萬有引力定律應用中的“知二求五”原則
2006-12-31 00:00:00徐榮根
物理教學探討 2006年21期
在“萬有引力”類問題中會涉及萬有引力常數G及做圓周運動的衛星（或天體）質量等七個物理量，題目中往往出現已知其中幾個物理量求另幾個物理量的問題。那么事先必須已知這七個量中哪些量才能求出其余的幾個量呢？下面以人造地球衛星為例分析并得出萬有引力定律應用中的“知二求五”原則。
圖為人造衛星繞地球作勻速圓周運動的示意圖。由衛星與地球之間的萬有引力提供衛星向心力及圓周運動知識，得①②兩式中，除萬有引力常數G及衛星質量m外，涉及七個物理量，分別是中心天體質量M、衛星圓周運動半經r、向心加速度a、線速度v、角速度ω、周期T、頻率f。由②式，角速度ω、周期T、頻率f三個量中只要已知其中一個，即可求出其余二個，所以上述七個物理量中相對獨立的只有五個，分別是M、r、a、v、ω（或T或f）。
1如果已知M、r、a、v、ω（或T或f）這五個物理量中的任意二個，根據①②兩式，就可以求出其余的五個物理量——這就是解決“萬有引力”類問題的“知二求五”原則。
例11999年月11月20日，我國成功發射了第一艘航天試驗飛船“神舟一號”。清晨6時30分，火箭點火升空，6時40分，飛船進入預定軌道。21日2時50分，飛船在軌道上運行約13圈半后接受返回指令離開軌道從宇宙空間開始返回；21時3時41分，成功降落在我國內蒙古中部。若飛船是圓形軌道運動，那么能求出哪些與飛船有關的物理量？（已知地球半徑R=6400km，地面重力加速度g=10m/s2）
解析由題意，飛船圓周運動的周期T
T=Δt/n=5.38×103s。③
對地面附近質量為m的物體，萬有引力即為重力
GMm/R2=mg得GM=R2g。④
由③④兩式得飛船的運動周期和地球質量，那么由“知二求五”原則 ，我們可以求得飛船運動的線速度、向心加速度、角速度、頻率、半徑，由于已知地球半徑，所以也可求出飛船運動軌道的離地高度H。
由①②③④得
例2（05全國卷Ⅱ18題），已知萬有引力常數G，月球中心到地球中心的距離R和月球繞地球運行的周期T，僅利用這三個數據，可以估算出的物理量有
A.月球質量
B.地球質量
C.地球半徑
D.月球繞地球運行的速度大小
解析已知月球中心到地球中心的距離R和月球繞地球運行的周期T，由“知二求五”原則，可估算地球的質量和月球繞地球運行的速度大小，所以答案為BD。
2對于繞不同中心天體做圓周運動的兩個物體，M、r、a、v、ω（或T或f）五個物理量中，如已知其中二組對應的物理量比值（如兩個圓周運動物體的軌道半徑之比和速度之比），就可求得其余幾組對應的物理量比值，這是對“知二求五”原則的補充。
例3(05全國卷Ⅲ 21題)，最近，科學家在望遠鏡中看到太陽系外某一恒星有一行星，并測得它圍繞該恒星運行一周時間為1200年，它與該恒星距離為地球到太陽距離的100倍。假定該行星繞恒星運行的軌道和地球繞太陽運行的軌道都是圓周，僅利用以上兩個數據可以求得的量有
A.恒星質量與太陽質量之比
B.恒星密度與太陽密度之比
C.行星質量與地球質量之比
D.行星運行速度與地球公轉速度之比
解析該題中有兩個圓周運動系統。一行星繞太陽系外某一恒星做圓周運動和地球繞太陽做圓周運動。而已知該行星繞恒星運動的周期與地球繞太陽運動周期之比為1200，該行星繞恒星運動的半徑與地球繞太陽運動半徑之比為100，由“知二求五”原則，可斷定求出該行星與地球繞各自恒星運動的速度之比、角速度之比、向心加速度之比以及該恒星與太陽的質量之比，由于不知道該恒星與太陽的半徑之比，無法確定它們的密度之比，所以該題的答案為AD。
例4（05全國卷Ⅰ16題），把火星和地球繞太陽運行的軌道視為圓周。由火星和地球繞太陽的運動的周期之比可求得
A.火星和地球的質量之比
B.火星和太陽的質量之比
C.火星和地球到太陽的距離之比
D.火星和地球繞太陽運行速度大小之比
解析對于繞同一中心天體做圓周運動的兩個物體，M、r、a、v、ω（或T或f）五個物理量中，由于中心天體質量M相同（即質量之比為1∶1），那么只要已知其中一組對應的物理量的比值，就可求得其余幾組對應的物理量比值。由題意，火星和地球都是繞太陽運動的，又已知火星和地球繞太陽的運動的周期之比，由“知二求五”原則，我們斷定可求得火星和地球繞太陽運動的線速度、角速度、半徑、向心加速度等物理量之比值。所以這題的答案為CD。
(欄目編輯黃懋恩)
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