結構振動信號盲源分離的快速復雜度追蹤算法

關鍵詞：盲源分離；模態參數識別；復雜度追蹤；梯度下降；子空間搜索 中圖分類號：TB123；TN911.6 文獻標志碼：A DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202310029

Fast complexity pursuit algorithm for blind source separation ofstructural vibration signals

HU Zhixiang，HUANGLei，HE Wenyu （College of Civil Engineering，HefeiUniversityof Technology，Hefei 23OoO9，China）

Abstract：Blindsourceseparation（BSS）canbeused toextractmodalcoordinatevibrationsfromstructuralvibrationsignals.Complexitypursuit（CP）isoneof theclasicalmethodsforsolvingtheBSS problem.Toimprove thecomputationaleficiencyof the CPalgorithm，thispaperproposestwoenhancements：ituses thenegativelogfunctionofaGausiandistributionasanonlinear functiontoestimatesignalcomplexityandderivesformulasforrapidlycomputingsignalcomplexityanditsgradient;itemploysa subspacesearch-based gradientdescentalgorithm tocalculate theoptimalmixing vectorinthereduced subspace.Thenew formulas onlyrequire thecovariance matrixofmixed signalsandthecovariance matrixoftimedelayswhencomputingcomplexityanditsgradient，without using allsignaldata.Numerical examples and structural vibrationdataareemployed to evaluatethe proposed method.Theresultsdemonstrate thatthefastcomplexitypursuitalgorithmoutperforstraditionalmethodsintermsofcomputationalefficiency and accurately separates structural modal coordinate vibrations.

Keywords：blind source separation;modalparameter identification;complexity pursuit;gradientdescent;subspace search

結構模態參數（振型、頻率和阻尼比）是結構的固有屬性，在地震、風荷載等作用下，結構出現損傷時模態參數會發生變化，可以在一定程度上反映結構的健康狀態，因此，結構模態參數的識別是結構健康監測的重要內容[1-2]

盲源分離（blindsource separation，BSS）是一種新型的信號處理技術，該技術在語音處理、生物醫學工程、數據挖掘以及振動信號處理等多個領域顯現出了重要的應用價值[3]。KERSCHEN等[4]將獨立分量分析技術（independent component analysis，

ICA）應用于系統的模態參數識別，提出了模態疊加理論與瞬時混合的盲源分離問題的對應關系，指出低阻尼條件下兩者的數學表達式具有一致性；同時，對比了ICA與二階盲辨識方法（secondorderblindidentification，SOBI的模態分析結果，發現SOBI有對噪聲的魯棒性高、對阻尼敏感度低等優勢[5]。此后，眾多學者將不同BSS技術用于振動信號分析，均取得了一些成果[6-9]

此外，復雜度追蹤算法也是一種重要的盲源分離方法。HYVARINEN[]利用復雜度來處理混合信號問題，采用梯度下降算法搜索解混向量。BINGHAM等[]將基于梯度優化算法的復雜度追蹤（complexitypursuit，CP）方法與ICA等盲源分離方法的模態參數識別效果進行了對比，證明了前者的有效性。SHI等[提出了一種用于復雜度追蹤的不動點算法。此后，一些學者對傳統的復雜度追蹤算法中梯度計算和自回歸模型部分做了改進工作[13-15]。柯爾莫哥洛夫復雜度[10]（KOLMOGOROFFcomplexity，簡稱復雜度）原理表明，原始信號的復雜度始終小于混合之后的信號復雜度。通過尋找合適的投影方向，使該方向上投影信號的復雜度最小，從而實現對混合信號的分離。目前，傳統的復雜度追蹤算法計算效率尚待提高，原因在于：（1）計算復雜度梯度時，每更新一次解混向量都需要調用全部信號數據，使得運算量較大；（2）隨著傳感器數量的增加，算法需在高維空間搜索解混向量。

本文針對上述問題，在基于梯度優化算法的傳統CP算法理論基礎上，采用高斯分布的負對數函數這一非線性函數估計信號復雜度，進而推導出可快速計算信號復雜度及其梯度的計算公式，該公式無需調用全部信號數據。此外，采用子空間搜索方式進行梯度迭代，即每次迭代時的搜索空間較前次搜索將降低一個維度。這兩方面的改進可以極大地減少運算量，提高計算效率。

1基于復雜度追蹤的模態分析理論

1.1模態參數識別與盲源分離理論

對于自由度為 n 的振動系統，其在物理坐標下的振動控制方程為：

式中， M，C 和 K 分別為 n×n 階的質量、阻尼和剛度矩陣； F（t） 表示系統受到的激振力； x（t） 為位移響應。

根據振型疊加原理， x（t） 可以寫成：

x（t）=?q（t）

式中， ? 為模態振型矩陣，其各列向量代表結構各振型； q（t） 為模態坐標響應列向量，其第 i 行元素 q_i（t） 代表第 i 個單自由度系統的位移響應。

為利用盲源分離理論識別模態參數，先給出盲源分離的數學模型[7.16]如下：

x（t）=As（t）

式中， x（t） 為由 n 個觀測信號組成的列向量， x（t）= 為由 m 個源信號組成的列向量， 為混合

矩陣，維數為 n×m 。

在盲源分離問題中，需要在僅知 x（t） 的前提下，通過求解混合矩陣 A^?（A 的廣義逆），實現對混合矩陣 A 和源信號 s（t） 的估計，其過程如圖1所示[16]。

圖1盲源分離問題流程圖

Fig.1Flow chart of blind source separation problem

振動信號模態疊加模型與盲源分離模型存在對應關系。模態響應 q（t） 對應著BSS模型中的源信號 s（t） ，而混合矩陣 A 中包含了振型合矩陣的信息，即 ?=A 。因此，盲源分離方法適用于從結構振動響應信號 x（t） 中提取模態振型 ? 和模態坐標響應 q（t） 。

1. 2 復雜度追蹤理論

自然界中的信號都具有一定的時間結構，因而具有冗余性，即信號的一部分能夠由其他部分有效地預測。因此，信號可被重新壓縮編碼，使得編碼長度小于原始信號的長度，用于度量這種編碼長度的單位被稱為復雜度。傳統的盲源分離技術大多只以信號的統計特性作為分離判據，忽略了信號的時序特性。復雜度追蹤是一種利用了信號時序性質以處理多信號混疊問題的盲源分離方法，具有完備的理論基礎。根據信息論原理，原始信號的復雜度始終小于混合信號的復雜度[17]。復雜度越小，則信號越簡單、容易預測，分解出的信號更接近于源信號。

復雜度追蹤的目的是尋找一個解混矩陣 W= [w₁，w₂，…，w_m] ，使得分離出的信號具有最小復雜度，即

y（t）=W^Tx（t）

式中， y（t）=[y₁（t），y₂（t），…，y_m（t）]^T ，輸出信號y（t） 即為源信號 s（t） 的估計。此時，可得到矩陣 A 的估計值為

為方便后續計算，需要對觀測信號進行預處理操作，以保證信號具有零均值和單位方差。預處理包括去均值和白化兩步。去均值即將觀測信號x（t） 減去其均值 E[x（t）] ；白化則需首先對 x（t） 的協方差矩陣作特征值分解：

E{x（t）x^T（t）}=UAU^T

式中， E{?} 表示取期望； U 矩陣的各列為特征向量；A 為特征值構成的對角矩陣。然后對 x（t） 進行白化操作：

經過白化所得的信號 z（t） 各分量之間互不相關且具有單位方差。如此，問題轉化為了尋找一系列相互正交的解混向量 ，使得分離出的信號y_i（t）=w_i^Tz（t） 具有最小的復雜度。

2信號復雜度的計算原理

信號復雜度（熵）計算是CP盲源分離算法中的重要部分。本節將分別給出傳統CP算法中信號復雜度的計算方法以及改進的快速復雜度計算方法。

2.1傳統CP算法中信號復雜度的計算

設信號 y_i（t） 可被表示為如下形式：

式中， 為以 t 時刻以前的值預測的當前時刻值， ，其中 f 表示考慮了信號時間結構的信號預測函數； δ_yi（t） 為信號冗余項。

根據信息論相關原理，對冗余項的編碼比對源信號的編碼更容易，且隨機序列的復雜度以高概率接近于熵[18]，于是冗余項的編碼長度可以由它的熵來逼近。對于平穩隨機信號，復雜度用下式計算：

式中， 和 H（?） 分別表示信號復雜度和 t 時刻隨機變量的熵。

根據信息論中熵的計算原理[17-18]，式（8）中的H（δ_yi（t）） 可表示為：

式中， 表示信號冗余項的標準差。

進一步，可采用下式計算信號的熵：

式中， G（?） 為可微分的非線性函數，該函數應當與冗余項服從的概率密度函數的負對數值具有相似性。由于冗余項通常服從標準高斯分布，此時可取 ，其中 u 表示函數自變量。另外已被證實可用的函數有：

等[10]。

此外，為得到冗余項的熵，還需確定信號預測函數 f 本文采用線性自回歸模型對信號進行預測，即

式中， τ 表示時滯； α_τ 為自回歸系數，可由最小二乘法進行估計。

將式（8）和（11）代人（10），并考慮到 y_i（t）= w_i^Tz（t） ，可得到復雜度計算公式：

其中， α_τ 和 σ_δ 都是 w_i 的函數。因此，信號 y_i 的復雜度本質上也是 w_i 的函數。在利用式（12）計算復雜度時，需要用非線性函數 G 計算所有時間點上信號的歸一化冗余信號再取期望，這使得在利用梯度下降法求解時 中運算量過大。

2.2改進的信號復雜度快速計算

本節在傳統CP算法信號復雜度計算理論的基礎上推導快速復雜度計算方法。由于預處理后的信號的均值為零且具有單位方差，當 ∥w_i∥₂=1 時，有：

將式（11）中的自回歸模型階數取為1，即τ=1 ，則：

式中， α₁ 為自回歸系數，由最小二乘法可求得：

此時信號的冗余項為：

可推導出冗余項的標準差為：

考慮到冗余項通常服從正態分布，在用式（12）計算信號復雜度時，采用 。此時冗余項的復雜度計算公式為：

由此，計算冗余項的復雜度轉化為了對回歸系數的求解。在利用式（15）計算回歸系數 α₁ 時，僅需預先計算時延協方差矩陣 z（t）z^T（t-1） ，避免了傳統CP算法中每次迭代計算復雜度時均需要調用全部數據的問題。

另外，要使式（18）達到最小，只需最大化 α₁²， 所以當采用一階自回歸模型時，問題轉化為尋找最大化 α₁² 的 w 向量。經典的多重未知信息提取算法（al-gorithm for multiple unknown signals extraction，AMUSE）[19]正是利用特征值分解尋找矩陣 R_Z=Φ 的特征向量，式中 z₀ 和 z_τ 分別表示時延為0和 τ 的白化信號。考慮矩陣 R_z 的對稱性，其最大特征值對應的特征向量 ?₁ 滿足：

觀察式（15）與（19）可知， ?₁ 等價于 w₁ 。當 τ= 1時，AMUSE等價于本節復雜度計算中取一階自回歸模型時的算法。因此，AMUSE算法可視為CP算法的一個特例。

3復雜度追蹤的快速梯度下降算法

為改進CP算法的效率，本節推導在梯度下降方法中采用復雜度梯度的快速計算公式，并與傳統CP算法中采用的梯度計算方法進行對比。提出利用子空間搜索算法降低變量維度、加快搜索計算。

復雜度追蹤的目標是要找到投影方向 w_i ，使得分離出的信號 y_i（t）=w_i^Tz（t） 具有最小的復雜度，在上一節得到信號的復雜度后，可以使用梯度下降方法解決該問題，其迭代公式為：

式中， μ 為每次迭代的步長； 表示復雜度關于變量 的梯度。

3.1復雜度梯度的快速計算

對式（12）中的傳統CP算法信號復雜度計算公式求導，可得：

式中， g（?） 為非線性函數 G（?） 的導函數[13，17]。由于g（?） 為非線性函數，在每一次更新 w_i 后，都需使用全部信號數據計算復雜度的梯度，因此算法計算效率較低。

考察復雜度快速計算式（18），對其求導，可得出復雜度梯度的快速計算公式：

據式（22）可知，僅需預先計算時延協方差矩陣便可得到復雜度的梯度。這樣可以避免每次迭代計算梯度時都需調用全部數據的問題，減少算法計算量，提高運行速度。

3.2基于子空間搜索的梯度下降算法

由于信號經過白化操作，復雜度追蹤算法得到的解混矩陣應為正交矩陣，即利用梯度迭代求得的各 w_i 向量之間應滿足相互正交的條件。傳統CP算法的梯度優化部分中，每次均需要在全維度空間上搜索 w_i 向量，然后再利用正交化投影到正交子空間中，計算量較大。本文提出利用子空間搜索策略加速解混向量的計算。在進行梯度優化搜索解混向量時，在 n 維空間尋找到第一個向量 w₁ 后，可以在與w₁ 向量正交的低維子空間中進行下一輪搜索，依此類推。圖2為三維空間下的子空間示意圖，得到 w₁ 后，將在與 w₁ 正交的子空間 span{w₂ 內繼續搜索 w₂ 和 w₃ 。

圖2子空間示意圖 Fig.2Subspacediagram

以下是基于子空間搜索的梯度下降算法步驟：

（1）初始化正交基 B=I∈R^n×n

（2）用梯度下降法得到首個解混向量w₁=Bb₁ ，易知 b₁=w₁∈R^n×1 ，這里的 b₁ 可以理解為 w₁ 在相應子空間中的坐標；

（3）對增廣矩陣 [w₁，w₂，…，w_k-1|I] 進行施密特正交化來更新正交基 B ，當前子空間正交基 B^（k）= B（：，k：n） ：

（4）在 B^（k） 張成的子空間中搜索 w_k=B^（k）b_k ，即用梯度下降法計算 b_k∈R^{（n-k+1）×1} b_k 可以理解為 w_k 在 B^（k） 張成的子空間中的坐標。

（5）重復上述步驟直到得到 ，而 w_n=B^（n） 。

由上述步驟可知，基于子空間搜索的梯度優化算法每次迭代時的搜索空間較前次搜索都將降低一個維度，如此便可減少算法耗時，并且最后一個 w_n 向量無需計算。圖3為基于子空間搜索的梯度下降算法的流程圖。

圖3基于子空間搜索的梯度下降算法流程圖 Fig.3Flow chart of gradient descent algorithm based on subspace search

快速復雜度追蹤算法主要由信號復雜度及其梯度的快速計算與基于子空間搜索的梯度下降兩方面組成。另外，為便于展示上述兩種方法各自在計算效率提升方面的作用，本文將僅考慮信號復雜度及其梯度的快速計算（未采用子空間搜索策略）的復雜度追蹤算法記為FastCP算法。將聯合使用信號復雜度及其梯度的快速計算和基于子空間搜索的梯度下降的方法記為FastCP-Subspace方法。后文將利用數值算例及試驗數據對以上兩種算法及傳統CP算法的識別精度與計算量進行對比。

4多自由度系統振動信號分離算例

第2和3節分別給出了傳統CP算法和快速復雜度追蹤算法理論，本節將利用多自由度系統的振動信號分離對比不同噪聲、阻尼比工況下3種算法的識別精度與計算量。

4.1 系統參數

考慮如圖4所示的8自由度彈簧-質量模型，其質量和剛度矩陣分別為：

采用Rayleigh阻尼， C=αM+βK ，其中 α=β= 0.01 。對各質點施加隨機激勵，采集結構振動響應信號，系統采樣頻率為 2Hz ，采樣時間為 10000s 。

4.2不同噪聲強度下的振動信號分離

為對比三種算法的抗噪性能，在結構響應信號中加入不同強度的白噪聲，使信噪比（signal-to-noiseratio，SNR）分別為 40，20，10dB ，分別對應噪聲百分比 1%.10%.31.62% 。圖5僅展示40dB信噪比工況下集中質量塊8的振動響應信號的時域信號和頻域幅值譜，以及采用FastCP-Subspace算法分離得到的第1階單模態信號的時域信號和各階分離信號的頻域幅值譜，本節算例中激發的振動以低階為主，高階振動能量較小，這也意味著高階模態參數識別難度較大。為了定量描述模態振型識別結果，引入模態保證準則（modalassurancecriterion，MAC）作為反映模態振型識別精度的指標，計算公式如下：

式中， φ_i 表示第 i 階振型理論值； 表示第 i 階振型識別值。當MAC值越接近于1，表示兩個向量越相似，說明振型識別的準確性越高。

不同噪聲強度下采用傳統CP、FastCP和FastCP-Subspace3種算法識別出的MAC結果及算法平均耗時如表1所示。從表1中可以看出：各噪聲工況下3種算法的MAC值彼此非常接近，且僅在高噪聲環境下（信噪比達到10dB）各算法的識別結果才會受到影響，說明本文所提算法在振動信號分離的精度上不亞于傳統CP算法；3種算法的平均耗時依次減少，且FastCP和FastCP-Subspace兩種算法的算法耗時僅為傳統CP算法的 4.84% 和 3.00% ，表明FastCP-Subspace算法中的信號復雜度及其梯度的快速計算與基于子空間搜索的梯度下降兩部分對算法計算效率均有一定提升作用。

4.3不同阻尼比下的振動信號分離

為探究系統阻尼比對3種算法模態參數識別精度的影響，保持模型其他參數不變，在結構響應信號中添加白噪聲將信噪比維持在 40dB ，并在不同組阻尼比工況下繼續進行仿真模擬，每組中阻尼矩陣的系數 α 和 β 設為相同。圖6僅展示 α=β=0.02 時集中質量塊8的振動響應信號的時域信號和頻域幅值譜，以及采用FastCP-Subspace算法分離得到的第1階單模態信號的時域信號和各階分離信號的頻域幅值譜。

不同阻尼比工況下采用傳統CP、FastCP和FastCP-Subspace3種算法識別出的MAC結果及算法平均耗時如表2所示。從表2中可以看出：隨著阻

表1不同信噪比下的MAC識別結果及算法耗時Tab.1 MAC values and consumed time under SNR cases

尼比的增加，FastCP和FastCP-Subspace兩種算法的MAC值并未出現明顯下降，但計算耗時方面僅為傳統CP算法的 5.4% 和 3.65% ，表明了本文所提方法的有效性及優越性。

表2不同阻尼比下的MAC識別結果及算法耗時

Tab.2MACvaluesand consumed timeunderdifferentdampingratios

5 鋼框架模型動力試驗驗證

在以上數值模擬分析的基礎上，為進一步驗證本文所提方法對實測振動信號分離的有效性，設計了一個3層鋼框架進行動力試驗驗證。

3層剪切型鋼框架試驗模型如圖7所示，模型由4根截面相同的框架柱、3塊鋼板以及鋼質底座構成，其中框架柱的橫截面尺寸為 35mm×12mm ，鋼板的尺寸為 400mm×300mm×6mm ，兩者之間采用剛性連接。由于鋼板的質量相對較大，可認為當結構產生水平位移時，各層板件將不會發生旋轉，即結構僅產生剪切型變形。

圖73層剪切型鋼框架試驗模型

Fig.7Experimental model of three-story steel frame structure

將3個加速度傳感器分別安置于框架各層側面中間處，采用東華DH5920N動力響應測試儀記錄加速度響應。通過力錘對鋼框架的第2層進行脈沖激勵，采樣頻率設為 100Hz ，采樣時間取50s，圖8展示了各層鋼板振動的加速度響應信號的時域信號和頻域幅值譜。

分別采用傳統CP、FastCP和FastCP-Subspace三種算法處理鋼框架的加速度響應信號，由FastCP-Subspace算法分離得到的單模態信號和各階分離信號的頻域幅值譜如圖9所示。為比較基于CP的盲源分離方法振動信號分離的準確性，本節選取發展較為成熟，具有較高精度及穩定性的隨機子

空間法（stochastic subspace identification，SSI）[20-21]對加速度響應信號進行分解，將所得結果作為參考。

圖10對比展示了傳統CP、FastCP-Subspace與SSI三種算法識別出的結構振型，表明了基于CP的盲源分離方法的有效性。

3種算法的MAC結果及算法耗時如表3所示。從表3中可以看出：3種算法的MAC結果幾乎相同，并且精度均較高，說明本文所提算法對處理實測振動信號依然具有良好的適用性；3種算法的耗時依次減少，直觀地體現了信號復雜度及其梯度的快速計算與基于子空間搜索的梯度下降兩部分在算法計算量方面的優勢，這也與上節數值仿真的結果相吻合。

表33種算法的MAC識別結果及算法耗時

Tab.3MACvaluesand consumed time of the three algorithms

6結論

本文提出了一種結構振動信號盲源分離的快速復雜度追蹤算法，該算法主要由信號復雜度及其梯度的快速計算與基于子空間搜索的梯度下降兩部分組成。文章通過理論推導，數值模擬及鋼框架模型動力試驗展示了所提方法的有效性。主要結論如下：

（1）快速復雜度追蹤算法在計算復雜度及其梯度時只需采用混合信號的協方差矩陣和時延協方差矩陣，而無需調用全部信號數據；基于子空間搜索的梯度下降算法將在降維后的子空間中尋找最優解混向量。這兩方面的改進可以極大地減少運算量，提高計算效率；

（2）理論分析表明，當復雜度追蹤算法中用于計算信號復雜度的非線性函數取標準高斯分布的負對數值時，時延為1的AMUSE算法與自回歸階數為1的傳統CP算法具有理論等價性；

（3）數值仿真和模型試驗結果表明，在不同的噪聲、阻尼比工況下，本文所提出的快速復雜度追蹤算法與傳統CP算法分離結構模態坐標振動的精度幾乎相同；采用快速復雜度及梯度計算公式時可大幅減小計算耗時，而采用子空間搜索策略可進一步提升計算效率。

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