一次“磨題”活動(dòng)的簡(jiǎn)介

熟練地解答各種數(shù)學(xué)題目并能選擇合適的教學(xué)方法使學(xué)生形成正確的解題方法和技能是小學(xué)數(shù)學(xué)教師必備的專業(yè)技能。在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中，小學(xué)數(shù)學(xué)教師要有意識(shí)地進(jìn)行解題錘煉、琢磨，努力形成解題技能和解體的教學(xué)策略，我們將這個(gè)過(guò)程稱為“磨題”。我們認(rèn)為“磨題”主要表現(xiàn)在三個(gè)層面上：一是把題目做出來(lái)；二是能深刻理解題目的內(nèi)涵，會(huì)并能熟練地用多種方法解答，能弄清各種解法之間的聯(lián)系；三是能考慮到各種解法與學(xué)生間的適應(yīng)性，即什么樣的解法適合什么樣的學(xué)生？從而選擇相應(yīng)的教學(xué)方法和策略。

“磨題”的關(guān)鍵是能深刻領(lǐng)會(huì)題目的內(nèi)涵，盡可能用多種方法解答，且弄清各種解法之間的聯(lián)系。在教師自己全面準(zhǔn)確把握了題目的內(nèi)涵和解法之后，更重要的是能考慮到各種解法與學(xué)生間的適應(yīng)性，即選擇合適的解法以適應(yīng)不同的學(xué)生。應(yīng)該說(shuō)“磨題”最終目的是為了讓學(xué)生更好地掌握解題的方法和技巧，而這一目的的實(shí)現(xiàn)僅靠教師個(gè)體并不能達(dá)到，只有通過(guò)教師之間的對(duì)話和研討才能實(shí)現(xiàn)！

例如，我們組織小數(shù)教學(xué)后備骨干教師進(jìn)行的一次“磨題”互動(dòng)中，就以著名的“雞兔同籠”問(wèn)題為研究的素材，進(jìn)行了一次深入的研究。

一、弄清什么是“雞兔同籠”

老師們通過(guò)查閱資料了解到“雞兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)古代著名趣題。大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問(wèn)題。書中是這樣敘述的：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？

還了解到日本人又稱“雞圖同籠”為“龜鶴問(wèn)題”（龜鶴共有100個(gè)頭，350只腳，龜、鶴各多少只？），在俄羅斯有人稱其為“人狗問(wèn)題”（一隊(duì)獵人一隊(duì)狗，兩隊(duì)并成一隊(duì)走。數(shù)頭一共是十二，數(shù)腳一共四十二。人、狗各多少？）

二、獨(dú)立探究，尋求多種解法

為便于計(jì)算，我們改變了數(shù)據(jù)出示了這樣一道例題：雞兔同籠共8只，數(shù)腳共有22只，雞、兔各有多少只？讓大家來(lái)共同研究。

首先，讓教師們自行解答，由他們自主探究不同的解法，力求多種解法！其次，大組交流各自的解法，由主持人將解法一一板書下來(lái)，便于梳理和對(duì)比。因此出現(xiàn)了以下多種豐富的解法。

解法一：畫圖法。假設(shè)8只都是雞，畫8個(gè)圓圈表示8只雞頭，每個(gè)圓圈下再畫2只腳，而題目中說(shuō)是22只腳，還少6只腳，所以將其中的三只雞在添上2只腳，這樣就補(bǔ)全了22只腳。這種方法，稱為畫圖補(bǔ)腳法。

解法二：列表法。因?yàn)殡u兔共有8只，所以通過(guò)列舉出：“雞的只數(shù)” 、“兔的只數(shù)” 和 “腿的只數(shù)”也可以求到雞、兔各有多少只。

解法三：方程法。設(shè)雞有x只，那么兔有（8-x）只，可列出方程2x+4(8-x)=22，從而求到雞、兔的只數(shù)。

解法四：假設(shè)8只都是雞，則腳的只數(shù)是16只（8×2），比實(shí)際的少了6只（22-16），那么就必須用兔子去換雞，一只兔換掉一只雞就會(huì)多出兩只腳（4-2），那么，少掉的6只腳就必須用3只兔子去換3只雞，即6÷（4-2）。

解法五：假設(shè)8只都是兔，則腳的只數(shù)是32只（8×4），比實(shí)際的多了10只（32-22），那么就必須用雞去換兔子，一只雞換掉一只兔就會(huì)少掉出兩只腳（4-2），那么，多出的10只腳就必須用5只兔子去換5只雞，即10÷（4—2）。

三、加強(qiáng)交流，享受不同的解讀

老師們?cè)诹信e出五、六種解法之后并未停止，而是進(jìn)一步對(duì)列舉出的解法進(jìn)行了深入地思考，出現(xiàn)了不少精彩的解讀。

1. 對(duì)應(yīng)于解法一，有老師提出了畫圖去腳法，即先畫成8只兔，然后逐步去掉2只腳就得到了雞的只數(shù)。

2. 對(duì)應(yīng)于解法四，有老師是這樣解讀的。讓每只雞兔都具有“特異功能”，雞飛起來(lái)，兔立起來(lái)，這時(shí)立在地上的腳全是兔的，它的腳數(shù)就是22-8×2=6只，因此兔的只數(shù)有6÷2=3只，進(jìn)而知道雞有5只。雞兔具有“特異功能”——想得巧！

3. 對(duì)應(yīng)于解法五，有老師是這樣解讀的。把每只雞的兩個(gè)翅膀也當(dāng)作腳，那么每只雞就有4只腳，與兔的腳數(shù)相同，則雞兔共有腳8×4=32只，多了32-22=10只腳，這就是雞的翅膀數(shù)，所以雞有10÷2=5只，兔有8-5=3只。把雞翅膀當(dāng)作腳——想得妙！

4.還有老師是這樣想的：讓每只雞都一只腳站立著，每只兔都用兩只后腳站立著，那么地上的總腳數(shù)只是原來(lái)的一半，即11只腳。雞的腳數(shù)與頭數(shù)相同，而兔的腳數(shù)是兔的頭數(shù)的2倍，因此從11里減去頭數(shù)8，剩下來(lái)的就是兔的頭數(shù)11-8=3只，雞有8-3=5只。金雞獨(dú)立，兔子作揖——想得奇！

5.對(duì)“金雞獨(dú)立，兔子作揖”還有更奇特的解讀：讓每只兔子又長(zhǎng)出一個(gè)頭來(lái)，然后將它劈開，變成“一頭兩腳”的兩只“半兔”，半兔與雞都是兩只腳，因而共有22÷2=11只雞兔，11-8=3只，這就是兔子的數(shù)目，（因?yàn)槊恐煌米幼優(yōu)閮芍弧鞍胪谩?，只?shù)增加1只），當(dāng)然雞就有8-3=5只。把兔“劈開”成“半兔”——想得特！

通過(guò)對(duì)話交流，老師們對(duì)“雞圖同籠”的解答有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，在分享解讀的過(guò)程中，達(dá)到了融會(huì)貫通之目的。

四、建構(gòu)模型，發(fā)揮名題的作用

在積極尋求和充分理解了“雞圖同籠”問(wèn)題的解法和思路之后，老師們對(duì)這一問(wèn)題的實(shí)質(zhì)進(jìn)行了提煉。從代數(shù)的角度思考，可以用二元一次方程去解答。同時(shí)作為有趣的算術(shù)題，對(duì)初學(xué)算術(shù)四則應(yīng)用題的學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算技巧很有幫助。許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類問(wèn)題，或者用解它的典型解法來(lái)求解。關(guān)鍵是要找準(zhǔn)變形后的“雞”、“兔”，或者說(shuō)要認(rèn)清題目中的“怪雞”和“怪兔”。老師們對(duì)常見的一些應(yīng)用題進(jìn)行了分析、歸納。

1. 12張乒乓球臺(tái)上同時(shí)有34人正進(jìn)行乒乓球比賽，正在進(jìn)行單打和雙打比賽的球臺(tái)各有幾張？（雞2腳，兔4腳，共12頭，34腳，問(wèn)：雞？只，兔？只。）

2. 30枚硬幣，由2分和5分組成，共值9角9分，2分、5分硬幣各有多少枚？（雞2腳，兔5腳，共30頭，99腳，問(wèn)：雞？只，兔？只。）

3. 小松鼠采蘑菇，晴天每天可以采20個(gè)，雨天每天可以采12個(gè)。6天后共采集蘑菇88個(gè)。求晴天有多少天？雨天呢？（怪雞12腳，怪兔20腳，共8頭，112腳，問(wèn)：怪雞？只，怪兔？只。）

4. 工地上運(yùn)來(lái)長(zhǎng)度分別為8米和5米的兩種規(guī)格的管子共25根，現(xiàn)在用它們鋪設(shè)管道一共鋪設(shè)了173米。工地上運(yùn)來(lái)兩種管道各多少根？（怪雞5腳，怪兔8腳，共25頭，173腳，問(wèn)：怪雞？只，怪兔？只。）

由以上所舉例子可見小學(xué)數(shù)學(xué)中的這類問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化成雞兔同籠這個(gè)模型去解決。

“磨題”作為一種有效的教師校本研修方式，可以使教師有較為清晰的解題思路，并在反思中對(duì)比各種解法，從而尋求到最佳的解題思路。在“磨題”的歷練過(guò)程中可以暴露思維的過(guò)程，梳理解題路徑，體驗(yàn)思維的樂(lè)趣，感受學(xué)生解題的艱辛。更重要的是“磨題”為教師提供了專業(yè)對(duì)話的平臺(tái)，在磨礪的過(guò)程中，發(fā)生思維的碰撞，分享思想的成果，從而真正促進(jìn)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)化發(fā)展！