向估計的性能.

2稀疏嵌套陣列與所提出的優化層次嵌套陣列

2.1嵌套陣列配置

圖1展示了二階嵌套陣列的配置，該陣列由兩個線性陣列嵌套組成：一階陣列包含 N₁ 個陣元，陣元間距為 d ，排列緊湊；二階陣列包含 N₂ 個陣元，陣元間距為 （N₁+1）d ，間隔較大.

圖1嵌套陣列的配置

嵌套陣列的總陣元數為 N=N₁+N₂ ，其陣元位置集合以第一個物理陣元為起點，按升序排列表示為：

P={0，d，…，（N₁-1）d，N₁d，…，

（（N₂-1）（N₁+1）-1）d}

根據式（5），通過對集合元素求差并去除重復項，可得到嵌套陣列的差分共陣列.由于該差分共陣列不存在空洞，能夠生成連續段.因此，差分共陣列中連續段的數目對應均勻自由度的數量，其最大值可達到 2N₂（N₁+1）-1 .這意味著嵌套陣列僅需 N₁+N₂ 個物理陣元即可在虛擬域構建一個包含 2N₂（N₁+1）-1 個虛擬陣元的均勻陣列.與物理陣列相比，虛擬域陣列顯著增加了可用陣元數量，從而大幅提升了波達方向估計性能.通過數學不等式分析，可推導出嵌套陣列實現最大均勻自由度時，一階與二階陣列的數量關系：

圖3 N₁=8 和 N_?=8 時的優化層次嵌套陣列

以7元嵌套陣列為例說明其布陣策略.如圖2所示，一階陣列的陣元位置為 {0，1，2} ，二階陣列的陣元位置為 {3，7，11，15} .通過對兩階陣列元素求差得到的差分共陣列，新增了 {4，5，6} 、{8，9，10} 和 {12，13，14} 三個連續段，填補了二階陣列的空洞.這些連續段等效于一階陣列分別向右平移4、8和12個單位，使得7個物理陣元即可實現15個均勻自由度.經過平移變換，最終可獲得一個完全連續的虛擬均勻線性陣列.

圖2 N₁=3 和 N₂=4 時的嵌套陣列

2.2 所提出的OHNA結構

受嵌套陣列布陣策略的啟發，通過重構陣元位置，提出了一種多層次陣列結構，進一步拉長差分共陣列，以此實現更高的均勻自由度.所提出的陣列OHNA滿足陣元數 N?16 ，其陣元位置集合為：

S_OHNA=S₁∪S₂∪S₃∪S₄∪S₅

式（7）中：子陣列的閉合表達式為：

根據式（7）和式（8），OHNA的陣元數為 N₁+ N₂ .圖3展示了16陣元OHNA的配置結構，其子陣列的位置分別為： S₁={0，1，3} ， S₂={8，17，26，35 44，53，62，71} ， S₃={75} ， S₄={77} ， S₅={81，82 .83}.子陣列的元素通過差分運算生成后向和前向互延遲集合，進而構建差分共陣列.顯然，所提出的陣列OHNA僅需16個物理陣元即可實現167個均勻自由度，較傳統稀疏陣列顯著提升了均勻自由度，從而有效提高了波達方向估計的分辨率.

性質1對于 N₁?8 ， N₂?8 的整數，OHNA的均勻自由度可以達到 2（N₁+1）（N₂+ 1）+5 ：

證明：由于OHNA差分共陣列中前后向互延遲集合中的元素關于位置0對稱，因此只需推導正值部分的連續數.根據式（8），子陣列元素的差分計算結果如下：

（1）通過對一階陣列進行差分運算，可得：

（2）通過對二階陣列進行差分運算，可得：

（3）通過對三階陣列進行差分運算，可得：

（4）通過對四階陣列進行差分運算，可得：

（5）通過對五階陣列進行差分運算，可得：

diff（S₅，S₅）={0，1，2}

將式 （9）～（13） 進行整合，可以得到從0到（N₂+1）（N₁+1）+2 連續的整數，利用OHNA差分共陣列的對稱性，可得該陣列均勻自由度的個數為 2（N₁+1）（N₂+1）+5 ：

證畢.

性質2當陣元數為 N=N₁+N₂ ，OHNA的均勻自由度 V 的閉合表達式為：

證明：根據文獻[16的證明思路，當OHNA的傳感器數目為 N 時，根據性質1， N=N₁+N₂ 約束下的最大自由度可以歸納為以下問題：

利用算術和幾何平均不等式（AM一GM）求解，可以得到：當N為奇數時，V=（ +6 ，當 N 為偶數時， ·

證畢.

3數值仿真實驗與分析

3.1均勻自由度

本小節選擇了六種陣列（GAMSNA-I、NA-TS、DNA、NA和ePCA）與所提出的陣列OHNA進行均勻自由度對比分析.表1列出了固定陣元數下各陣列的均勻自由度值.結果表明，OHNA的均勻自由度最高，可以達到 （N₁+1）（N₂+1）+2 ，其次是DNA、GAMSNA-1、NA-TS、NA和ePCA.

表1六種稀疏陣列陣元數與均勻自由度的關系

表2詳細列出了30、40和50陣元配置下各陣列的均勻自由度.數據分析表明，所提出的陣列OHNA在均勻自由度方面始終保持領先地位，分別達到517、887和1357.值得注意的是，隨著陣元數量的增加，OHNA的均勻自由度呈現顯著的增長趨勢，充分體現了其優越的性能和良好的可擴展性.

表2六種稀疏陣列不同陣元數下均勻自由度比較

文獻[17定義了空間效率的概念，空間效率可用于衡量稀疏陣列在單位空間內實現的均勻自由度的大小.空間效率的值越低，說明陣列均勻自由度的容量越大.空間效率 η 的數學表達式為：

圖4展示了六種稀疏陣列的空間效率隨陣元數變化的趨勢.結果表明，所提出的陣列OHNA始終保持最低的空間效率，說明其均勻自由度高于其他五種稀疏陣列，且具有最大的均勻自由度容量.

圖4不同陣元數下的空間效率

圖5不同陣列的波達方向估計

3.2 角度分辨率

本實驗采用以下參數設置：采樣快拍數為1000，信噪比為0分貝.本次實驗利用空間平滑MUSIC算法[18]探究波達方向估計的精度.圖5展示了16個陣元配置下，針對31個來波方向位于區間- 內的獨立信號源，六種陣列在某次試驗中的波達方向估計結果.實驗結果表明，ePCA和NA存在一定的角度估計偏差，相比之下，OHNA、GAMSNA-I、DNA和NA-TS則能夠更為精確地估計出信號源的來波方向.

圖6展示了16個陣元配置下，針對27個入射角度位于- °范圍內的獨立信號源，所提出陣列OHNA的歸一化功率譜.根據圖6所示，OHNA能夠精確地區分并識別所有人射的信號源，這一結果表明該陣列具備出色的波達方向估計性能.

圖6 OHNA的空間譜

3.3波達方向估計性能分析

文獻[19使用均方根誤差采用了均方根誤差作為評估稀疏陣列波達方向估計精度的一項綜合性指標，它的數學表達式為：

式（17）中： I 為蒙特卡洛試驗的次數， 為第 i 次試驗估計出來的角度.本小節進行了兩項實驗，分別針對動態信噪比下及動態快拍數下的均方根誤差進行了探究.實驗的具體參數配置如下：來波方向的區間設定為 -40^°～40^° ，信號間隔被設定為 3^° ，并通過執行500次蒙特卡洛模擬來確保所得結果的穩健性和可靠性.

圖7展示了均方根誤差隨信噪比變化的趨勢，其中實驗采用1000次快拍，信噪比范圍自-5分貝至20分貝，每增加5分貝作為一個測量點.通過觀察圖7可以知道隨著信噪比的逐步提升，均方根誤差顯著降低，并在信噪比達到5分貝后趨于穩定.值得注意的是，OHNA陣列均方根誤差的表現優于其他五種稀疏陣列，這一優勢歸因于OHNA差分共陣列中包含更多的連續數段，從而擴大了虛擬域陣列孔徑，增加了可利用的陣元數量，進而提升了識別多個人射信號源的能力.

圖7不同信噪比下的均方根誤差

圖8展示了均方根誤差隨快拍數變化的趨勢，實驗設置信噪比為0分貝，快拍數從200以200為步長遞增至1000.結果表明，在快拍數為200時，OHNA的均方根誤差處于中等偏上水平；但隨著快拍數增加，其誤差持續降低.值得注意的是，當快拍數達到400后，OHNA始終保持最低的均方根誤差，充分展現了其優越的性能.

圖8不同快拍數下的均方根誤差

4結論

針對嵌套陣列的移位策略，本文提出了一種優化層次嵌套陣結構，該陣列巧妙地將五階陣列嵌套在一起，顯著地擴展了虛擬陣列的孔徑，同時優化了差分共陣列中的連續數段，使之達到最優狀態.相較于現有的稀疏陣列，所提出的陣列結構展現出了更高容量的均勻自由度.同時，不僅推導出了完整的陣元位置集合，而且清晰確定了均勻自由度的數學表達式，從而給陣列性能的分析提供了堅實的理論基礎.通過深入的理論分析和仿真實驗，證實了所提陣列配置具備有效性.

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