高考中的數(shù)學(xué)文化題的賞析（一）

李龍強 趙玉秋

一、考點解讀

三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)文化題一般以我國古代數(shù)學(xué)名著中的幾何測量問題或幾何圖形為背景，考查解三角形或三角變換.

二、數(shù)學(xué)文化的典型題

1.趙爽弦圖

1700多年前，趙爽繪制了極富創(chuàng)意的弦圖，采用“出入相補”原理使得勾股定理的證明不證自明.該題取材于第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)，題干大氣，設(shè)問自然，流露出豐富的文化內(nèi)涵.既巧妙地考查了三角函數(shù)的相關(guān)知識，又豐富了弦圖的內(nèi)涵，如正方形四邊相等寓言各國及來賓地位平等，小正方形和三角形緊緊簇?fù)碓谝黄?，表明各國?shù)學(xué)家要密切合作交流等。

2.《九章算術(shù)》

《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.其中《方田》章有弧田面積計算問題，術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面積計算公式為：弧田面積=2（1）（弦×矢+矢×矢）.弧田是由圓弧（弧田?。┖鸵詧A弧的端點為端點的線段（弧田弦）圍成的平面圖形，公式中的“弦”指的是弧田弦的長，“矢”指的是弧田弧所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差。

3.《數(shù)學(xué)匯編》：

早在4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》第3卷第2部分就給出了算術(shù)平均、幾何平均、調(diào)和平均三種平均數(shù)的理論.嵌入幾何意義考查不等式，同時以平面幾何為載體，考查判斷三角形相似，及由三角形相似得到對應(yīng)線段成比例求出線段的比例關(guān)系，凸顯經(jīng)典數(shù)學(xué)名題的深邃內(nèi)涵和命題專家的過人之處.

4.割圓術(shù)

我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年.

例1（2007北京高考）2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的，弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖），如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ.那么cos 2θ的值等于________.

思路點撥：本題先根據(jù)題意確定大、小正方形的邊長，再由直角三角形中銳角的三角函數(shù)值確定角θ滿足的條件，依據(jù)相關(guān)的三角函數(shù)公式進(jìn)行計算即可.

解題分析：∵小正方形的面積為1，大正方形的面積為25.

∴每一個直角三角形的面積是6，設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，

例2：《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.其中《方田》章有弧田面積計算問題，術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面積計算公式為：弧田面積=2（1）（弦×矢+矢×矢）.弧田是由圓?。ɑ√锘。┖鸵詧A弧的端點為端點的線段（弧田弦）圍成的平面圖形，公式中的“弦”指的是弧田弦的長，“矢”指的是弧田弧所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差.現(xiàn)有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圓為圓O，若用上述弧田面積計算公式算得該弧田的面積為2（7）平方米，則cos∠AOB=（）

三、課后檢測

1.我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年.“割圓術(shù)”的第一步是計算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S₆，S₆=________.

2. 【2018貴州黔東南高三一?！课覈糯鷶?shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》在“勾股”一

章中有如下數(shù)學(xué)問題：“今有勾八步，股十五步，勾中容圓，問徑幾何？”.

意思是一個直角三角形的兩條直角邊的長度分別是8步和15步，則其內(nèi)切圓

的直徑是多少步？則此問題的答案是（ ??）

A. 3步 ?????B. 6步 ??????C. 4步 ??????D. 8步