融會貫通巧解題

比和比例的知識在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用。比如，我國古代“四大發(fā)明”之一的火藥，它的原料是火硝、硫磺和木炭，這三種原料的重量之比是15∶2∶3。在東漢人徐岳編寫的《數(shù)術(shù)記遺》中，記載了用“量影求高”的方法計算一個較高物體的高度，這也是比例知識在實際應(yīng)用中的一個方面。以前我們學(xué)過的分數(shù)和百分數(shù)問題，就可以看作比與比例的問題。例如，甲數(shù)是乙數(shù)的3/4數(shù)和乙數(shù)的比是3∶4。又如，甲數(shù)的2/3數(shù)的75%，就是甲數(shù)/乙數(shù)=75%/2/3，即甲數(shù)/乙數(shù)=9/8。

知識之間是融會貫通的，挖掘知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，對于解答較復(fù)雜的問題極有好處。

一、抓住分數(shù)、百分數(shù)，轉(zhuǎn)化成比例

分數(shù)、百分數(shù)應(yīng)用題中的分數(shù)、百分數(shù)，往往體現(xiàn)數(shù)量間部分與部分、部分與整體之間的關(guān)系，利用這個關(guān)系，我們可以將其轉(zhuǎn)化成比例問題來解答。

例1. 三個車間共同生產(chǎn)一批零件，第一車間生產(chǎn)了600個，第二車間生產(chǎn)的是余下的20%，第三車間生產(chǎn)的正好是這批零件的一半。問第二、第三車間一共生產(chǎn)零件多少個？

分析與解：

畫出線段圖

從“第二車間生產(chǎn)的是余下的20%，第三車間生產(chǎn)的正好是這批零件的一半”可知：

①第二車間生產(chǎn)的／余下的=1∶5；

②第三車間生產(chǎn)的占4份，則三個車間生產(chǎn)的總數(shù)是8份；

③第一車間生產(chǎn)零件600個對應(yīng)的是(4-1)份。

列式為：600÷3×5=1000(個)

答：第二、第三車間一共生產(chǎn)零件1000個。

在這道題中，兩個分數(shù)的單位“1”不統(tǒng)一，需要對單位“1”進行轉(zhuǎn)化，但是如果利用比例的思想，則免去了統(tǒng)一單位“1”的麻煩。

二、統(tǒng)一不變量，轉(zhuǎn)化成連比

兩個數(shù)的比叫做單比，兩個以上的數(shù)的比叫做連比。遇到連比時，關(guān)鍵是將不變量的份數(shù)統(tǒng)一，從而作出比較。

例2．柳陰小學(xué)的校園里，原來柳樹的棵數(shù)是全校樹木總棵數(shù)的2/5。今年又栽種了50棵柳樹。這樣，柳樹的棵數(shù)就占全校樹木總棵數(shù)的5/11。問柳陰小學(xué)原來一共有多少棵樹木？

分析與解：

從“原來柳樹的棵數(shù)是全校樹木總棵數(shù)的2/5”和“種了50棵柳樹后的棵數(shù)占全校樹木總棵數(shù)的5/11”可知：

列式為：50×(4＋6)=500(棵)

答：柳陰小學(xué)原來一共有500棵樹木。

在這道題中，統(tǒng)一了不變量的份數(shù)，利用等量代換，使數(shù)量關(guān)系一目了然，輕松解答。

三、利用數(shù)量間的比例關(guān)系，巧妙解題

成比例關(guān)系的問題是：根據(jù)題中兩種相關(guān)聯(lián)的量是成正比例關(guān)系，還是成反比例關(guān)系，決定解答方法的問題。解答這類問題的關(guān)鍵是，正確判斷題中兩種相關(guān)聯(lián)的量之間是成正比例還是成反比例。

例3. 甲、乙兩列火車分別從A、B兩站開出，相向而行。甲車先出發(fā)20分鐘，相遇時，乙車比甲車多行8千米。已知甲、乙兩車的速度比為3∶4，乙車從B站行到A站需2.5小時。求A、B兩站的距離？

分析與解：在路程一定的情況下，速度與時間成反比。借助這個關(guān)系，我們可以輕松解題。下面簡要整理條件：

①甲車行完全程所用的時間為：2.5×4/3=10/3(小時)，則甲車速度為：3/10千米/小時；

②相遇時間：(1-3/10×1/3)÷(3/10+2/5)=9/7(小時)；

③相遇時甲車所行占全程的：9/7÷10/3=27/70；

相遇時乙車所行占全程的：9/7÷2.5=18/35；

④AB兩站的距離為：8÷(18/35-27/70-3/10×1/3)=280(千米)。

答：AB兩地的距離是280千米。

這道行程問題正是運用了“路程一定，速度與時間成反比”的知識，借助工程問題的思想巧妙解題。

綜上所述，我們只有在教學(xué)中及時地幫助學(xué)生梳理知識結(jié)構(gòu)，溝通知識間的內(nèi)在聯(lián)系，才能使學(xué)生融會貫通地運用所學(xué)的思想和方法，巧妙靈活地解題，使良好的思維品質(zhì)與合理的思維習(xí)慣得到培養(yǎng)。