淺談立體幾何教學(xué)中學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)

摘要：技校生學(xué)習(xí)立體幾何重點應(yīng)放在培養(yǎng)綜合能力，即觀察能力、作圖能力和想象能力上。因為觀察是學(xué)好立體幾何的基礎(chǔ)，作圖是學(xué)好立體幾何的保證，想象是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵。

關(guān)鍵詞：立體幾何教學(xué)；能力培養(yǎng)

技校立體幾何課的教師都有這樣的體會：立體幾何課難教，學(xué)生不愛聽，考試成績不理想。究其原因有多種，如初中平面幾何知識掌握得不扎實；學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣不好；缺乏自我學(xué)習(xí)的能力等等。如何上好立體幾何課？筆者認(rèn)為，針對技校生的特點，重點不要放在幾何的運算技巧而應(yīng)放在培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，即觀察能力、作圖能力和想象能力上。使學(xué)生真正做到會看、會畫、會想，逐步形成新的心理習(xí)慣，使思維上升到自覺的水平。會看主要是讓學(xué)生排除干擾，形成習(xí)慣，掌握看立體圖的規(guī)律；會畫主要是掌握畫立體圖的原理、方法和技巧，形成心理適應(yīng)能力，并善于構(gòu)圖；會想就是指會在三維空間想象，突出想的范圍、想的方法和規(guī)律，善于把實物轉(zhuǎn)化為幾何模型，掌握立體幾何的思維規(guī)律。

觀察是學(xué)好立體幾何的基礎(chǔ)

觀察是發(fā)展數(shù)學(xué)表象思維的前提，而表象是在知覺的基礎(chǔ)上所形成的感性形象，即人在思想中形成的事物的印象，例如在知覺金字塔、帳蓬、鉛垂體的形象基礎(chǔ)上，概括出來的一般的錐體的感覺就是表象。更具體地說，構(gòu)成錐體的那些面、線在人腦的表征，就是一種數(shù)學(xué)表象。比如在立體幾何教學(xué)中，一談到“二面角”就能喚起主體頭腦中河流大壩或平緩的山坡；一講到斜線、射影，就會想起家鄉(xiāng)田野中的電線桿。學(xué)生的表象思維的形成有一個逐步產(chǎn)生、發(fā)展的自我建構(gòu)空間概念的過程。從學(xué)習(xí)一開始，學(xué)生就會努力通過自身觀察建構(gòu)表象。隨著學(xué)習(xí)的深入，通過對表象進行加工、調(diào)整、積累、補充、修改、提煉，最后真正建構(gòu)起完整準(zhǔn)確的表象，即通過原有的表象對新表象的同化、順應(yīng)，達到認(rèn)知結(jié)構(gòu)的平衡，取得良好的圖式。因此，在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生多對現(xiàn)實事物進行觀察，引導(dǎo)學(xué)生對圖形形成正確的表象，抓住圖形的形成特征與幾何結(jié)構(gòu)、個別不同的各種表象，從而建立起學(xué)生自已的空間觀念。對于技校學(xué)生而言，由于許多專業(yè)課要求有一定的實際操作，對零部件有直觀的了解。所以在立體幾何教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生觀察的能力是至關(guān)重要的。教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察教室內(nèi)哪些是兩個平行平面，它們具有哪些特點，說明為什么。學(xué)生通過對教室中墻面位置的觀察看到：（1）兩個平行平面沒有公共點。（因為如果有一個公共點它們就相交。）（2）一個平面的一條直線與另一個平面平行。（天花板上的任一條直線與地面平行，不然兩個平面就有公共點了，就相交了。）（3）左右的墻與前面的墻相交，得到的兩條交線是平行的。（在教師的啟發(fā)下也很快得到證明。）（4）教室內(nèi)能否找到兩條異面或平行的直線？（天花板墻面交線及地面與墻面的交線，墻面與墻面的交線中能夠?qū)ふ页隹臻g兩條異面、平行、垂直、相交的直線。）（5）通過書本顯示二面角的特點。

當(dāng)然，除了借助周圍實物來進行觀察引導(dǎo)，還可以通過制作模型進行觀察、分析，然后抽象概括出準(zhǔn)確的概念。比如在三垂線教學(xué)中，做一個簡單的模型，將一塊三角板的一條直角邊放在平面內(nèi)，而另一條直角邊移動成平面的斜線，讓學(xué)生觀察模型，可幫助學(xué)生理解和掌握三垂線定理。直觀教具的使用，能培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并理解數(shù)學(xué)知識，有利于抽象思維能力的培養(yǎng)。然而，在實際授課中，由于班內(nèi)學(xué)生人數(shù)多，用直觀教具很難使全體學(xué)生都能獲得模型的整體印象，可以通過多媒體展示立體幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生通過計算機觀察實物模型，幫助學(xué)生樹立空間概念。觀察是作圖、類比、想象的基礎(chǔ)，通過觀察實物、模型能加強對空間圖形的直觀了解，對作圖、演算極為有益。但要注意的是，觀察的目的不是為了說明存在相應(yīng)概念的原委以及它的基本形狀，重要的是借此分析、概括出準(zhǔn)確的概念。比如黑板代表平面，但要理解平面的“無限延展性”。

作圖是學(xué)好立體幾何的保證

掌握立體圖形的作圖方法，對后續(xù)學(xué)習(xí)有很大的幫助，如求體積和表面積、解析幾何、微積分以及專業(yè)課制圖的學(xué)習(xí)。技校生立體幾何掌握不好的一個很大因素是空間圖形不會做或作不準(zhǔn)，教材中這部分內(nèi)容所占的篇幅不大，主要介紹了水平放置的平面直觀圖畫法，然而一旦叫學(xué)生真的去畫三個平面相交圖，學(xué)生往往不知所措，學(xué)生作圖錯誤主要表現(xiàn)在以下三個方面：（1）畫圖特殊化。例如：兩條異面直線畫成如圖1所示，直線與平面相交畫成如圖2所示。（2）畫出圖形不直觀，虛線、實線畫不清楚。特別是在畫幾個平面相交時。（3）平面圖形與空間圖形混淆，把空間圖形畫成平面圖形。例如水平位置內(nèi)的直角三角形、正三角形、圓都畫成正面圖了。

究其原因，主要是受“平面圖形”影響太深，沒有很好地區(qū)別平面圖形與空間圖形的不同；觀察不夠，缺乏空間想象能力。針對此種現(xiàn)象，教師要多示范、多練習(xí)，在學(xué)習(xí)立體幾何初期，在課堂上可做一定量的畫圖練習(xí)，通過反復(fù)練習(xí)，使學(xué)生迅速掌握畫圖方法。在畫比較復(fù)雜的直觀圖之前，應(yīng)根據(jù)文字?jǐn)⑹龌蚰Ｐ瓦M行一定的空間想象，構(gòu)想出一幅直觀圖來，先畫個草圖，以確定圖形的形狀、大小和空間位置；再從圖中判別各元素的前后、左右等位置關(guān)系，分清哪些是可見的輪廓線，哪些不可見；然后再動手正式畫直觀圖。畫圖的順序應(yīng)是由前到后、由明到暗、先實后虛。為了培養(yǎng)學(xué)生空間想象力，教師可引導(dǎo)學(xué)生繪制正多面體圖形，在教科書上大多是正面與反面對稱的圖形，容易看懂，容易畫出，不妨引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度畫，先畫正四面體、正六面體然后嘗試畫正十二面體。

作圖并不是單純地將空間圖形在平面上顯示，有時需要結(jié)合點、線、面的基本概念。學(xué)生如果對這方面知識掌握不牢，遇到此類作圖題時會感到“束手無策”，不知從哪著手，不會想也不會做。教師可以指導(dǎo)學(xué)生自己動手，在計算機上制作模型。這種做法可以加速培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，同時也可以提高課內(nèi)外練習(xí)的質(zhì)量。立體幾何的作圖，著重于邏輯上的敘述，并不在于真實作圖。教師在計算機上邊講解邊作圖，能極大地提高學(xué)生的空間想象能力和畫圖能力，學(xué)生不會被課本上的所謂標(biāo)準(zhǔn)圖所束縛。

值得注意的是，立體幾何中的圖形只能畫出幾何體的直觀圖，它雖有立體感，卻不能完全真實地表現(xiàn)相應(yīng)的幾何體，所以不能像平面幾何中的圖形那樣給人以有效的直觀啟發(fā)，借助圖形去探索解（證）題就比較困難。學(xué)生不能從直觀圖直接看出有關(guān)相等線段與等角，往往習(xí)慣于從圖形中“直觀地”看到某些線段或角的“不等”而拒絕承認(rèn)它們相等的事實。為此，要結(jié)合觀察實物模型來識別、分析立體圖形中各種元素。

想象是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵

空間想象能力就是對客觀事物的空間形式進行觀察、分析和抽象思考的能力。要正確地把客觀事物的空間形式反映為數(shù)學(xué)中的幾何圖形，并通過對幾何圖形的分析和研究，理解客觀事物的空間形式的特征。學(xué)習(xí)立體幾何想象與思考是不可缺少的，當(dāng)我們觀察周圍空間形象時，自然會去類比、想象這些空間現(xiàn)象有什么特征、規(guī)律。在教學(xué)中，教師尤其要重視培養(yǎng)學(xué)生的這種能力。

例如，我們通過觀察教室中線、面各種位置關(guān)系后，可以引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）直線與直線、直線與平面、平面與平面之間沒有公共點就是平行，而平行就沒有公共點。這兩句話對嗎？為什么？這里突出直線與直線是在同一平面內(nèi)沒有公共點才平行，而異面直線沒有公共點，但不在同一平面內(nèi)。（2）直線與直線、直線與平面、平面與平面之間有一個公共點就相交，相交就有一個公共點。這兩句話對嗎？為什么？這里突出平面與平面有一個公共點就相交，且相交于過這點的一條直線，并指出公共點、公共直線的雙重性，以及交點交線在解決問題中的重要性。（3）直線與直線、直線與平面、平面與平面之間有兩個公共點？它們的位置關(guān)系如何？這時兩條直線重合，直線在平面內(nèi)，平面與平面就相交于過兩點的定直線。（4）如果平面與平面有三個公共點時位置關(guān)系如何？這里突出相交與重合兩種情況。通過引導(dǎo)學(xué)生觀察所學(xué)的直線與直線、直線與平面平行的判定，引出聯(lián)想問題。

另外，立體幾何許多問題可以歸結(jié)為平面問題來解決。對于角的概念，我們要弄清平面上的角的定義是什么？有什么特點？異面直線所成的角、直線與平面所在角、平面與平面所成的角，它們都可以轉(zhuǎn)為平面上的角來計算。對于“二面角”的定義，為什么這樣定義？如何作“二面角”？這些都需要學(xué)生去思考和想象。

平面幾何的許多結(jié)論也可類推到空間去。從平面幾何中兩直線的位置關(guān)系，類推出空間兩直線的相互位置關(guān)系，再類推出空間兩平面的相互關(guān)系。又從平行四邊形類推平行六面體，從多邊形類推出多面體，從圓類推出球，等等。要學(xué)好立體幾何，上述種種問題和思路都必須在教師的指導(dǎo)下進行思索和想象，才能領(lǐng)會它的真諦。

“看、畫、想”是培養(yǎng)學(xué)生動眼、動手、動腦的能力，但卻不是孤立的，而是同一過程的共同行為。只有觀察透了，才能對作圖做到心中有數(shù)；只有在頭腦中形成清晰的空間圖形，才能正確分析、思考、想象各元素之間的關(guān)系，進而演繹和計算各種空間度量。對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的技校生而言，提高觀察能力、作圖能力和想象能力是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵。