齒輪力學超材料構筑及其性能研究

中圖分類號：TB34；O39 文獻標志碼：A DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202309024

Abstract： Mechanical metamaterials exhibit manycounterintuitive mechanical properties bychanging theirinteral geometry.We proposeamechanicalmetamaterialcomposedofgearsasbasicelements.Thegearbasedmechanicalmetamaterialproposed here is a multistable structure，whichcanbecontiuouslyconvertedbetweenvarious stablestatesthroughthe meshingofgeartethThe continuous switchingbetweenstates enables themechanicalmetamaterialtoexhibitinsitucontinuouslytunablemechanicalproper ties.Themechanicalpropertiesofthemechanicalmetamaterialswerestudiedbyusingthefiniteelementmethod.Theresultsshow thatthegearbasedmechanicalmetamaterialsexhibitedcontinuouslyadjustablesifness，variablegeneralizedshearstifss，and adjustableaccelerationtransmisibilty.Theseuniquepropertiesofmechanical metamaterialsprovidenewideas forcreating pro grammable metamaterials with insitucontinuouslyadjustable mechanicalproperties，andareexpected tobeappied inthfieldsof smart materials and engineering.

Keywords： mechanical metamaterials;gear;mechanical properties;transmissibility;continuously adjustable

力學超材料通過改變自身微觀結構，可達到均勻材料所不具備的力學性能[1-3]。近年來，先進制造技術的快速發展[4]，為超材料領域提供了堅實基礎，超材料領域進發出強大活力[5]。

CLAUSEN等結合拓撲優化，創建了一種超材料，能夠實現泊松比在 ±0.8 的范圍內調節。MA等[研究了一種折紙結構，結合試驗和數值分析，發現受到準靜態面外壓縮時，該結構可以表現出周期性的漸變剛度，并且可以通過改變幾何設計來調整其機械響應。王海瑞等8采用扭轉彈簧等效以及能量原理，對折紙超材料在折展運動中的力學行為進行了研究，分析了構型幾何參數對擴展外載荷的影響。WU等9提出了一種通過反手性結構實現二維和三維負熱膨脹超材料的方法，利用該方法可以獲得具有可調負熱膨脹的材料。WANG等[10]制造了一種輕質多材料晶格，該晶格在多個方向表現出顯著的負熱膨脹。GRIMA等[11]提出了一種超材料，并提出了一種可以實現負壓縮性的方法。陳圣兵等[12]提出一種諧振放大壓電聲學超材料，研究了其放大倍數對帶隙頻率和帶隙寬度的影響。

OVERVELDE等[13]提出了一種用于設計3D可重構超材料的設計思路。邱海等[14]對具有多穩態特性的折紙結構的非線性動力學特性進行了研究。FILIPOV等[15提出一種將折紙組裝成耦合管的方法，該方法可以將折紙剛度提高兩個數量級。JI-ANG等[16]提出了一種溫度自適應手性元器件，該元器件可以自主感知環境，并通過3D到3D形態轉換來調控光學手性。FLORIJN等[設計了一種可以通過橫向約束控制單軸壓縮響應的力學超材料。BERTOLDI等[18]對拓撲超材料進行了研究，概述了先進力學超材料的設計、創造和概念化的未來挑戰。FANG等19對具有可編程性的折紙超材料進行了研究，發現其表現出分段剛度，且分段剛度在諧波激勵下動態觸發雙穩態響應，展現出超材料豐富的動態特性。溫卓群等[20]提出了一種基于局部共振的力學超材料，通過改變超材料結構來調控減振帶隙的位置和帶寬。侯秀慧等2提出了一種可自主回彈的三維負剛度結構，分析了該結構在不同載荷作用下的吸能效果。COULAIS等[22]針對超材料設計方法，提出了一種組合策略，用于設計具有空間紋理功能的無周期性的機械超材料。BOLEY等23利用4D打印創建了由4種材料組成的多路復用雙層肋骨，能夠根據溫度對各種形狀變化進行編碼。FABER等[24提出了一種由可重構雙穩態圓頂陣列而成的力學超材料，具備可編程的多穩態形狀和可調的機械響應。

齒輪作為基本機械零件，常被用作傳動部件，是傳動的重要組成部分。近年來，隨著力學超材料的快速發展，一些學者開始嘗試以齒輪為基本元素構筑力學超材料。MEEUSSEN等[25]構建了拓撲齒輪超材料，通過控制齒輪平移以及旋轉自由度實現該超材料機械性能可調的特性。FANG等[26構建了太極齒輪力學超材料，為超材料領域拓寬了視野。MA等2]結合橢圓齒輪，對超材料中的非線性拓撲力學進行了研究。

本文專注于以齒輪為基本單元構造力學超材料，嘗試通過改變齒輪內部結構以及不同的齒輪組合形式構建力學超材料。具體地說，本文通過改變齒輪輪輻結構以及結合并聯行星齒輪組的幾何結構，提出了幾種基于齒輪材料的力學超材料，并且研究了這幾種力學超材料的力學性能和動態特性。提出了多種力學超材料的設想構型，為其工程化應用提供參考。

1力學超材料的設計理念

圖1為力學超材料的設計理念。常規材料的性能由其本構關系決定，而本構關系受微觀原子排列的影響。這意味著材料一旦被制造出來，其力學性能很難輕易改變。力學超材料旨在通過使用周期性或非周期性幾何結構來克服常規材料的局限性。

一些學者針對具有梯度剛度的超材料[28-29]進行了研究，例如圖1中的空隙彈性體超材料，但其剛度調節范圍有限。如圖1所示，以齒輪為基本單元構建的力學超材料有望實現力學性能連續可編程。

圖1力學超材料的設計理念

Fig.1 Designconcept of mechanical metamaterials

2力學超材料的構筑與性能研究

2.1基于異形輪輻齒輪構筑力學超材料

設計了一種由異形輪輻齒輪為基本元素構筑的力學超材料，通過在齒輪輪輻上構造異形孔，使輪輻沿徑向厚度產生不均勻性，使得該力學超材料具備了可調的機械性能。該力學超材料由異形輪輻齒輪組成 3×3 單元，利用輔助支架增強整體穩定性，如圖2所示。圖2中的齒輪均為直齒圓柱齒輪，基本參數如下，模數 m=1mm ，齒數 z=42 ，壓力角 α=25^° ，齒寬 b=10mm 。以中心處的齒輪作為主動齒輪，通過控制該齒輪的轉動角度 θ₁ ，使得在超材料內部的幾何結構發生改變，圖中兩種顏色齒輪的旋轉方向相反，綠色為逆時針旋轉，藍色為順時針旋轉。對于初始狀態（ θ₁=0^° ，頂部與底部齒輪姿態一致，而第二排齒輪相對于頂部逆時針旋轉 45^° ，各齒輪間相互嚙合。

利用有限元的方式（FEM對基于異形輪輻齒輪的力學超材料的力學性能進行了研究，載荷施加方式如圖3所示，底部固定，對頂部齒輪的幾何中心施加載荷。

圖3壓縮工況示意圖Fig.3Schematic diagram ofcompression conditions

隨轉動角度 θ₁ 的變化，其 y 向剛度隨之發生改變。如圖4所示，紅色虛線為變形曲線，藍色實線為剛度曲線。轉動角度 θ₁ 在 0^°～180^° 的變化過程中，該力學超材料展現出剛度連續可調的特性，其剛度K_y1 最小值為 3.3×10⁹N/m ，最大值為 5.8×10⁹N/m 并且變化周期約為 90^° ，這與異形輪輻結構以及相嚙合的兩個齒輪的轉動方向相反有關。

圖4隨 θ₁ 變化y向變形及剛度曲線

Fig.4The y-direction deformation and stiffness curveswith the variation of θ₁

由于齒輪組在承載橫向載荷時會呈現出剪切自鎖這一特點，本文也對由異形輪輻齒輪組成的力學超材料的廣義剪切剛度進行了求解。如圖5所示，求解力學超材料的廣義剪切剛度時，在最后一排異形輪輻齒輪的幾何中心施加約束，在第一排異形輪輻齒輪的幾何中心處施加橫向載荷 F_x ，廣義剪切剛度如下式所示：

K_shear/b=F_x/（Δx×b）

式中， Δx 為第一排齒輪橫向位移； b 為齒寬。得到廣義剪切剛度如圖6所示。

圖5剪切工況示意圖

Fig.5Schematic diagram of shearing conditions

圖6隨 θ₁ 變化 x 向變形及廣義剪切剛度 Fig.6The x -direction deformation and generalized shear stiffness varied with θ₁

如圖6所示（紅色虛線為變形曲線，藍色實線為廣義剪切剛度曲線），當施加橫向載荷時，由于力學超材料內部產生自鎖現象，隨角度 θ₁ 的變化，超材料整體表現出較強的廣義剪切剛度，并且廣義剪切剛度的變化周期與楊氏模量是類似的，其最小值為0.83GPa ，最大值為 2.02GPa ，體現了其廣義剪切剛度的可編程性。

2.2基于并聯行星齒輪組構筑力學超材料

除改變輪輻結構，另一思路是結合并聯行星齒輪組構筑力學超材料，如圖7所示。圖7中，太陽輪為異形輪輻齒輪，外層齒圈設置有凸臺；其余齒輪均采用漸開線齒輪，其中部分參數如下：外層行星齒輪組模數 m₁=0.4mm ，齒圈、行星輪、太陽輪的齒數分別為100、20和60；內層行星齒輪組模數 m₂= 0.2mm ，齒圈、行星輪、太陽輪的齒數分別為100、20和60，該構型中所有齒輪的壓力角均為 25^° ，齒寬為10mm 。

與前文的設計思路一樣，通過控制內層太陽輪的旋轉改變超材料內部幾何結構，進而實現力學性能的變化。如圖8所示，固定外層齒圈，改變內層太陽輪的旋轉角度 θ₂ ，即可使得超材料在不同穩態間轉換。

圖8不同角度下力學超材料示意圖Fig.8The schematic diagram of mechanical metamaterials under differentangles

在使用有限元軟件計算時，載荷被施加在外層齒圈的上方凸臺平面處，而約束被施加在下方的凸臺平面處，即可得到力學超材料隨旋轉角度 θ₂ 變化的性能曲線。如圖9所示（紅色虛線為變形曲線，藍色實線為剛度曲線），當旋轉角度 θ₂ 在 0^°～540^° 范圍內變化時，超材料的剛度表現出較大差異，其剛度最小值為 2.19×10⁸N/m ，最大值為 6.04×10⁹N/m ，這表明基于齒輪的力學超材料具備原位連續可調機械性能。

圖9隨 θ₂"變化y向變形及剛度曲線Fig.9Deformation and stiffness curves in the y direction withvary the change of θ₂

此外，研究了不同旋轉角度下力學超材料的加速度傳遞率，如圖10所示，加速度傳遞率由下式給出：

式中， T_r 為傳遞率； a₀ 和 a₁ 分別為載荷施加點和測量點的加速度。

圖10顯示，隨內層太陽輪旋轉角度 θ₂ 的變化，各角度下超材料的加速度傳遞率亦有顯著差異。通過改變太陽輪的角度，超材料可以在不同激勵頻率下呈現出減振性能，表明該超材料有被應用于振動控制領域的潛力。此外，研究了激勵頻率對加速度傳遞率的影響，如圖11所示。分別在 2，4，6，8kHz 的定頻激勵下對其傳遞率進行了研究，結果顯示，當激勵頻率為 時，該超材料的減振效果并不顯著，而當激勵頻率分別為 4，6，8kHz 時，超材料隨角度變化均呈現出減振性能。

圖10旋轉角度對加速度傳遞率的影響Fig.10Effect of rotation angle on the accelerationtransmissibility

圖11激勵頻率對加速度傳遞率的影響

Fig.11Effect of excitation frequency on the transmissibility

在實際應用中，一種設想方案是使用輔助外殼增強 3×3 單元超材料的穩定性（如圖12所示）。

圖12單元力學超材料 3×3 Fig.12 Mechanics metamaterials （ 3×3 units）

輔助外殼為薄壁結構，內部存在凹槽，用于保障整體的穩定性。使用齒輪組的方式控制其內部幾何結構變化，具體而言，控制機構包括兩種齒輪，分別為控制齒輪、輔助齒輪；控制齒輪與異形太陽輪被連接在同一根軸上，其旋轉角度相同，同時控制齒輪與輔助齒輪嚙合，使得所有控制齒輪具有相同的旋轉方向。本文同樣對 3×3 排列的力學超材料的力學性能進行了研究（如圖13所示），當旋轉角度 θ₂ 在0^°～540^° 范圍內變化時，其剛度最小值為 3.36× 10⁸N/m ，最大值為 6.77×10⁹N/m ，這表明將該超材料進行周期排列過后，依然具備可調剛度的特點。

圖13隨 θ₂ 變化的 y 向變形以及剛度曲線（ 3×3 單元） Fig.13The y direction deformation and stiffness curves varywith the change of θ₂ （ 3×3 units）

此外，本文依然關注該構型是否有抗剪切的能力，利用有限元方法得到不同角度下的廣義剪切剛度（如圖14所示）。可知，雖然廣義剪切剛度 K_shear/b 隨太陽輪旋轉角度 θ₂ 變化產生波動，但其最大廣義剪切剛度僅為 303.07MPa ，這意味著該結構抗剪切變形能力并不出色，相比于其抵抗壓縮變形的能力較弱。

3力學超材料的制備與應用前景

基于齒輪的力學超材料的制備方案如圖15所示，包括基于并聯行星齒輪組的力學超材料以及基于異形輪輻齒輪的力學超材料（采用3D打印的方式進行制造以保障精度）。在基于并聯行星齒輪組的力學超材料制備過程中，仍使用異形輪輻齒輪作為內層太陽輪，同時將外層齒圈與保持架組合為一個整體；考慮到制造和安裝的影響，在制造時將模型整體放大到原來的3倍。對于基于異形輪輻齒輪的力學超材料，按照1：1的比例進行制備，且設計了兩種輔助框架。

圖14隨 θ₂ 變化的 x 向變形以及廣義剪切剛度（ 3×3 單元） Fig.14The x direction deformation and generalized shear stiffnessvarywith the change of θ₂ （ 3×3 units）

除前文中提到的幾種基于齒輪的力學超材料外，使用齒輪為基本單元可以構造出非常多潛在的力學超材料，例如基于異型齒輪和并聯行星齒輪組可以構造出多種力學超材料（如圖16所示），在此基礎上，基于齒輪超材料內部多穩態結構所表現出來的剛度和動態特性可調特性，將其應用于機器人關節設計[30]或振動控制領域具有重大意義。例如，如圖16（e）所示，在剛度不可變的傳統減振器中應用基于齒輪的力學超材料有望構造出可調剛度的減振裝置，為振動控制領域提供了一種思路。

圖16以齒輪為基本元素構筑超材料設想 Fig.16 Conception of metamaterials constructed with gears asbasicelements

4結論

利用齒輪設計出可編程力學超材料，通過控制一個或幾個齒輪的旋轉角度，使得超材料內部幾何結構發生變化，從而實現性能的可編程性，具體而言：

（1）通過改變齒輪輪輻結構設計出一種異形輪輻齒輪，由該齒輪構成的力學超材料表現出可編程的定向剛度以及廣義剪切剛度。

（2）利用并聯行星與異形輪輻齒輪，構筑力學超材料，該超材料表現出強大的剛度可編程性，同時還展現出可調的加速度傳遞率。

（3）本文提出的基于齒輪的力學超材料是一種多穩態結構，通過控制齒輪旋轉角度可以使之達到特定的穩態。基于齒輪的力學超材料表現出可調的力學性能和加速度傳遞率，有望將其應用于剛度調節和振動控制等相關領域。

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