體驗解決問題策略的多樣性

《數學課程標準》在課程目標中指出：“義務教育階段的數學課程要形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神。”

解決問題策略多樣性的體驗是啟發學生思維的靈活性和廣闊性，發展思維能力，培育創新精神的有效途徑。現舉例如下：

一、圖與式

算式是數學運算的一種表現形式，而數學運算的表現形式可以是多種多樣的。例如求幾個數的最大公約數與最小公倍數，可以用教材上介紹的短除式來求，也可以像下面用集合圈圖來完成。

例1 求18和30的最大公約數與最小公倍數。

分解質因數：

18=2×3×3

30=2×3×5

畫出集合圈圖：

可得：(18，30)=2×3=6

［18，30］=2×3×3×5=90

例2 求56、84和126的最大公約數與最小公倍數。

分解質因數：

56=2×2×2×7

84=2×2×3×7

126=2×3×3×7

畫出集合圈圖：

可得：(56，84，126)=2×7=14

［56，84，126］=2×7×2×3×2×3=504

說明：幾個數的最大公約數，等于這幾個數的質因數集合的交集所含元素的乘積(這幾個數有任意兩個互質時，這個交集是空集，最大公約數為1)。幾個數的最小公倍數，等于這幾個數的質因數集合的并集所含元素的乘積。

例3 已知兩個數的最大公約數是15，最小公倍數是180，求這兩個數。

分解質因數：

15=3×5

180=3×5×2×2×3

所求兩數的質因數分布圖只能是如下兩圖：

故所求兩數是45與60，或15與180。

二、數與形

形是數的直觀，數是形的抽象和概括。數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法。

例4 觀察下圖：

可得等式：1+2+3+4+5=1/2×5×6。

一般地，有1+2+3+…+n=1/2n(n+1)。

例5 觀察下圖：

可得等式：1+3+5+7+9=5²。

一般地，有1+3+5+…+(2n-1)=n²。

例6 觀察下圖：

可得等式：2+4+6+8+10=5×6。

一般地，有2+4+6+…+2n=n(n+1)。

三、線段圖與矩形圖

小學數學教材中常用一維的線段圖來表示應用題中的數量關系，但有時采用二維的矩形圖則更方便。線段圖是用線段的長度來表示數量的大小，矩形圖則是用矩形的面積來表示數量的大小。這樣，我們可以用長相等的兩個矩形表示不相等的兩個量，只要兩個矩形取與這兩個量成比例的寬就可以了。通過對矩形圖進行適當的變換，即可顯示出簡單的數量關系，有利于合理地提出中間問題，進而達到解決問題的目的。

例7 學校圖書館購回文藝書與科技書共1200冊。現在文藝書已借出2/5，科技書已借出5/8，還有540冊書沒有借出。問購回的這批新書中文藝書與科技書各多少冊?

畫出矩形圖

在矩形圖中添設如上圖的虛線，即可提出中間問題：學校圖書館購回新書1200冊，已借出2/5，還剩多少冊?可列式為：1200×(1-2/5)，進而可求出這批新書中科技書為：

［1200×(1-2/5)-540］÷(5/8-2/5)

=(720-540)÷9/40

=800(冊)

文藝書為：1200-800=400(冊)。

例8 姐妹共養兔100只，姐姐養的兔子的1/3比妹妹養的兔子的1/10多16只。問姐妹各養兔多少只?

畫出矩形圖

在矩形圖中添設如上圖的虛線，去掉上方的矩形后，相當于從姐姐養的兔子中去掉16×3=48（只），可劃歸為以下問題：姐妹共養兔52只，姐姐養的兔子的1/3等于妹妹養的兔子的1/10，問姐妹各養兔多少只?等價于：姐妹共養兔52只，姐姐養的兔子等于妹妹養的兔子的3/10，問姐妹各養兔多少只?

由此可以求得妹妹養的兔子數為：(100-16×3)÷(1+3/10)=40(只)，姐姐養的兔子數為：100-40=60(只)。

四、比與分數

比與分數是聯系密切的兩個概念，我們可以用比的知識解決分數問題。

例9 原來五年級的女生占全年級人數的8/15。新學期女生增加6人，女生占到全年級人數的5/9，五年級原有男女生各多少人?

將題中的條件改為用比來表述：原來五年級男女生人數的比是7∶8，新學期女生增加6人，男女生人數的比變為4∶5。這里男生人數為不變量，因此考慮這兩個比的前項。由于［7，4］=28，可以將這兩個比化成前項均為28的比，即7∶8=28∶32，4∶5=28∶35。

男生人數在變化出的兩個比中對應的都是28份，女生人數由32份增加到35份，增加的3份對應的就是新增的那6人，所以每份對應2人。于是，可以求得五年級原有男生為：2×28=56(人)；女生為：2×32=64(人)。

例10 有一定數量的酒精溶液，加水10克，酒精溶液的濃度變為25%；再加酒精40克，酒精溶液的濃度變為35%。問原來的酒精溶液的濃度是多少?

將題中的條件改為用比表述：在一定數量的酒精溶液中加水10克，酒精與水的比變為25∶75，即1∶3；再加酒精40克，酒精與水的比變為35∶65，即7∶13。

加入40克酒精前后，溶液中水的含量是個不變量，因此考慮這兩個比的后項。由于［3，13］=39，可以將這兩個比化成后項均為39的比，即1∶3=13∶39，7∶13=21∶39。

酒精溶液中水的含量在變化出的這兩個比中對應的都是39份，酒精的含量從13份增加到21份，新增的8份對應的就是加入的那40克酒精，所以每份對應5克。于是，可以求得加入40克酒精前的溶液中酒精的含量為：5×13=65(克)；水的含量為：5×39=195(克)。

因此，可以求得原來的酒精溶液的濃度為：65/65+185×100%=26%。