經濟數據分析：一種基于數據的函數性視角的分析方法

摘要：在經濟數據分析中，經常會見到融合時間序列和橫截面兩者的數據。雖然20多年來，計量經濟學大量研究了具有時間和橫截面兩維特征的面板數據，并提出了許多行之有效的分析方法，但是面板數據只是函數性數據的一種類型，且其分析方法太過于依賴模型的線性結構和假設條件等。本文基于經濟數據的函數性特征，引入一種對數據進行分析的全新方法，并利用基于MATLAB編寫的程序，率先對經濟函數性數據進行分析，拓展了函數性數據分析的應用范圍，填補了我國在此方面研究的空白。實例分析結果表明，函數性數據分析方法，較之計量經濟學和其它統計方法具有更多的優越性，尤其能夠揭示其它方法所不能揭示的數據特征。

關鍵詞：函數性數據；修勻；函數性主成份分析；資產收益率

中圖分類號：F276．1

文獻標識碼：A

文章編號：1002—2848—2007(01)－0108—06

一、前 言

在經濟數據的傳統定量分析中，所分析的數據對象具有這樣的特征，即數據要么是時間序列數據，要么是橫截面數據。而實際中獲得的許多經濟數據，往往是在時間序列上取多個截面，再在這些截面上同時選取樣本觀測值所構成的樣本數據。計量經濟學中稱這樣的數據為“平行數據”(Panel Da—ta)，也被翻譯成“面板數據”，或“縱向數據”(longitudinal data)。20多年來，許多學者研究分析了面板數據。事實上，關于面板數據的研究是計量經濟學理論方法的重要發展之一，它在解決數據樣本容量不足、估計難以度量的因素對經濟指標的影響，以及區分經濟變量的作用等方面，具有突出優點。但是，研究面板數據的計量模型，以線性結構描述變量之間的因果關系，且模型太過于依賴諸多的假設條件，使得方法的應用具有一定的局限性。為了彌補面板數據的計量模型分析方法及其它統計分析方法的缺陷，本文基于經濟數據的函數性特征，介紹一種從函數視角對經濟數據進行分析的全新方法一函數性數據分析(Functional Data Analysis，FDA)。

函數性數據分析的概念，始見于加拿大統計學家J．O．Ramsay和C．J．Dalzell于1991年發表的論文《函數性數據分析的一些工具》。6年后，J．O．Ramsay和B．w．Silverman(1997)將對函數性數據進行統計分析的已有理論和方法，總結在《函數性數據分析》一書中。但這本書偏重方法的理論介紹和數學推導，不利于統計基礎薄弱者使用。經過5年的努力，J．O．Ramsay和B．w．Silverman研究了一些函數性數據案例，并將其具體的分析過程編入他們于2002年出版的專著中。雖然國外在這方面已經做了許多研究，也取得了許多有價值的結果，但是有關函數性數據的研究依然處于起步階段，還有很多問題需要研究或進一步完善。另外，從方法應用的具體領域來看，很少涉及對經濟函數性數據的分析。就目前研究文獻來看，我國在此方面的研究尚是一片空白。

為填補我國在這方面研究的空白，本文從思想、方法等方面，對函數性數據分析進行系統介紹，并通過編寫計算機程序，率先利用該方法分析實際的經濟函數性數據。本文共分六部分，以下內容的安排為：數據的函數性特征及經濟函數性數據實例、從數據的函數性視角研究數據的意義、函數性數據分析的目標和步驟、函數性數據分析方法的經濟應用，最后一部分是本文的結論。

二、數據的函數性特征及經濟函數性數據實例

一般地說，多元數據分析(Multivariate Data A-nalysis，MDA)處理的對象，是刻畫所研究問題的多個統計指標(變量)在多次觀察中呈現出的數據，樣本數據具有離散且有限的特征。但是，現代的數據收集技術所收集的信息，不但包括傳統統計方法所處理的數據，還包括具有函數形式的過程所產生的數據，例如，數據自動收集系統等，稱具有這種特征的數據為函數性數據。

函數性數據的表現形式多種多樣，但就其本質來說，它們由函數構成。這些函數的幾何圖形可能是光滑的曲線(如人體在成年前的身體高度變化等)，也可能是不光滑的曲線(如股票綜合指數等)。許多研究領域的樣本資料往往表現為函數形式，如考古學家挖掘的骨塊的形狀、按時間記錄的經濟數據、手寫時筆尖的運動軌跡、溫度的變化等。函數性數據分析(Functional Data Analysis，FDA)的基本原理是把觀測到的數據函數看作一個整體，而不僅僅是一串數字。函數指的是數據的內在結構，而不是它們直觀的外在表現形式。

實際中，之所以要從函數的視角對數據進行分析，是因為：(1)實際中，獲得數據的方式和技術日新月異、多種多樣，例如，越來越多的研究者可以通過數據的自動收集系統獲得大量的數據信息。更重要的是，原本用于工程技術分析的修勻(smoothing)和插值(interpolation)技術，可以由有限組的觀測數據產生出相應的函數表示。(2)盡管只有有限次的觀測數據可供利用，但有一些建模問題，將其納入到函數版本下進行考慮，會使分析更加全面、深刻。(3)在有些情況下，如果想利用有限組的數據估計函數或其導數，則分析從本質上來看就具有函數性的特征。(4)將平滑性引入到一個函數過程所產生的多元數據的處理中，對分析具有重要的意義。

在經濟分析中，融合時間序列和橫截面兩者的數據很常見，例如，多個國家、地區、行業或企業的多年的年度經濟總量、多家商業銀行歷年的資本結構、能源(如電力、煤炭、石油等)多年按月的消耗量、不同時間上多個省市的失業數據等。這些經濟數據往往呈現函數性特征，即每個個體對應著一個函數或曲線。在對經濟函數性數據進行分析時，將觀測到的數據(函數)看作一個整體，而不是個體觀測值的順序排列，這是函數性數據分析不同于傳統統計分析之根本所在。例如，表1是工商銀行、農業銀行、中國銀行、建設銀行1995年到2004年期間的資產收益率(ROA)數據。

利用基于MATLAB編寫的程序，對數據進行平滑處理(smoothing)，并繪出四家國有銀行的資產收益率(ROA)的修勻曲線(見圖1)。由曲線圖可以看出，每個個體(銀行)對應著一條曲線(其數學表達式為函數)，這是將多家銀行的歷年ROA數據記錄看作函數的根本理由，也是函數性數據分析的出發點。

三、從數據的函數性視角研究數據的意義

從函數的視角，對具有函數特征的經濟數據進行研究，會挖掘出更多的信息。例如，對函數性數據的平滑曲線展示，不但能夠診斷出擬合數據的可能數學模型，還能夠通過對光滑曲線求一階、或更高階的導數，來進一步探索數據的個體(橫截面)差異和動態變化規律。

圖2是四家銀行資產收益率的速度(一階導數)曲線，觀察發現：在1995年至2004年期間，農業銀行、中國銀行及建設銀行的資產收益率的變化率，呈現出較強的周期性，其中尤以建設銀行的表現最為突出。加速度曲線圖顯示，四家銀行資產收益率的變化率的波動狀況不相同，轉折變化的時間差異也較大。這些情況一定程度表明，各家銀行的內部管理與經營機制，對市場信息的反應快慢程度各不相同。

四、函數性數據分析的目標和步驟

函數性數據分析的目標與傳統統計學分析的目標基本一樣，具體情況如下：

(一)以對進一步分析有利的方法來描述數據；

(二)為突出不同特征而對數據進行展示；

(三)研究數據類型的重要來源和數據之間的變化；

(四)利用輸入(自變量信息)來解釋輸出(因變量)的變化情況；

(五)對兩組或更多的某種類型的變量數據進行比較分析。

典型的FDA主要包括以下步驟：

第一步，原始數據的收集、整理和組織。假設我們考慮的自變量是一維的，記為t，一個的函數僅在離散抽樣值 處被觀測，而且這些ti可能等間隔分布，也可能不是。在函數性數據分析中，將這些離散的觀測值看作一個整體。

第二步，將離散數據轉換為函數形式。這是利用各次觀察的原始數據定義出一個函數x(t)，它在某一區間上所有t處的值都被估算了出來。解決這個問題的基本方法是選定一組基函數 (t)，k=O，…，K，并用基函數的線性組合給出函數x(t)的估計

第三步，多種形式的初步展示與概括統計量。概括統計量包括均值和方差函數、協方差與相關函數、交叉協方差(cross—covafiance)與交叉相關(cross—correlation)函數等。

第四步，為了使每一條曲線的顯著特征都在大體相同的自變量處(如月份、年份等)顯現出來，可能需要對函數進行排齊(regigtration)，其目的是能夠區別對待垂直方向的振幅變化與水平方向的相變化。

第五步，對排齊后的函數數據進行探索性分析，如函數性主成份分析(FPCA)、函數性典型相關份析(FCCA)等。

第六步，建立模型。建立的模型可能是函數性線性模型，也可能是微分方程。

第七步，模型估計。

五、函數性數據分析方法的經濟應用

為了說明函數性數據分析方法的具體應用，同時出于使所繪圖形簡單明了，本文再次利用四家國有銀行的數據，對資產收益率進行更深入的分析。雖然此實例中個體數少，但并不妨礙對方法應用的系統描述與理解。

在對實際問題的經濟數據進行分析時，通常需要依照研究的目標編寫計算機程序。就目前的研究現狀來看，基于MATLAB或SPLUS等編寫的程序，如繪圖或綜合計算函數等，完全可以滿足分析的需要。本文首先基于MATLAB編寫程序，然后對四家國有銀行的資產收益率數據進行分析。

關于四家銀行資產收益率數據的函數(曲線)展示與初步分析，本文在前面已進行了描述，具體結果見圖1和圖2。概括資產收益率特征的統計量(均值函數和標準差函數)的曲線見圖3。

為了進一步探討典型函數所呈現的特征，本文利用函數性主成份分析，對四家銀行的資產收益率數據進行分析。一般來說，在函數性數據分析中，與多元統計中的某個主成份的權向量相對應的是主成份權函數(principal component weight function)，記為 ，其中t在一個區間 中變化。第i個樣品(個體) 的主成份得分值為 ，第一主成份就是在 的約束條件下，尋求使主成份得分 的方差達到最大的權函數 ，即它是下面數學模型的最優解： 類似地，可以求得第j個主成份，其權函數毛(t)是下面數學模型的解：

為了得到光滑的主成份，一種方法是對由上述方法求出的主成份進行修勻，另一種方法是將修勻處理過程，融入到主成份的求解過程中。具體作法是將描述主成份曲線波動程度的粗糙因子納入到約柬條件中，形成帶懲罰的約束條件。利用粗糙懲罰法求第j個主成份的數學模型是其中 稱為修勻參數，用它可對粗糙懲罰項進行調整。

利用上述方法和基于MATLAB編寫的程序，對四家銀行進行函數性主成份分析(FPCA)。具體結果見圖4。第一個主成份(PCI)的解釋能力為85．5％，第二個主成份(Pc2)的解釋能力為13．1％，前兩個主成份的綜合解釋能力為98．6％。

為了清晰地顯示主成份，并進行有意義的解釋，在同一圖中繪出三條曲線，一條是整體均值曲線，另兩條是對均值曲線分別加上和減去主成份的一個適當倍數而形成的曲線，具體結果見圖5(本文所選的倍數是0．12)。以上所述的三條曲線分別對應著圖5中的實心曲線、‘+’曲線和‘*’曲線。第一個主成份反映了資產收益率(ROA)的一般變化，尤其反映了資產收益率的“兩頭”變化情況(1999年以前和2003年以后)。第二個主成份反映了資產收益率(ROA)的中段變化。

六、結論

在經濟實踐中，越來越多的領域所得到的樣本觀察資料是曲線或圖像，即函數性數據。因此，對這種類型的經濟數據進行統計分析和描述，具有重要的現實意義。因篇幅所限，還有一些函數性數據的分析方法未予以介紹，如函數性方差分析、函數線性模型、函數性典型相關分析以及描述動態性的微分方程等。由于本文的主要目的，是通過對函數性數據分析方法和具體應用的介紹，傳述對數據進行分析的新思想，而不只是方法技術本身。因此，缺少的方法并不影響對思想的闡述。

另外，本文對四家銀行資產收益率的分析，例證了函數性數據的分析方法，具有傳統統計分析方法不可比擬的優越性，具體表現在：(1)通過對函數性數據的修勻，將一階或多階導數，如速度和加速度，引入到分析過程中。這一點在計量經濟學和多元統計的分析方法中未予以考慮。(2)函數性數據分析，用最少的假設來研究曲線間和曲線內部的結構變化。關于這一點它優于計量經濟學中處理“面板數據”的方法。事實上，面板數據只是函數性數據的一種類型，本文介紹的數據分析方法可用來處理許多領域的函數性數據，應用范圍相對寬廣，而且觀測時點也可以不等間隔選取。(3)將數據曲線的振幅變化與相位變化分開處理，是函數性數據分析的一個中心理念，但在以前的分析中卻被忽視了。

關于函數性數據的研究，是一個正在發展且活躍的研究領域，但因對該方法的研究在國際上還處于起步階段，因此，還有很多問題有待更深入地探討和進一步完善。特別是對經濟函數性數據的研究，因它與自然科學、考古學、醫學等學科中的數據相比，具有不同的特征，所以，如何抓住經濟函數性數據的本質特征，利用函數性數據分析的思想，探索適合其數據特點的分析方法，是一個值得研究的問題。

責任編輯、校對：李斌泉

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