三力動態平衡問題的分析

[摘要]在有關物體平衡問題中，存在著大量的動態平衡問題，所謂動態平衡問題是指通過控制某些物理量，使物體的狀態發生緩慢的變化，而在這個過程中物體又始終處于一系列平衡狀態。文章分析了解動態問題的關鍵是抓住不變量，依據不變的量來確定其他量的變化規律，常用的分析方法有解析法和圖解法。

[關鍵詞]三力動態平衡 解析法 圖解法

在有關物體平衡問題中，存在著大量的動態平衡問題，所謂動態平衡問題是指通過控制某些物理量，使物體的狀態發生緩慢的變化，而在這個過程中物體又始終處于一系列平衡狀態。解動態問題的關鍵是抓住不變量，依據不變的量來確定其他量的變化規律，常用的分析方法有解析法和圖解法。

解析法的基本程序是對研究對象的任一狀態進行受力分析，建立平衡方程，求出應變物理量與自變物理量的一般函數關系式，然后根據自變量的變化情況及變化區間確定應變物理量的變化情況。

圖解法的基本程序是對研究對象在狀態變化過程中的若干狀態進行受力分析，依據某一參量的變化（一般為某一角），在同一圖中作出物體的若干狀態下的平衡力圖（力的平行四邊形或力的三角形），在由動態的力的平行四邊形或三角形的邊的長度變化及角度變化確定某些力的大小及方向的變化情況。在這個方法里做受力分析圖的過程中比較繁瑣浪費時間，經過大量的針對訓練，本人慢慢摸索出一個特定的規律。

適用條件：三個力使物體處于平衡狀態，其中一個力大小方向均不變化設為F，一個力方向始終不變化設為F₁，第三個力方向發生改變設為F₂。

問題特點：問F₁F₂的大小變化情況？

規律內容：觀察兩個變化的力的夾角θ，方向不變化的力F₁的大小隨夾角變化而變化，即夾角增大則F₁增大，夾角減小則F₁減小；方向變化的力F₂在夾角等于90°時最小。

這樣只需要明確了夾角的變化就可以直接判斷力的大小變化了，節省時間也提高了準確率。

例1．固定在水平面上的光滑半球，半徑為R，球心O的正上方固定一個小定滑輪，細線的一端拴一個小球，另一端繞過定滑輪，如圖1所示，現緩慢地將小球拉到B點，則此過程中，小球對半球的壓力大小F_N、細線的拉力大小F的變化情況是（）

A．F_N變大，F不變

B．F_N變小，F變大

C．F_N不變，F變小

D．F_N變大，F變小

解析：（1）三角形法

小球緩慢運動，合力為零。由于重力G、半球的彈力F_N、繩的拉力F的方向分別沿豎直方向、半徑方向、繩的收縮方向，所以由G、FN、F組成的力的三角形和長度的三角形ΔAOC相似，所以有FN/R=mg/OC=F/AC

F_N=Rmg/OC F=ACmg/OC

拉動過程中，AC變小，OC與R不變，所以F_N不變，F變小。

（2）正交分解法

水平方向上：F_Nsinα―Fsinβ=0①

豎直方向上：F_Ncosα―Fcosβ―G=0②

解①②式得，F=Gsinα/sin(α+β)

F_N=Gsinβ/sin (α+β)

設A到OC間的距離為x，則sinα=x/R，sinβ=x/L，ΔAOC中由正弦定理得：(d+R)/sin［180°―(α+β)］=R/sinβ，解得sinβ=(d+R)x/LR，將sinα，sinβsin(α+β)代入F、F_N表達式即得

F=GL/ (d+R)，F_N=GR/(d+R).

可見，在L減小的時候，R與d+R均不變，F_N不變而F減小。

答案：C

例2．如圖2所示，輕繩AO、BO結于O點，系住一個質量為m的物體，AO、BO與豎直方向分別成α、β角，開始時α+β<90°。現保持O點位置不變，緩慢增加BO與豎直方向的夾角β，直到BO成水平方向，試討論這一過程中繩AO及BO上拉力各如何變化。

解析：此題即符合我們前面說過的規律，現在可知道結點O所受拉力中F_OC=mg，F_OA方向不變、F_OB方向改變，則兩個大小變化的力夾角從銳角變成鈍角的過程中，F_OA隨角度增大一直增大，F_OB在90°時最小，所以F_OB先減小后增大。

思考：若α+β>90°呢？

練習題：1．如圖3所示，把一質量分布均勻的光滑球放在斜面上，斜面上有一豎直擋板AO把球擋住，使球在斜面上靜止，把球受的重力G分解為G₁，G₂兩個分力，G₁垂直于斜面向下，G₂垂直于擋板AO，現使擋板AO以O為軸從豎直開始沿逆時針方向緩慢轉動直到水平，在這個過程中G2的大小。（）

A．一直變大 B．一直變小

C．先變大后變小 D．先變小后變大

答案：D

2．如圖4所示，用兩根繩子系住一個重物，繩OA與天花板夾角θ不變，當用手拉住繩OB的B端使繩由水平緩慢向豎直方向移動過程中，OB繩所受拉力將（）

A．始終減小 B．先減小后增大

C．始終增大 D．先增大后減小

答案：B

3．如圖5所示，把一質量分布均勻的光滑球放在豎直墻ab與cd之間，球靜止，板與墻的夾角為θ。把球受到的重力G分解為垂直于ab的分力G₁和垂直于cd的分力G₂。若把板的d端緩慢向上移，使θ角減小，則G₁和G₂的大小變化情況是（）

A．G₁變大，G₂變大

B．G₁變大，G₂變小

C．G₁變小，G₂變大

D．G₁變小，G₂變小

答案：A

（作者單位：遼寧遼陽市第二高級中學）