考慮多狀態柔性嚙合的齒輪系統動態特性研究

關鍵詞：直齒輪系統；輪齒柔性嚙合；多狀態嚙合；時變參數；共存行為 中圖分類號：TH132.41 文獻標志碼：A DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202411036

Abstract：Theflexibilityofgear tethundercyclic varyingloadscaninduce meshing impactandnonlinear vibrationof gearpairs. Revealingtheultistatemeshingcharacteristicsandnonlineardynamiccharacteristicsofspurgearsystemsconsiderigtthflexibilitylaysthefoundationforthesafeandreliableoperationof transmisionsystems.Basedonthecantileverbeam theoryand gear meshingprinciples，theflexible deformationof meshing teeth iscalculated，andthecalculation methodforflexible time-varying meshingparametersofgearpairsisderived;basedonthecontactstatesandloadingconditionsofthegearpairs，extractthecharac teristics of multi-state flexible meshing，and anonlineardynamic modelof the spur gearsystem with multi-status flexible meshing isestablished;studytheevolutionlawsofflexibletime-varyingmeshingparametersandthedistributioncharacteristicsofflexible deformationofgearteethudermultiparameterscorrelation，anduncovertheglobalbifurcatioandchaoscharacteristicsofthesys temwhentheteethflankclearancechanges.Theresultsidicatethattheflexibilityofthegeartethreducesthedoubleteethmes ingarea，fectsthemesingparametersandmultistatusmeshingcharacteristicsofthegearsystem，andinducesoutof-liemesh ingofthegearpair；thevariationofteeth flankclearancecauses thecoexistenceofperiodicmotionsandchaoticmotions，andincomplete bifurcationunder multiple initialconditions is the fundamental cause forsuch dynamic behavir coexistence.

Keywords： spurgearsystem;flexibilityteeth engagement;multi-status engagement;time-varyingparameters;coexistencebehavior

齒輪作為重要的機械傳動元件，能夠高效地傳遞動力和運動，被廣泛應用于各種機械裝備[1-2]。在齒輪嚙合過程中，輪齒柔性是必然存在的，而這種柔性所引發的變形會致使嚙合過程偏離理論位置。研究考慮輪齒柔性的外嚙合直齒輪系統多狀態嚙合非線性動力學行為，對提高齒輪系統傳動性能和穩定運行具有重要意義。

近年來，國內外學者考慮輪齒柔性，研究擴展齒接觸效應和結構耦合效應等對齒輪系統傳動性能的影響。如LIU等[34提出考慮輪齒柔性的等效基圓半徑，研究了齒距偏差對直齒圓柱齒輪系統分岔與混沌特性的影響。莫帥等[5-6]研究了齒圈柔性和時變嚙合剛度等因素對非線性動力學模型的影響。XIE等建立了考慮齒體耦合柔度和齒形誤差的時變嚙合剛度模型。陳淵釗等8將機械臂等效為懸臂梁模型，采用浮動坐標系法建立柔性大變形梁的動力學模型。XU等9計算了考慮擴展齒接觸的內嚙合齒輪副的時變嚙合剛度，并對基體剛度進行了修正。ZHENG等[10]建立一種將擴展齒面接觸和齒輪非線性動力學相結合的模型，擴展了目前流行的圓角基礎剛度的應用范圍。LI等[11]揭示擴展齒接觸和齒輪鄰齒間的耦合效應對齒輪系統分岔特性的影響。姚廷強等[12]建立了考慮軸承外圈結構彈性變形的多體接觸動力學模型。CHEN等[13]提出了一種考慮單個輪齒柔性變形、齒體變形、輪齒局部接觸變形和相鄰輪齒受載變形的直齒圓柱齒輪系統改進的動力學模型。以上模型考慮的因素越來越全面，但關于輪齒柔性變形對時變嚙合參數（如嚙合點半徑、嚙合點壓力角、曲率半徑、時變嚙合剛度和載荷分配系數等）影響的研究少有文獻報道，嚙合參數計算模型的精確程度，直接決定著齒輪系統動力學分析與評價模型準確與否。

基于以上分析，本文構建了考慮輪齒柔性變形的齒輪副時變嚙合參數計算模型，并提取了多狀態柔性嚙合的特征，最終建立了考慮多狀態柔性嚙合的齒輪系統非線性動力學模型，揭示了柔性嚙合參數的演化規律和多狀態嚙合的齒輪系統非線性動態特性。

1齒輪副輪齒柔性時變嚙合參數

齒輪輪齒在動載荷和交變應力作用下的柔性變形包括：彎曲變形、軸向壓縮變形、剪切變形、赫茲接觸變形和基體變形，這些變形的矢量合成形成輪齒綜合柔性變形，對齒輪副的嚙合參數（如嚙合點半徑、嚙合點壓力角、嚙合點曲率半徑、重合度等）產生影響，進而影響時變嚙合剛度和時變載荷分配系數以及齒輪系統的多狀態嚙合非線性動力學性能。

1.1嚙合輪齒柔性變形量計算

齒輪嚙合過程中，輪齒可視為承受動載荷的懸臂梁模型，其受力如圖1所示，其中 R_bi （ i=p，g 分別代表主、從動輪）是齒輪基圓半徑； R_ti 是齒根圓半徑； F 為齒輪負載， F 可分解為 F_x 和 F_y 兩個正交分量； β_i 為分量 F_y 和作用力 F 之間的夾角； θ_bi 表示基圓上的半齒角； θ_ti 表示齒根圓上的半齒角；其余參數的物理含義詳見圖1。

考慮輪齒彎曲變形量 δ_?（ι）. 軸向壓縮變形量δ_a（t） 、剪切變形量 δ_s（t） 、赫茲接觸變形量 δ_h（t） 和基體變形量 δ_f（t） 沿嚙合線方向的綜合柔性變形量 δ_i 由下式計算可得，矢量合成圖如圖2所示。

圖1輪齒受力示意圖

Fig.1Schematic diagram of the force on the gear tooth

圖2綜合變形量合成圖

Fig.2Total deformation synthesis diagram

δ_i=δ_bi+δ_ai+δ_si+δ_hi+δ_ti

其中，根據懸臂梁的撓曲線方程可解得彎曲變形量：針對撓曲線的曲率公式 1/ρ=M/（EI）（1/ρ，M，I 和E 分別為曲率、彎矩、慣性矩和楊氏模量）積分可得δ_bi（i=p，g） ，如下式所示：

式中， θ 為齒輪角位移；中間函數 φ（x） 由下式計算可得：

其中， l，x，h 的描述詳見圖1，分別由下式計算：

l=R_bi[（β_i+θ_bi）sinβ_i+cosβ_i-cosθ_bi]

x=R_bi[cosθ-（θ_bi-θ）sinθ-cosθ_bi]

h=R_bi[（β_i+θ_bi）cosβ_i-sinβ_i]

式（1）中的壓縮變形量 δ_ai 剪切變形量 δ_si 赫茲接觸變形量 δ_hi 和基體變形量 δ_ti 根據力與剛度的關系計算可得，壓縮剛度、剪切剛度、赫茲接觸剛度、基體剛度詳細計算見文獻[2]，考慮輪齒受載荷力 F ，則 δ_ai，δ_si，δ_hi 和 δ_ti 由下式計算可得：

式中， μ 為泊松比； α 為壓力角； b 為齒寬； L^*，M^*，P^* 、Q^* 為基體變形修正系數； u_fi 和 的描述見圖1，以上參數詳細計算見文獻[1；式（2）、（7）和（8）中的積分上下限由以下式子計算可得：

式中， h_a 為齒頂高系數； 為刀尖圓角半徑； z_i 為齒數。

式中， R_ci（t） 為嚙合點半徑； θ_bi 由下式計算可得：

式中， inv（?） 為漸開線函數。

1.2考慮輪齒柔性的時變嚙合參數建模

圖3為考慮輪齒柔性的齒輪副嚙合線細節圖，藍色線AD為齒輪理論嚙合線，A點和D點分別為理論嚙合線的嚙入、嚙出點；由于輪齒柔性誘發齒輪副非標準嚙合，引起系統滯后嚙入和提前嚙出，因此考慮輪齒柔性的實際嚙合線為紅色線 A₁D₁ A₁ 點和D₁ 點分別為實際嚙合線的嚙入、嚙出點。 O_p 和 O_g 為主、從動輪旋轉中心。

輪齒柔性使A點和D點偏離理論位置，因此重新計算嚙入、嚙出點的位置至關重要。 A_i 點的位置由從動輪等效齒頂圓半徑 R_ag2 確定：

式中， R_ag1 為標準齒頂圓半徑； δ₁ 為嚙入點輪齒綜合變形量； θ₁ 為 δ₁ 與 y 軸之間的夾角。

同理， D₁ 點的位置由主動輪等效齒頂圓半徑R_ap2 確定， R_ap2 由下式計算可得：

式中， R_ap1 為主動輪標準齒頂圓半徑； δ₂ 為嚙出點輪齒綜合變形量； θ₂ 為 δ₂ 與 y 軸之間的夾角（見圖3）。

直線 AO_g 與直線 A₁O_g 和直線 O_gO_p 之間的夾角分別為 γ₁ 和 γ₂

直線 A₁P 的距離由下式計算可得：

式中， R_g 為從動輪分度圓半徑。

直線 A₁P 與直線 O_gP 之間的夾角 γ₃ 由下式計算可得：

式中， d_A1P 為 A₁ 點和節點P之間的距離。

考慮輪齒柔性的齒輪副曲率半徑由下式計算可得：

式中， S_di（t）（i=p，g） 為齒輪副的曲率半徑； ω_p 為主動輪角速度； t 為時間； 和 α₃ 為齒輪等效基圓半徑和等效壓力角，分別由下式計算可得：

R_bi2=R_isin（π-γ₃）

考慮輪齒柔性的齒輪副嚙合點半徑由下式計算可得：

式中 ，R_di（t）（i=p，g） 為齒輪副的嚙合點半徑。

考慮輪齒柔性的齒輪副嚙合點壓力角由下式計算可得：

式中， α_di（t）（i=p，g） 為齒輪副的嚙合點壓力角。

輪齒柔性變形不但誘發齒輪副非標準嚙合，而且影響齒輪系統的嚙合點半徑、重合度等時變嚙合參數。圖4為齒輪重合度示意圖， ε_m 和 ε 分別為理論

重合度和考慮輪齒柔性的實際重合度，如下式所示，其余參數描述見圖3。

ε=l_A1D1/ρ_b

式中， l_A1D1 和 ?_b 分別為考慮輪齒柔性的嚙合線長度和基圓齒距。式（25）表示為：

式中， α_ai2（i=p，g） 為齒輪系統提前嚙出點、滯后嚙入點的等效齒頂圓壓力角，由下式計算可得：

1.3考慮輪齒柔性的動態嚙合參數計算

1.3.1 時變嚙合剛度

沿嚙合線方向的綜合柔性剛度 k（t） 包括彎曲剛度 k_b（t） 、剪切剛度 k_s（t） 壓縮剛度 k_a（t） 、赫茲接觸剛度 k_h（t） 、基體剛度 k_f（t） 結構體耦合剛度 k_jn 和 k_nj 表示由于輪齒 n（n=1，2 分別表示第一對輪齒和第二對輪齒）受到載荷而在輪齒 j（j=1，2 分別表示第一對輪齒和第二對輪齒）中產生的等效剛度和輪齒 j （j=1，2） 受到載荷而在輪齒 n（n=1，2） 中產生的等效剛度。綜上所述， k（t） 由下式計算可得：

式中， k_x1i（x1=b，s，a，f，h 分別表示彎曲、剪切、壓縮、基體、赫茲接觸），根據 F 的增量 ΔF 與柔性變形量δ_x1i 的增量 Δδ_x1i 之間的關系可得，如下式所示：

k_jn 和 k_nj 分別由下式計算可得：

式（30）和（31）的計算式見文獻[11]。式（30）和（31）中， β_n 和 β_j 的計算同式（12）中 β_i，β_i 見圖1，其余參數詳見文獻[9-11]。

1. 3.2 時變載荷分配系數

根據能量法計算載荷分配系數 LSR ，考慮輪齒柔性對重合度的影響，結合圖4中的區域劃分， LSR 的計算如下式所示：

式中， k_n（n=1，2） 為第 n 對嚙合輪齒的綜合柔性剛度，由式（28）計算可得。

2齒輪副柔性嚙合動力學建模

本文以外嚙合直齒輪副為研究對象，假設齒輪副為剛性支撐，考慮輪齒柔性的齒面、齒背簡化物理模型如圖5所示，本文簡化物理模型不同于理論的簡化物理模型，主要區別在于 表示主、從動輪）和k，（t）（ r=d，k 表示齒面、齒背）。

圖5中， c_g 為嚙合阻尼，由下式計算可得，計算式見文獻[10]； 為齒側間隙的一半； μ（t） 為干摩擦工況下的摩擦系數； e（t） 為動態傳遞誤差； 為齒面時變嚙合剛度， 為齒背時變嚙合剛度； ，θ_i 和 I_i（i=p，g） 分別為轉矩、轉動角位移和轉動慣量。表1為齒輪幾何參數。

式中， 5 為阻尼比（通常為定值且取值范圍為 0.03～ 0.17）; m_e 為當量質量。

2.1多狀態柔性嚙合行為劃分

輪齒柔性不但影響齒輪系統的雙齒嚙合區域而且對多狀態嚙合的邊界條件有較大的影響。考慮輪齒柔性的齒輪相對位移 運動時間 ，嚙合周期 ○重合度與齒側間隙之間的交互作用誘發齒輪系統的多狀態嚙合，根據 與 的數值關系，齒輪副多狀態柔性嚙合特征劃分為以下5種類型。

（1）單齒齒面嚙合：

（2）雙齒齒面嚙合： （2號

（3）輪齒脫嚙： （204號

（4）單齒齒背嚙合：

（5）雙齒齒背嚙合：

2.2系統多狀態柔性嚙合動力學建模

根據直齒輪副5種柔性嚙合狀態下的動力學模型及其邊界條件，通過引入嚙合力函數 F_m 、嚙合狀態函數 當量質量 m_e 、內部誤差激勵 負載 和相對加速度 ，構建了考慮輪齒柔性的5狀態嚙合模型，如下式所示：

式中， 和 分別由以下各式計算得到：

式中， 和 分別為單、雙齒嚙合狀態的方程，由下式計算可得：

式中， λ_rn（t） 和 g_m（t）（r=d，k;n=1，2） 分別為摩擦力方向系數、等效摩擦力臂； L_rn（t），λ_rn（t） 和 g_rn（t） 分別由式（32）和下式計算可得：

式中， sgn（?） 為符號函數； 和 v_kn（ξ_t） 為齒輪副的相對滑動速度，詳細計算見文獻[2]。

其中 ，g_rn（t）（r=d，k） 的詳細計算見文獻[2]。

系統固有頻率 ， k_av 為平均嚙合剛度；無量綱時間 τ=ω_nt ；無量綱嚙合頻率ω=ω_n/ω_h，ω_h 為嚙合頻率。引入特征尺寸 D_c ，系統無量綱參數如下： （2號式（34）可無量綱化為：

式中， F_m 和 h（τ，x） 為無量綱動態嚙合力函數和狀態函數，分別由下式計算可得：

式中， h_st（τ，x） 和 h_dt（τ，x） 分別為無量綱單、雙齒嚙合狀態方程，由下式計算可得：

綜上可得包含雙齒齒面嚙合、單齒齒面嚙合、雙齒齒背嚙合、單齒齒背嚙合和輪齒脫嚙的直齒圓柱齒輪系統非線性動力學無量綱歸一化表達式，如式（44）所示。

3 數值仿真與動態分析

3.1嚙合輪齒柔性變形量的變化規律

圖6和7分別為輪齒柔性變形量圖、考慮載荷分配和單雙齒嚙合的輪齒柔性變形量圖。圖6中，紅色曲線和綠色曲線為本文模型和傳統模型的主動輪柔性變形量，藍色曲線和藍綠色曲線為本文模型和傳統模型的從動輪柔性變形量，黑色曲線和粉色曲線為本文模型和傳統模型的一對輪齒副綜合柔性變形量，沿著嚙合線，主動輪柔性變形量持續增大，而從動輪柔性變形量持續減小，綜合柔性變形量先減小后增大。圖7中，紫色曲線和藍綠色曲線為本文模型和傳統模型考慮載荷分配的輪齒柔性變形量，橙色曲線和綠色曲線為本文模型和傳統模型考慮載荷分配和單雙齒嚙合的輪齒柔性變形量，沿著嚙合線，紫色曲線、藍綠色曲線、橙色曲線和綠色曲線先增大后減小，在單齒區域變形量趨于最大，由于雙齒區域的兩對輪齒載荷分配不均勻，故在單雙齒交替處曲線發生了跳躍。綜上，本文模型與傳統模型在趨勢上具有一致性，從而驗證了本文模型的正確性。

3.2時變嚙合參數的演化規律

圖 8～13 分別為時變的嚙合點半徑、嚙合點壓力角、曲率半徑、嚙合剛度、單雙齒嚙合和結構體耦合效應剛度、載荷分配系數。圖 8～11 中，藍色曲線和藍綠色曲線分別為考慮與不考慮輪齒柔性的主動輪嚙合點半徑、主動輪嚙合點壓力角、主動輪曲率半徑、從動輪嚙合剛度；紅色曲線和綠色曲線分別為考慮與不考慮輪齒柔性的從動輪嚙合點半徑、從動輪嚙合點壓力角、從動輪曲率半徑、主動輪嚙合剛度。沿著嚙合線，藍色曲線和藍綠色曲線不斷增大、紅色曲線和綠色曲線不斷減小，黑色曲線和粉色曲線分別為考慮與不考慮輪齒柔性的一對輪齒副綜合剛度，沿著嚙合線先增大后減小。圖12中，藍色曲線和紅色曲線為考慮和不考慮結構體耦合效應的時變嚙合剛度，藍綠色曲線為不考慮輪齒柔性的單雙齒嚙合剛度，單齒區域的輪齒剛度較小，雙齒區域的輪齒剛度較大，且在考慮輪齒柔性后雙齒區域占比減小。圖13中，紅色曲線和藍綠色曲線分別為考慮與不考慮輪齒柔性的載荷分配系數。沿著嚙合線，紅色曲線和藍綠色曲線在第1個雙齒區域先增大，單齒區域始終保持不變，第2個雙齒區域不斷減小。圖12和13中，因為雙齒區域內兩對輪齒載荷分配不均勻，所以在單雙齒切換時曲線發生跳躍現象。

從圖8～13中不難看出，考慮輪齒柔性時齒輪系統的重合度減小，進而影響嚙合點的半徑、壓力角和重合度等嚙合參數。曲線在考慮輪齒柔性后變得更加平滑，且經過與傳統模型的對比，兩對比曲線趨勢上具有一致性。

圖11嚙合剛度圖

Fig.llEngagement stiffness diagram

圖12考慮單雙齒嚙合和結構體耦合效應剛度圖 Fig.12 Stiffness diagram considering the single and double teeth engagement，and structural coupling effects

圖13載荷分配系數圖

Fig.13 Load distribution coefficient diagram

3.3參數平面上輪齒柔性變形量分布特性

圖14為壓力角和主動輪嚙合點半徑組成平面上最大柔性變形量分布圖，圖15為壓力角和主動輪曲率半徑組成平面上最大柔性變形量分布圖。圖中， R_dp（t），S_dp（t），δ 和 α 分別為主動輪的嚙合點半徑、曲率半徑、柔性變形量的幅值和壓力角。紅色區域中，輪齒發生較大變形， δ 可能導致輪齒出現非標準嚙合、斷裂和齒面磨損等病害現象；藍色區域的 δ 最小，相比紅色區域，藍色區域齒輪性能較優?？梢?， α，R_dp（Ω） 和 S_dp（t） 與 δ 的變化成正相關，在設計齒輪系統時，選擇較小的 α，R_dp（Ω） 和 時系統性能較優，此雙參數圖可對齒輪結構優化設計、性能提升提供參考。

圖14壓力角和主動輪嚙合點半徑影響的最大柔性變形量分布圖

Fig.14 Maximum flexibility deformation distribution diagraminfluenced bypressure angleand radiusof the meshing point on the driving gear

圖15壓力角和主動輪曲率半徑影響的最大柔性變形量分布圖Fig.15Maximumflexibilitydeformationdistribution diagram influenced by pressure angle and curvature radius on the driving gear

3.4系統全局非線性動態特性分析

為分析齒輪傳動系統多狀態柔性嚙合非線性動態行為，定義了1種Poincaré映射截面

結合相圖、Poincare截面圖等分析外嚙合直齒輪系統多狀態柔性嚙合特性。通過相圖（ .x?D ，系統為齒面嚙合： -D

取系統參數 ω=1.8，D∈（0，1.5]， ，分析 D 對非線性動態行為的影響。圖16為多狀態柔性嚙合的齒輪系統隨 D 變化的分岔圖和TLE圖，圖17為與圖16相對應的分岔樹狀圖，圓圈代表齒輪系統的運動類型，矩形框代表分岔點，圖18為不同 D 對應的相圖和Poincaré截面圖。圖16中，A點之前系統表現為周期1運動（P1），齒輪系統多狀態柔性嚙合交替進行；在A點時，一部分P1運動轉遷為周期3運動（Q3），系統發生不完全分岔現象；A點與B點之間，P1和Q3共存，其相軌跡和Poincare截面圖見圖18（a）；經過分岔點B后，P1運動完全轉遷為周期3運動（P3），Q3運動完全轉遷為周期5運動（P5），P3與P5共存，見圖18（b），則B為雙重分岔點，在該點附近齒輪系統運動狀態極不穩定；D點，P3和P5同時轉遷為混沌運動（QN1），隨后QN1在E點完全轉遷為周期4運動（P4）；在F點，周期4運動（P4）完全轉遷為周期2運動（P2）；在G點，P2在部分初值下轉遷為混沌運動（QN2），而在余下初值內保持原始狀態，進而引起P2與QN2共存現象，見圖18（c）；穿越H點時，QN2完全轉遷為新的周期2運動（Q2），從而導致P2和Q2的共存現象，見圖18（d）；在I點，Q2轉遷為新的混沌運動（QN3），引起P2和QN3共存，見圖18（e）；J點之后，QN3運動轉遷為新的周期3運動（H3），此時P2運動和H3共存，見圖18（f；隨后在K點，H3完全轉遷為新的周期3運動（M3），此時H3運動的拓撲結構與M3運動的拓撲結構略有不同，P2與M3共存，見圖18（g）；L點之后，齒輪系統的運動全部轉遷為M3運動。圖16中共存運動的具體分岔與演化過程可通過分岔樹狀圖清晰地揭示，如圖17所示。

圖16多狀態柔性嚙合的齒輪系統隨 D 變化的分岔圖和 TLE圖 Fig.16 Bifurcation diagram and TLE diagram of a multi status flexible meshing gear system as a function of D （204

圖17分岔樹狀圖

Fig.17Bifurcation tree diagram

圖18不同 D 對應的相圖和Poincare截面圖Fig.l8Phase and Poincaré section diagrams for differentvaluesof D

綜上所述，當間隙 D 較小時，系統表現為穩定的P1運動；隨著 D 的增大，系統動力學行為相對復雜，且出現周期運動與混沌運動共存現象，發現非完全分岔是引起系統運動共存的根本原因，如分岔點A、B和G；當間隙 D 較大時，系統呈現出穩定的M3運動，但振幅較大，系統振動強度較大。

4結論

本文首先計算了嚙合輪齒柔性變形量，進而推導了考慮輪齒柔性的時變嚙合參數，最終構建了多狀態柔性嚙合非線性動力學模型，揭示輪齒柔性對嚙合參數的影響規律，并討論了齒輪系統隨齒側間隙 D 變化的全局分岔與混沌特性，具體結論如下：

（1）輪齒柔性減小了雙齒嚙合區域，進而影響重 合度、嚙合點半徑、曲率半徑、時變嚙合剛度等時變 嚙合參數。

（2）齒側間隙對齒輪系統共存響應的分岔與演化有較大的影響，隨著齒側間隙的增大，穩定的周期運動經非完全分岔產生共存響應，包括周期運動與周期運動的共存，周期運動與混沌運動的共存。當間隙較大時，盡管系統表現為穩定的周期運動，但其振幅較大，系統振動強度仍然較大，工程實際中應盡可能避免。

本文所建立的模型考慮了輪齒柔性變形，能在一定程度上反映齒輪系統的實際傳動過程，為進一步研究考慮輪齒柔性的齒輪系統沖擊碰撞特性奠定了基礎。

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第一作者：張武紅（2001一），男，碩士研究生。 E-mail：13893372691@163.com

通信作者：石建飛（1990一），男，博士，副教授。 E-mail：sjf0214286@126.com