追求，理想的數學課堂

策劃 張橋 魏永生 王麗華 執行 魏永生 魏繼軍 趙穎 李莉

孫明，哈爾濱市經緯小學的一名普通但又不平凡的數學教師。說她普通是因為她和千千萬萬的教師一樣，日日月月耕耘在三尺講臺；說她不平凡，是因為她三十出……絢麗的花環吸引了大家的目光。她精湛的教學藝術、鮮明的教學風格更使眾人為之嘖嘖稱贊……

一、一“惑”激起千層浪——感受思維靈動的暢達

走進孫明的課堂，你會感到那是真實又充實的，散發著濃濃的數學味。沒有表演式的矯情與造作，沒有熱鬧的裝飾與花哨，你感受到的是師生們火熱的思考，是師生們思維的靈動。她用課堂這一方天地向學生昭示的是數學思想的精髓，是數學思維的美麗。

著名數學教育家費賴登塔爾曾經這樣描述數學的表達形式“沒有一種數學的思想以它被發現時的那個樣子公開發表出來。一個問題被解決后，相應地發展為一種形式的技巧，結果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發明變成冰冷的美麗。”教科書上的往往就是美麗而冰冷的數學知識，而教師的教學就是要將這冰冷的美麗變為火熱的思考。

1 思辨固本，預約思維碰撞時那瞬間的美麗。

數學學習的本質是一種“思考”，這種思考是學生獲取數學知識，形成數學技能和能力的一種思維活動。而這種思維活動如果缺少了師生之間、生生之間、師生與文本之間的交流與碰撞，就好像“兩條平行線”一樣永遠也擦不出智慧的火花。教學中，啟發學生的思考，引導學生積極進行對自身活動的反省，對經驗的反思，在思考與分辨中可以加深對數學知識的理解，優化數學思維品質，提高學生的數學意識，形成學生的數學交流、應用、內化與創造的能力。

在教學“兩位數除一位數”時，孫明老師讓學生根據已有經驗，嘗試用豎式計算42÷2，學生列出了兩種豎式：

孫老師沒有按照通常的慣例指出算式①的問題在哪兒，而是這樣處理的：

師：認為算式①正確的舉手，認為錯誤的呢，(認為對和認為錯的學生幾乎對半。)

師：看來，大家對這個問題有不同意見，沒關系，兩種意見可以互相辯論，看看誰能說服誰!

(教師適時挑起的矛盾，使兩種“思維”之戰一蹴而就。學生在思辨中明白了正確做法的算理，知道了不恰當算法的問題所在。)

在聽孫明老師講課時，經?？吹饺绻麑W生出現錯誤，孫老師是“喜不自勝”。這又是為什么，原來孫明老師認為·課堂就是學生出錯的地方。只有發現學生思維的困惑點，才能及時組織學生反思、分辨，糾正錯誤認識，鞏固正確的理解，這正是思辨固本的大好時機。

孫老師的“高招”還不只于此，她并沒有“守株待兔”，等待學生困惑的降臨，而是備課時精雕細琢，巧妙安排，預設出課堂的精彩。

在教學“面積”一課時，為了啟發學生用多種方法來比較面積的大小，從而學會根據不同情況，選擇恰當的方法。孫老師設計了這樣一個教學環節：分小組奪獎杯，哪組能又快又準確地比較出長方形和正方形面積的大小，哪組獲勝。看似平常的“競賽”，奧妙在她發給學生的學具上：

①組：長方形面積明顯比正方形大，一眼就看得出，一比非常明顯。

如圖

②組：長方形的面積比正方形的大，但用比一比的方法不行，可以剪拼來比較。

如圖

③組：長方形和正方形的形狀、大小同第②組一樣，但卻由紙片變成了硬塑板。剪拼的方法不行了，學生只好另想辦法，用數方格的方法比較了它們面積的大小。

④組：長方形和正方形是同第③組一樣的硬塑板，但大小發生了變化，用方格也數不準了。學生只好用擺硬幣的方法來比較大小。

正如孫老師所料，第①組第一個完成了“任務”。此時，孫老師有意挑起了矛盾：

師：現在我宣布，第①組比較得又快又準，我要把獎杯獎給第①組，你們同意嗎，

生：(七嘴八舌)不同意！(許多學生“忿忿不平”。)

師：(一臉不解)為什么呀？

②組：我們得到的長方形和正方形的大小不能一下子就比出來，但我們想到了一個好辦法，也比出了它們面積的大小，所以不能只看快慢來評獎。我們遇到的情況不同，應該全面衡量！

每一個小組都不甘示弱，紛紛將自己遇到的情況和解決的辦法介紹給大家。學生漲紅的小臉上閃爍的是思維靈動的光彩，孫老師的臉上也洋溢著欣慰的笑容。

孫老師用她的教學告訴我們：數學教學中不是沒有美，而是缺少發現，教師心中有學生，眼中有資源，資源就會無處不在，精彩也會“如約而至”。

2 喚醒潛能，開啟“再創造”時思維靈動的閘門。

數學學習是一個充滿“再創造”的過程。雖然教材中數學知識都是前人已經發現總結出來的，但對于學生來說，仍然是全新的、未知的，需要他們再現類似的創造過程來完成認識。數學知識的學習并不是簡單地接受，而是通過學生經歷“再創造”的學習過程來獲得。這種“再創造”很具體地表現在他們思維品質的敏捷性、靈活性、深刻性、獨創性等方面。其實，每一個學生都潛藏著這種“思維潛能”，只要給予適時的喚醒和激發，必將開啟學生思維靈動的閘門，煥發出生命的活力。因此，在數學教學中，教師應給學生提供充分的再創造機會，激勵學生進行再創造活動。這樣的課堂，是向求知方向挺進的旅程，隨處都會發現意外的通道和美麗的風景。

在學完“除法計算”后，孫明老師給學生出了這樣的一道練習：給正確的算式和商連線。

294÷3 382÷2 875÷5 366÷6

61 175 98 191

師：你能運用哪些學過的知識和方法，快速地連線呢，

生1：先看366÷6，從百位除起，商一定是兩位數，所以175和191就排除了；再看被除數的個位和商的積，366的個位是6，所以除以6的結果只能是1或6，因此初步選61；再用61×6驗算就可以了。

生2：先看294－3，看被除數個位是4，除數是3，能整除的情況下商只能是8，所以選個位是8的，就是98。

生3：商175，和4個數的個位6、4、2、5相乘個位只能是0和5。所以判斷可能是875÷5的商。

生4：先看366－6和294÷3，被除數百位都不夠除，所以商應該是兩位數；382÷2和875－5的商是三位數，然后再分別計算其中一個算式就可以了。

由于孫老師把原本單一的豎式計算題目的要求稍微調整，將單一的思維空間拓展為一個開放性的問題：你能用學過的知識和方法快速連線嗎？這就激發了學生對問題深入觀察分析，調動以往的知識儲備，激活學生的思維，尋找多種方法去解決問題。這樣的學習，學生能盡展自己的才華，充分張揚個性。在問題的解決中鞏固了知識，訓練了思維，體驗到了成功的樂趣，學生自然美在其中，樂在其中。

二、與數學思想對話——共享師生互動的愉悅

課堂教學是師生互動的樂園，在這里師生通過交往、對話、合作來共同經歷數學知識的形成過程，體驗數學學習的樂趣。

課堂上，一切活動都離不開“對話”，這種對話絕不是師生間的一問一答，而是一種數學思想的交流、感悟。與數學思想對話，才是數學教學活動的靈魂。通過這樣的對話，讓學生經歷數學知識發現驗證的過程，當然這種過程并不要求去模仿或重復數學家們發現和創造數學的過程，而是將那些已經被發現或創造的數學作為實踐性、大眾化活動的任務，在教師的引導下讓學生自己去“再發現”和“再創造”，從而觸摸到數學家研究過程中的思想脈搏，獲得數學學習的方法和經驗。

孫明老師正是參透了數學教學中“對話”的真諦，才沒有使數學活動流于形式，浮于表面。她在課堂上向學生發出的每一個信息看似隨意，實則都是經過精心設計的，蘊含著教者的良苦用心；而對學生的反映，孫老師都能洞察秋毫，及時抓住關鍵，適當調整教學，授之以魚的同時又能授之以“漁”，甚至是授之以“漁場”。

1.在動態對話中，親歷數學模型建構的過程。

數學模型是數學基礎知識與數學應用之間的橋梁，是數學自身發展的階梯。研究模型可以幫助學生摸索數學的作用，產生對數學學習的興趣。一般認為，建立和處理數學模型的過程就是將數學教學理論知識應用于實際問題的過程。事實上，建立模型也是學生從實際情境中發展數學，“再創造”數學的絕好機會。在建立模型，形成新的數學知識的過程中，學生會更加體會到數學與大自然的天然聯系。為此，為了使學生體會理解數學知識的形成、應用過程，教師教學展開時采用了“問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展”的過程。在這個過程中，孫老師是以比較現實的有趣的或與學生已有知識相聯系的問題引起他們的討論。在解決問題的過程中，學生帶著明確的目的去了解新知識，形成新技能，反過來，解決原先的問題。學生在這個過程中，體會數學的整體性，體驗策略的多樣化，初步形成評價與反思的意識，從而提高解決問題的能力。

請看孫老師與學生以“插彩旗”為話題進行的一段對話活動。

教師課件演示“冰雪大世界”鳥瞰圖，外邊緣成正方形。

老師問：“要在冰雪大世界的四周插上彩旗，每邊彩旗數相等，怎樣求出一共插多少面彩旗，”

學生回答：“用每邊數乘以4。”

“不對，應該再減去4?！?/p>

老師不置可否：“到底應該怎樣計算呢，我們先以一處小冰景為例，小組研究，你都能用哪些方法來計算？”

(思考：由身邊事物引出的問題貼近生唐，又富有情趣，激發學生解決問題的欲望。)

匯報時學生爭先恐后，說出了以下幾種思考方法：

老師并沒有因此滿足，而是將學生思考引向深入

“同學們想出了這么多種方法來解決問題，那這些方法有什么共同的特點呢？”

學生思考后紛紛發表意見。

“都是通過每邊有幾面彩旗和有4個邊這兩個數量間的關系來求的?！?/p>

又一個學生接著說：“都是注意了每個角上的數不要重復計算。”

孫老師給予了肯定的評價：“你們非常注意觀察和分析，發現了解決問題的關鍵。在解決問題過程中抓住關鍵所在，多難的問題也會迎刃而解的。”

孫老師再次將問題拋給了學生：“怎樣才能避免四個角上的數不要重復計算呢，看看你們都采用了哪些好方法，”

學生互相交流后說：“第1種方法是把四個角上的數先計算出來，然后再減去重復的部分?！?/p>

“第2和第3種方法是先把4個角上的數分配在各邊上，保證不重復，然后計算。”

“第4種方法是先不算4個角上的數，然后再加上?！?/p>

“這幾位同學能從不同情況里歸納出共同特點，分析得很透徹，很精彩，準還有不同的方法來說明嗎，”孫老師步步緊逼，將學生推向數學思考的縱深地帶。

“這些方法，在算4個角的數時，有的是多算了要減掉，有的是先不算，然后再加上。”

“好，你們找到了解決這類問題的一種規律，善于尋找規律來分類解決問題，這是一種非常好的辦法?！睂O老師真誠的鼓勵與評價，使學生充滿了自信與滿足感。

(思考：“醉翁之意不在屑”，算出插多少彩旗并不是孫老師的目的，建立解決這類問題的數學模型才是真正意圖。)

“你們幫冰雪大世界解決了插彩旗的問題，現在讓我們走進去看看里面的冰景吧?！睂O老師用課件展示出三個冰景，鳥瞰圖分別是三角形、五邊形和六邊形?！艾F在要在這些冰景的四邊安上彩燈，每邊安6盞，你能幫助算出各冰景需要多少彩燈嗎？”

(思考：建立數學模型還不是刊、老師的最終目的，形成一種技能，建立思考方去，反過來再去解決問題。這一個“來回”的對話中，學生還會體驗到數學學習的價值與“數學地思考”的樂趣。這種互動式的交流，是孫明老師心中數學教學獨特的風景。)

2 在“靜態”對話中，點燃智慧的火花。

在新課程背景下的數學課堂中，滿眼是繽紛的色彩，熱鬧的場面，滿耳是激烈的爭辯、廉價的表揚，但卻恰恰忽略了數學學習的特點是一種思考的過程，是學生“再創造”的過程，而這種過程是厚積薄發，積水成淵的。大音稀聲，大象無形。數學教學的目標就是在這種靜態美中悄悄達成的。聽孫明老師的課，你總會不知不覺地沉浸在這種動靜交替的過程中，體會與數學思想對話的愉悅。

在“東南西北”一課的教學中，孫老師先是設計了數學實踐活動，帶領學生到市政府廣場辨認方向，繪制方位圖等，讓學生親自動手參與到“為什么用、如何用上北下南左西右東的規則在地圖上表示方向”這一知識的形成過程中，使課堂氣氛活躍，學生情緒高漲。

正在這個時刻，孫老師卻突然提出了這樣的要求：“請同學們閉上眼睛，想一想，如果你站在市政府廣場上，面向的是希爾西大酒店，那么你用手勢告訴老師北面在哪里?”課堂頓時靜了下來，學生都在調動自己的空間想像力，置身在腦海中的那個“廣場”上，實現著由“平面方向”到“立體方向”的轉化。果然不出孫老師所料，有好幾只小手高高地指向天空，告訴大家“上北下南”!此時，孫老師還是保持著沉默，但是學生互相間卻發現了問題所在，高舉的小手中有的開始改為指向“前方”，一只、兩只、三只……“怎么回事呀，”這回變成孩子們紛紛搶著告訴老師他們發現的“奧秘”。

誰說這不是對話，雖然這里沒有爭辯與討論，但卻是學生頭腦中兩種認知在“斗爭”，在“自我思辨”，在對話。在這靜靜的“對話”中，知識的獲得，技能的習得，能力的提升，情感的體驗都悄悄達成，如同春雨潤物無聲，這也正是孫老師追求的理想境界。

三、以智慧啟迪智慧——品味資源涌動的鮮活

“巧婦難為無米之炊”，不會尋找數學資源的教師所遇到的困境比“巧婦”要危險得多，它意味著教學“生命”言語，還是行為，都是教學中的“活資源”。盤活這些資源使孫明老師的教學總是亮點不斷。

在“淘氣一家的休息日”一課中，她讓學生用符號在日歷上標出淘氣和爸爸、媽媽的休息日。她巡視時，發現有一個學生沒有動筆，當了解到這個學生不知道用什么符號來表示時，孫老師沒有直接告訴學生，而是將學生的困惑作為解決下一個知識點的資源。

師：這個同學有一個問題想問問大家，看你們能幫他解決嗎，

學生都停下筆，好奇地聽著。

生·三個人的休息日都用同—種符號來表示，可以嗎，

學生紛紛發表意見，告訴他不能用同一種符號，以免3個人的休息日混淆，應該用不同的符號來區分。看著學生爭相解答，孫老師倒樂得悠然自得了。其實，用不同的符號來表示不同的數學信息，正是下一段教學中要解決的問題，孫老師巧妙地利用學生間的相互啟迪、相互學習的方法，調動學生主動性，讓他們不知不覺間自己解決了問題。

在“東南西北”一課中，孫明老師重組了教材，帶領學生課前到市政府廣場進行實踐活動，觀察周圍建筑的方向，并自己繪制方位圖。這些方位圖上方向是隨意制定的，沒有統一。

在回來的課堂教學上，孫明老師通過教學設計讓學生認識到了在圖紙上要統一方向，用“上北下南左西右東”來規范、這時，孫老師讓學生把自己展示在黑板上的圖紙拿回去修改一下，變成用“上北下南左西右東”來表示的規范的的枯竭。孫明老師的課堂教學之所以如磁石般吸引著學生，吸引著每一位聽課者，就是因為她心中有學生，眼中有資源。課堂上每一個細節，學生每一個閃光點或失誤都成為她的教學資源。在課堂上被她捕捉到的教學資源層出不窮，如趵突泉一樣“晝夜不息，永不衰竭，永遠那么鮮活……”看似信手拈來，實則是教學智慧的閃現，她正是用自己的教學智慧啟迪著學生，讓學生智慧的火花不斷閃爍。

我們的教學面對的是一個個富有個性的、具有獨特精神生活方式和經驗的學生，教學要促進學生發展，就不能忽視這一點。教師不僅要把學生看作“對象”、“主體”，還要看作是教學“資源”的重要構成者和生成者?！皩W生進入教學的初始狀態，是一種基礎性資源，也是課堂上師生互動、對話的起點。而學生在課堂上的狀態，包括他們的學習興趣、積極性、注意力，學習方法與思維方式，合作能力與質量，發表的意見、建議、觀點，提出的問題與爭論乃至錯誤等”，無論是示意圖，學生馬上開始動手畫起來。孫老師發現只有一個孩子沒有動，而是將圖紙一轉，就變成了“上北下南左西右東”了，孫老師意識到這是一個絕好的資源，她及時捕捉到了這一閃光點，讓這個學生講講是怎么想的。這個巧妙的方法使所有的學生茅塞頓開，對“東南西北”四個方位之間的相對關系建立了整體的認識，讓一個孩子智慧的種子在更多學生的心中發芽。

將學生的困惑和學生的智慧用來作為自己教學中突破難點的資源，這正是孫明老師的教學智慧的閃現。她正是用這種教學機智來實現著從預設到生成的轉化，詮釋著動態課堂上用智慧啟迪智慧的教學藝術。

在孫明老師的課堂教學中，你還能看到生活中處處皆資源、活用后的教材皆資源。她將生活中的數學信息引入到教學中來，與數學學習建立起聯系，從而讓學生學習生活中的數學，感受到數學的無處不在。孫明老師用每一堂課向學生昭示著生活數學、數學生活的哲理。教材文本是教師教學的依據，是教學的范例，它本身就是一種教學資源。但如果能夠將這種死“教材”活用，就會達到事半功倍的效果。對于每一節課，孫老師都在深入挖掘教材編寫意圖的基礎上，結合新的思想，結合實際情況將教材重組，為師所用，為學生所用，真正盤活了這一教學資源。

走近孫明老師，感受到她蓬勃向上的生機與活力；走近孫明老師的數學課堂，感受到師生生命流動的精彩；走進孫明老師和她的學生，感受到課堂是個快樂的家園，是個有魅力的地方。