“雞兔同籠”問題還可以這樣解

我國古代有一趣題：今有雉(野雞)兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何(各多少)?

這就是著名的“雞兔同籠”問題。它是指已知雞和兔的總頭數與總足數，求雞和兔各是多少只的應用題。解答這類題目一般用“假設法”來求解，即先假設它們全是雞或全是兔，然后根據出現(xiàn)的足數差，推算出雞或兔的只數，然后求出另一種動物的只數。

對于上面的題目，傳統(tǒng)的解法有兩種。方法一：假設35只全是兔子的頭，則雞有(4×35-94)÷(4-2)=23(只)，兔有35-23=12(只)。方法二：假設35只全是雞的頭，則兔有(94-2×35)÷(4-2)=12(只)，雞有35-12=23(只)。

學生提出新解法：假設94只全是雞的腳，則得：94÷2=47(只)，47-35=12(只)。算出來的12只是兔子，35-12=23(只)，而這23只就是雞。

看起來這個解法似乎比傳統(tǒng)解法還簡單，但為什么用47-35就能直接算出兔子的數量呢?是這種解法最難明白的地方。

學生解釋，由于假設94只全是雞的腳，那么94÷2=47(只)，這47只雞可看成是47個雞頭。而事實上全部才有35個頭，其中這個差數“12”個頭就該“砍掉”，把這“12”個頭下面的“12個2”只腳分別補到那35個頭其中的12個頭下面，即原來的35個頭中有12個頭下面是有4只腳的，即這12只就是兔子。

聽了學生的解釋，我認為頗有道理。看來，除了可以傳統(tǒng)地從“頭”著手解雞兔同籠問題，還可以從“腳”入手，而且比傳統(tǒng)解法少了一步。但這種解法也有缺陷，如果假設94只全是兔子的腳，那么94÷4=22……2，而余“2”的就是“1”只雞，那么有35-1-22=12(只)兔子和35-12=23(只)雞。這要根據題目所給“雞”和“兔”的只數計算，看過程中有沒有出現(xiàn)余數，如果出現(xiàn)余數，理解起來就比較困難。

也許正規(guī)來說，這種假設“腳”的解法不能算是新解法，但對于某種“雞兔同籠”的題目(例如上題)卻能比傳統(tǒng)解法更簡便。當然，傳統(tǒng)的假設法更具普遍性，因為無論“頭”為單數或是雙數，算法上需要乘一只動物的腳數，都不會出現(xiàn)余數，也就沒有由余數帶來的問題。也許古代的數學家們早就研究過這種解法，才推出具有普遍意義的傳統(tǒng)解法。可見，傳統(tǒng)的方法是具有科學性的。

但通過這么一討論，我們對“雞兔同籠”問題的理解就更加深刻了。作為一個小學生，剛接觸“雞兔同籠”問題，受到傳統(tǒng)解法的啟發(fā)，敢于提出不一樣的解法，而且有一定的道理，我覺得還是比較可貴的。在此，與廣大的一線數學教師分享該學生的“發(fā)現(xiàn)”，希望能得到同行們的指點。