球軸承外圈剝落初期雙沖擊現(xiàn)象IAS建模

關鍵詞：球軸承；故障機理建模；初期局部剝落；彈性四分之一空間方法；雙沖擊現(xiàn)象 中圖分類號：TH133.33；TH113.1 文獻標志碼：A DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202306056

Modeling of dual-impulses phenomenon of incipient spalled outerraceball bearing

LIChao ^1，2 ，GUO Yu’，LUO Maolin3，CHEN Xin'

（1.FacultyofMechanicaland ElectricalEngineering，Kunming UniversityofScienceand Technology，Kunming6505，China;

2.YunnanCommunications Vocationaland Technical Colege，Kunming 6505oo，China;3.SchoolofAdvanced Manufacturing Engineering，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing 4Ooo65，China）

Abstract：Analysis of theinstantaneous angular speed（IAS）has beenproven to efectivelydetect bearing faults.To investigate thegeneration mechanismofIASsignaldouble-impulses phenomenon inballbearings，adynamic model isproposedinthis paper basedonthecouplingcharacteristicsbetwentheormal，tangentialforcesandthetimevaryingimpactexcitation，inwhichtheinfluencesoftherollngresistanceandthesharpedgesoflocaldefectonthedynamicbehaviorareconsidered.Inthismodel，theelas ticquarterspace methodisadoptedtocalculatetheadditionaldeformationinducedbythelocalspalededgesanditscorresponding time-varyingdisplacementexcitationmodelisdeduced.Aditioalcontactforcesandtievaryingdisplacementexcitatiosarecon sideredwhensteelballenterintoandexitfromthedefect.Thedisturbancesofnormalandtangentialforcesinthebearingunder sharpedgeexcitationsoflocalfaultarestudied，andthetimevaryingtangentialforceexcitationmodelisalsodeduced.Thenolin eardynamicequationsets aresolved using the Runge-Kutanumerical integration method.Comparisons between thesimulationre sultsandtheactual measuredresultsofouterracelocalfaultbearingsshowtheestablished dynamic modelcanefectivelyrevealthe mechanism of double-impulses phenomenon based on IAS signals.

Keywords：ballbearing；faultmechanismmodeling;initiallocalspall;elasticquarterspacemethod;dualimpulsephenomenon

動力學建模能夠從機理上闡釋故障球軸承的動力學行為，并指導軸承狀態(tài)監(jiān)測方法的研究。球軸承雙沖擊現(xiàn)象可以客觀估計剝落損傷程度，對指導損傷程度評價具有重要意義[1]。為此，學者們針對球軸承剝落損傷及雙沖擊現(xiàn)象進行了大量研究。例如，WU等[2建立了滾動軸承雙沖擊非線性動力學模型，分析鋼球進入和退出剝落區(qū)的振動特性，研究了剝落尺寸大小與雙沖擊現(xiàn)象的關系。羅茂林等[3]考慮了時變接觸剛度、球與剝落邊緣的接觸力等，研究了不同激勵耦合下振動信號雙沖擊現(xiàn)象的變化規(guī)律。目前對剝落初期剝落區(qū)的建模和試驗主要采用矩形凹槽。例如，曹宏瑞等4建立了6自由度球軸承動力學模型，研究了局部故障寬度對軸承振動特征的影響規(guī)律。LIU等5提出了耦合時變位移激勵和時變接觸剛度的局部故障球軸承動力學模型，研究了局部故障軸承的振動特性。

近來，BOURDON等開展了滾動軸承IAS試驗研究，在外圈剝落故障對應的IAS信號中觀察到了雙沖擊現(xiàn)象，相較于振動信號，IAS信號傳遞路徑短、受干擾少，更易檢測到雙沖擊特征，但目前針對球軸承局部剝落故障的IAS擾動機理動力學模型研究尚不充分。GOMEZ等以SAWALHI等所建立的模型為參照，考慮滾阻摩擦和剝落深度，分析了鋼球經過剝落區(qū)時球與內、外圈滾道法向力和切向力耦合產生的擾動扭矩，通過角域建模方法構建了球軸承局部剝落故障IAS擾動機理動力學模型。THIBAULT等9基于文獻[7]，考慮鋼球的離心力和軸向力，基于角度方法提出了相應的動力學模型，研究了不同工況對IAS可檢測性的影響。實際中，球軸承滾道發(fā)生剝落的初期通常表現(xiàn)為尖銳型邊緣[10]，但現(xiàn)有動力學模型并未考慮剝落初期尖銳邊緣的附加形變，以及其幾何形貌引起的球-故障滾道接觸力的方向變化和附加接觸力，難以準確解釋剝落初期球軸承IAS信號產生雙沖擊現(xiàn)象的機理，影響球軸承局部故障定量診斷與識別的準確性。

針對以上不足，本文研究分析了剝落初期剝落區(qū)尖銳邊緣引起的附加形變，基于彈性四分之一空間方法[11]，提出一種適合剝落初期剝落區(qū)尖銳邊緣的時變沖擊激勵和法向力、切向力相耦合的球軸承外圈剝落初期IAS雙沖擊現(xiàn)象動力學模型。對比分析仿真和實測信號，驗證了所提動力學模型的有效性。

1 IAS雙沖擊現(xiàn)象

球軸承IAS的雙沖擊現(xiàn)象可以由其局部故障引起的時變切向力激勵來解釋。如圖1所示，徑向載荷 Q_φ 通過轉子垂直作用在球軸承上。設內圈以恒定的角速度 ω_r 回轉。在球軸承的載荷區(qū)內，球依次進入和退出局部剝落區(qū)。當其與剝落前邊沿接觸時，以接觸點為支點做回轉運動，此時外圈滾道-球的接觸力方向改變，沿徑向分量逐漸減小，導致球與內圈接觸點切向力逐漸減小，轉子IAS增大；在保持架的帶動下，球繼續(xù)運動至剝落區(qū)中央，內圈與球在徑向力的作用下加速下落，并與剝落后邊沿發(fā)生碰撞產生附加接觸力，導致球與內圈接觸點切向力瞬間增大，轉子IAS降低；然后球以后邊沿接觸點為回轉中心旋轉退出剝落區(qū)，在該階段，球與外圈滾道先卸力再逐漸恢復至健康滾道接觸力，使其與外圈切向力先減后增，轉子IAS先增大再恢復。下一個球再次進出剝落區(qū)，如此往復。

圖1瞬時角速度雙沖擊現(xiàn)象機理

Fig.1 Mechanism of instantaneous angular speed double impulsesphenomenon

2 剝落初期激勵模型

當球軸承的外圈滾道發(fā)生剝落，在剝落初期，球將進入剝落區(qū)與邊緣發(fā)生接觸，此時經典的彈性半空間方法不再適用于計算球-滾道的接觸形變[1]。此外，當球經過外圈剝落區(qū)時，球的幾何位置因剝落區(qū)的形貌變化而產生位移變化；軸承內部徑向力因球-滾道接觸力的變化而產生變化，并引起軸的切向力產生突變。

2.1尖銳邊緣的額外形變

根據(jù)Hertz接觸理論[12]可計算球-正常滾道的接觸形變，當滾道發(fā)生剝落時，彈性半空間方法不再適用于滾動體與故障邊緣的接觸形變的計算。對此，文獻[11中提出了彈性四分之一空間方法，用于計算外圈滾道局部剝落邊緣的額外形變，圖2所示為考慮彈性四分之一空間的原理圖。滾動體在載荷區(qū)內運動時，滾道承受球的接觸力可看作點載荷。距離滾道局部剝落區(qū)尖銳邊緣 u 處存在一點載荷力Q_φ ，在 x 軸 0～u 范圍內任意一點產生的形變 V（x，y） 可由下式計算[1]：

式中， E 和 u 分別為彈性空間的楊氏模量和泊松比；x，y 為集中垂直力的坐標； 表示如下：

式中， A₀，A₁，A₂ 和 A₃ 分別等于2.36301、1.59991、1.14597和 0.00812;u 為點載荷在 x 軸上的位置； ξ₁= [（u-x）²+y²]^0.5，ξ₂=[（u+x）²+y²]^0.5°

集中垂直力施加在彈性半空間上將產生形變V_hs（x，y） ，其表達式為：

因此，在剝落區(qū)尖銳型邊緣產生的額外形變可由下式計算得出：

V_qs=V（x，y）-V_hs（x，y）

圖2集中垂直力施加在彈性四分之一空間 Fig.2An elastic quarter space with a concentrated vertical force

根據(jù)式（1）和（3）分別得到兩種彈性接觸形變量如圖3所示，比較了彈性半空間方法和彈性四分之一空間方法在不同徑向力下剝落區(qū)尖銳邊緣的附加形變量，結果表明隨著徑向力的增加，兩種方法所得形變量差值增大。

2.2 時變位移激勵模型

當球經過剝落區(qū)時，根據(jù)剝落形貌，球與剝落區(qū)會發(fā)生相對幾何位置的變化，使軸承轉子系統(tǒng)發(fā)生時變位移激勵。文獻[2]對球經過故障區(qū)時回轉中心位置變化進行了詳細的描述，但未考慮剝落區(qū)尖銳邊緣的額外接觸形變。假設剝落故障為矩形，剝落區(qū)沿切向寬度為 L_s ，如圖4所示。

圖4考慮尖銳邊緣的球與故障的幾何位置關系 Fig.4 Geometric positional relationship between ball and fault considering the sharp edges

根據(jù)圖4，剝落引起的位移激勵模型可表示如下：

式中， φ_d 表示外圈剝落的初始角； θ_d 表示剝落在滾道圓周上的圓周角，其值取決于剝落的寬度 L_s 。球進入剝落區(qū)的位移 可表示為：

球到剝落區(qū)中間的位移 可表示為：

球退出剝落區(qū)的位移 可表示為：

其中， D_max 可表示為：

θ_bj 為第 j 個球的角位置，可表示為：

式中， Z 為球的個數(shù)； ?_cage 為保持架的角度位置，其計算方法見文獻[7]； θ₀ 為第一個球的初始角位置； r_b 為球的半徑。

2.3 附加接觸力計算

根據(jù)球軸承的幾何結構，健康軸承載荷區(qū)內球的徑向載荷由下式給出：

載荷區(qū)內的球承受最大徑向載荷 Q_max 與施加在軸承上的載荷 Q 關系如下：

式中， φ 為球在載荷區(qū)內的角位置； ε 為載荷分布因子； n 為載荷-形變指數(shù)，對于球軸承， n=3/2;ψ 為載荷分布角。參數(shù) ε，ψ 的計算見文獻[12]。

球經過外圈故障滾道時，球-外圈接觸力因尖銳邊緣的幾何形貌而產生附加接觸力激勵。健康滾道的接觸力計算方法不再滿足故障引起的復雜變化。圖1為球經過故障區(qū)的位置變化以及對應的附加接觸力變化過程圖。

球的運動過程可分為三個階段：進入階段，球以剝落前邊緣為支點向剝落區(qū)中央加速運動，此時外圈對其徑向支撐力減弱，球與剝落區(qū)的接觸力變化；碰撞階段，球加速運動與剝落后邊緣發(fā)生碰撞，此時外圈對其徑向支撐力激增；退出階段，剝落前邊緣對球的支撐力瞬間卸去，后邊緣與球的支撐力逐漸恢復至正常滾道-球接觸力。整個過程的附加接觸力可由下式給出：

式中， Q_c1 為進人階段的支撐力，可表示為：

Q_c2 為碰撞階段的支撐力，可表示為：

Q_c2=F_imp

Q_C3 為退出階段的支撐力，可表示為：

式中， Q_θbj 為第 j 個球在載荷區(qū)內受到的徑向載荷力；F_imp 為球運動至剝落區(qū)中央的附加接觸力，可表示為：

F_imp=F_Toscosθ_s+Q_θbj

式中， θ_s 為球接觸到后邊緣時的角度； F_TOS 為球加速運動與剝落區(qū)后邊緣碰撞產生的沖擊力，由下式給出[3]：

式中， m_b 為球的質量； ω_c 為保持架的轉速； α 為接觸角； D_p 為軸承節(jié)徑； V_imp 為球與剝落后邊緣碰撞一瞬間的速度，具體計算方法見文獻[3]。

2.4時變切向力激勵模型

根據(jù)文獻[7]中的模型，滾阻現(xiàn)象是由球軸承在運轉過程中滾道-球之間的徑向接觸力和切向力耦合產生的。

如圖5所示，將接觸力的作用點朝球質心的速度方向移動以對外力作用下固體的局部形變進行建模。質心移動距離 b=μr_b ，其中 μ=0.0015^[9]

圖5滾阻現(xiàn)象假設

Fig.5Roll resistance phenomenon assumption

在剝落區(qū)尖銳邊緣的激勵下，球所受內、外滾道切向力將發(fā)生變化，則軸所受時變切向力表達式如下：

式中， b_i?bo 分別為球與內、外圈滾道接觸力朝球運動方向移動的距離。

根據(jù)Hertz接觸理論， Q_i 和 Q_?0 分別為內、外圈健康滾道與球之間的接觸力，可由下式給出：

Q_i=K_biδ_jⁿ

Q=K_boδ_jⁿ

式中， δ_j 為第 j 個球在滾動體內的總接觸形變，可由下式給出：

δ_j=xcosθ_bj+ysinθ_bj-C-LΔ_de

式中， c 為軸承游隙； L 為開關函數(shù)，當流動體進入剝落區(qū)時為1，否則為 0;K_bi，K_bo 分別為球與內、外圈滾道的接觸剛度，表示為：

式中， 為曲率和，其下標\"bi\"和\"bo\"分別表示球與內、外圈滾道接觸； E_eq 為等效彈性模量； e 為橢圓度參數(shù)； τ₁ 和 τ₂ 分別為第一類和第二類橢圓積分。上述參數(shù)的計算方法見文獻[12]。

3球軸承動力學模型

3.1 模型簡化

為便于分析軸承的故障機理，建立描述IAS響應的雙沖擊現(xiàn)象動力學機理模型，將滾動體和內、外圈接觸視為彈簧-質量系統(tǒng)，如圖6所示。為此做如下假設：

（1）保持架將滾動體均勻分開且滾動體與保持架、內圈和外圈滾道之間無相對滑動；（2）滾動體處于靜態(tài)平衡即滾動體與內圈滾道之間的接觸力等于其與外圈滾道之間的接觸力；（3）球軸承外圈剝落初期剝落區(qū)沿周向尺寸足夠小，滾動體不與剝落區(qū)底部接觸；（4）軸承內圈與外圈分別剛性固定在轉子和軸承座上，內圈與轉子為過盈配合；（5）滾動體在無故障區(qū)時，其與內、外圈接觸過程中做純滾動，并忽略滾動體在運動過程中轉動慣性分量對轉子軸承系統(tǒng)的影響；（6轉子-軸承系統(tǒng)視為剛性；忽略軸承內部潤滑引起的阻尼力和滾動體的熱脹冷縮。

研究中提出考慮局部剝落故障尖銳邊緣下時變沖擊激勵和切向力耦合球軸承IAS雙沖擊現(xiàn)象動力學模型，克服傳統(tǒng)模型中只分析剝落區(qū)深度，未考慮剝落區(qū)尖銳邊緣產生的額外形變及附加接觸力影響的不足。

注：為載荷區(qū)角度。

圖6球軸承集中彈簧-質量模型 Fig.6Concentrated spring-mass model for ball bearing

3.2 動力學方程

根據(jù)球軸承彈簧-質量模型，建立了3自由度軸承系統(tǒng)動力學方程，表示為：

式中， m 為內圈與轉軸的總質量； J 為內圈及其軸的轉動慣量； M_d 為伺服電機扭矩； θ_os 為滾動體與剝落邊緣接觸角； R_i 為內圈滾道半徑； x_i 和 y_i 分別為內圈在 x 和 y 方向的振動位移； 和分別為內圈在 x 和 y 方向的振動速度； 和分別為內圈在 x 和 y 方向的振動加速度； 為軸承內圈在 z 軸方向的角加速度； 為軸承內圈在 z 軸方向的IAS; θ 為軸承內圈在 z 軸方向的角位移； F_x 和 F_y 分別為軸承系統(tǒng)在 x 和 y 方向所承受的徑向力； K_e 為球與內、外圈滾道的接觸總剛度； C_s 為軸承的內部阻尼系數(shù)； C_t 為軸承的扭轉阻尼系數(shù)； λ_j 為判斷第 j 個球是否進入載荷區(qū)的參數(shù)，表示為：

3.3角域解

參考角域建模方法，將動力學方程轉化為以角度為輸入變量的微分方程組，對IAS進行顯示輸出，球軸承剝落區(qū)尖銳邊緣動力學模型IAS響應可由下式給出：

式中， 為軸承內圈的IAS，具體推導可見文獻[7]。

4仿真及試驗結果

4.1 仿真結果

采用定步長4階Runge-Kutta對式（27）進行求解。選取角度步長 Δθ=5×10^-3 rad，內圈與轉軸總質量 m=0.6kg ，施加在轉軸上的作用力分量 F_x=0 F_y=300N 。初始速度 ，初始位移 x₀= 10^-6m，y₀=10^-6m. 。深溝球軸承6204的幾何參數(shù)如表1所示。得到外圈剝落球軸承IAS仿真信號如圖7所示。

表1深溝球軸承6204幾何參數(shù)

Tab.1 Geometricparametersofdeepgrooveballbearing 6204

圖7外圈剝落球軸承仿真信號

Fig.7Simulated signal of ball bearing with a spalled outer ring

圖7（a）中轉子-內圈每旋轉1r，故障軸承的IAS信號發(fā)生3次擾動，每次擾動的間隔為1/BPFO，與理論值一致，r表示旋轉圈，BPFO[表示外圈故障角頻率，深溝球軸承6204外圈故障角頻率理論值為3.05ev/r 。圖7（b）所示為圖7（a）中一次擾動的局部放大圖，在仿真中IAS信號呈現(xiàn)明顯的周期性擾動，可以直接通過角域相對準確地評估鋼球進入和退出剝落故障的角位置。根據(jù)進入和退出的角位置能夠估計剝落區(qū)延圓周方向的尺寸長度，從而評估剝落初期剝落區(qū)的損傷程度。

圖8對比了正常軸承與故障軸承的IAS仿真結果。根據(jù)文獻[6中關于載荷區(qū)內鋼球個數(shù)對軸承系統(tǒng)剛度變化的解釋，正常軸承在徑向載荷下IAS信號也會產生周期性擾動。但相較于正常軸承，故障軸承的IAS幅值變化明顯高于正常軸承。仿真結果中正常軸承的IAS響應曲線波谷的位置與故障軸承IAS雙沖擊特征出現(xiàn)的位置一一對應，與文獻[6]中試驗研究結果相吻合。

圖8剝落對球軸承角域IAS響應的影響Fig.8Effect of spall on IAS of ball bearing inangular domain

圖9為GOMEZ等所提模型與本文提出的動力學模型IAS擾動響應對比圖。圖9表明，在剝落尺寸相同的情況下，兩種動力學建模方法雖然均能描述故障球軸承IAS在角域上的周期性擾動，但GOMEZ等[所提方法未考慮剝落初期剝落區(qū)尖銳邊緣的附加形變，以及其幾何形貌引起的球-故障滾道接觸力的方向變化和附加接觸力，IAS擾動響應曲線只觀察到一次沖擊，與文獻[6]試驗研究所得軸承IAS實測信號包含信息有一定差距。然而，本研究中所提動力學模型能較好地描述鋼球經過剝落初期剝落區(qū)時引起的球軸承IAS信號雙沖擊現(xiàn)象。

圖9建模方法對比

Fig.9Comparison of modeling methoods

4.2 試驗結果

為驗證所提球軸承動力學模型的正確性，以深溝球軸承6204為試驗對象，在圖10（a）所示的故障模擬試驗臺上開展試驗研究。試驗中選用分辨率為5000線/圈的增量式編碼器（圖10（b））進行故障軸承轉速信號的采集，其安裝位置如圖10（a）所示。用線切割加工出寬 L_s=1.5mm 的矩形區(qū)來模擬具有尖銳邊緣的剝落區(qū)，如圖10（c）所示。

圖10試驗設備

Fig.10Experimental equipments

采用ElapseTime（ET）法對實測信號進行處理，以獲取IAS信號。圖11為轉速在 40r/min 條件下采集到的外圈剝落所對應的IAS雙沖擊現(xiàn)象。圖11（a所示為采集并處理所得的IAS擾動信號。圖11（b）為實測信號的局部放大圖，圖中可見明顯的雙沖擊現(xiàn)象。其中兩次波峰分別對應著鋼球進入和退出剝落故障。根據(jù)旋轉編碼器的特性（等角度采樣）可在角域上準確觀測到球進入、退出剝落故障時對應的角度位置。由圓的幾何關系可知，球軸承外圈剝落區(qū)沿圓周方向的尺寸估計值 L_est 可表示如下：

式中， Δ? 為球進入、退出剝落區(qū)時引起IAS雙沖擊的角位置變化量。

根據(jù)式（28），利用圖7（b）仿真信號雙沖擊角間隔和圖11（b）實測信號雙沖擊角間隔可計算得出剝落區(qū)尺寸估計值分別為1.53和 1.64mm 。輸入動力學模型的外圈剝落尺寸參數(shù)為 1.50mm ，試驗用軸承因加工誤差實際測量的剝落尺寸為 1.6mm 。對比可知，在誤差允許范圍內，IAS仿真信號計算所得剝落區(qū)尺寸估計值與參數(shù)理論值基本一致，IAS試驗信號計算所得剝落區(qū)尺寸估計值與實際測量值也基本吻合。

圖11外圈剝落球軸承實測信號

Fig.1lMeasurement signal of ball bearing with a spalled outer ring

通過實測信號（圖11）與仿真信號（圖7）中IAS信號擾動形狀的對比，以及兩種信號估計所得的剝落尺寸對比，可證明本文所提出的考慮外圈剝落區(qū)尖銳邊緣引起IAS擾動機理軸承動力學模型的準確性，同時將所提考慮剝落初期剝落區(qū)尖銳邊緣的球軸承故障IAS擾動動力學模型與GOMEZ等所提模型進行對比，發(fā)現(xiàn)所提模型更準確地闡釋了軸承外圈剝落動力學機理反映在IAS信號上的雙沖擊現(xiàn)象，進一步驗證了所提模型的正確性。

5結論

（1）基于Hertz彈性接觸理論，考慮滾阻摩擦和球軸承外圈剝落初期對球軸承動力學特性的影響，建立了一種適合球軸承剝落初期IAS信號雙沖擊現(xiàn)象的機理模型。

（2）通過仿真、實測及理論雙沖擊角度間隔對比分析研究，并將所提模型與傳統(tǒng)IAS動力學模型仿真信號進行比較，證明了本文所提球軸承IAS雙沖擊現(xiàn)象動力學機理模型的正確性。

參考文獻：

[1] MUFAZZAL S，MUZAKKIR S，KHANAM S.A dynamic model for simulating vibration response of ball bearings with extended outer race defects for precise spall size estimation[J]. Journal of Sound and Vibration，2023，552：117606.

[2] WURQ，WANGXF，NIZX，etal.Dual-impulse behavioranalysisand quantitativediagnosisof theracewayfault of rolling bearing[J].Mechanical Systems and SignalProcessing，2022，169：108734.

[3] 羅茂林，郭瑜，伍星.基于時變接觸剛度的球軸承雙 沖擊現(xiàn)象動力學建模［J].振動工程學報，2018，31 （5）：875-882. LUO Maolin，GUO Yu，WU Xing. Dynamic modeling for double impulses behavior of a spalled ball bearing based on time-varying contact stiffness[J]. Journal of Vibration Engineering，2018，31（5）：875-882.

[4]曹宏瑞，李亞敏，成瑋，等.局部損傷滾動軸承建模與 轉子系統(tǒng)振動仿真[J].振動、測試與診斷，2014，34 （3）：549-552. CAO Hongrui，LI Yamin，CHENGWei，et al.Rolling bearing modelingwith localized defects and vibration response simulation of rotor-bearing system[J]. Journal of Vibration，Measurementamp;.Diagnosis，2Ol4，34（3）： 549-552.

[5]LIU J，SHAO Y M，ZHU W D.A new model for the relationship between vibration characteristics caused by the time-varying contact stiffness of a deep groove ball bearing and defect sizes[J]. Journal of Tribology，2015， 137（3）： 031101.

[6]BOURDON A，CHESNE S，ANDRE H，et al. Reconstruction of angular speed variations in the angular domain to diagnose and quantify taper roller bearing outerrace fault[J].Mechanical Systems and Signal Pro cessing，2019，120：1-15.

[7]GOMEZ JL，BOURDONA，ANDRE H，et al. Modelling deep groove ball bearing localized defects inducing instantaneous angular speed variations[J].Tribology International，2016，98：270-281.

[8] SAWALHIN，RANDALLRB. Simulating gear and bearing interactions in the presence of faults Part I. The combined gear bearing dynamic model and the simulation of localised bearing faults[J].Mechanical Systemsand Signal Processing，2008，22（8）：1924-1951.

[9] THIBAULTN，BOURDONA，REMONDD，etal. Dynamicmodel of adeepgroovesballbearingdedicated to the study of instantaneous angular speed of rotating assemblies[J].Tribology International，2O22，174： 107753.

[10］劉靜，師志峰，邵毅敏.考慮局部故障邊緣形態(tài)的球 軸承振動特征[J].振動、測試與診斷，2017，37（4）： 807-813. LIU Jing，SHI Zhifeng，SHAO Yimin.An investiga tionofvibrationcharacteristicsofaball bearingwitha localized defect considering different edge shapes[J]. Journal ofVibration，Measurement amp;Diagnosis， 2017，37（4）：807-813.

[11]LIUJ，SHAO Y M.Dynamicmodelingforrigid rotor bearing systemswithalocalized defect considering additionaldeformations at the sharp edges[J].Journal of Sound andVibration，2017，398：84-102.

[12]HARRISTA，KOTZALASMN.Essential Concepts ofBearing Technology[M].New York：CRC Press， 2006.

第一作者：李超（1992一），男，博士研究生。 E-mail：kmustlc@163.com

通信作者：郭瑜（1971一），男，博士，教授。 E-mail：kmgary@163.com