按揭合同中違約和提前償還期權的定價

[摘要] 本文采用計算機仿真方法計算固定利率按揭合同中違約和提前償還期權的價值，按揭合同存續期間各期策略以當期預期成本最小化為目標，通過逆向遞歸求得各種不同條款按揭合同的價值，進而得到各期權的價值。為了解決仿真技術與逆向遞歸的根本沖突，本文采用了Tilley(1993年)的“分束法”計算前一期按揭合同的價值。

[關鍵詞] 仿真違約期權提前支付期權

一、導言

按揭貸款在價值較高耐用品消費市場中占有很大份額，也是銀行金融業務的重要組成部分。隨著金融機構之間競爭的日益加劇，推出不同按揭金融產品以滿足不同消費者的需求是大勢所趨。以房貸市場為例，在我國1997年以前，國內居民買房基本都是一次性付清，談不上有房貸市場。1997年初，國家為啟動房地產市場，逐漸放寬房地產信貸政策，1998年國家取消福利分配住房制度，正式出臺個人住房貸款管理辦法，個人房貸市場開始逐漸發展。隨后，在最初按揭貸款方式等額本息的基礎上逐漸推出等額本金，等額遞增，等額遞減等房屋按揭方式。2006年，中國建設銀行、光大銀行、招商銀行推出固定利率房貸，深圳發展銀行則推出“雙周供”業務，中國農業銀行在廣東、北京等分行試點“接力貸”新型房貸業務。

金融機構開發和推出金融產品的周期在不斷縮短，如何采取有效且經濟的方法定價不同的金融產品是一個需要不斷探索和完善的課題。本文通過計算機仿真技術估算按揭合同中內含期權的價值，為金融產品的定價提供部分的理論依據。

二、文獻回顧

Epperson等（1985年）討論了固定利率按揭合同中違約保險的定價。他們認為該保險可以看作復合看跌歐式期權。根據Black－Scholes－Merton微分方程：

建立偏微分方程，用有限差分法解方程，得到期初違約期權的價值。Cunningham和. Hendershott（1984年）從或有要求權出發定價了違約期權。 Brueckner(2000年）從信息不對稱角度對按揭違約進行了討論。

Hall(1985年）認為固定利率按揭合同中的提前償還條款是一看漲期權，因為貸款人可以

以事先知道的不受利率影響的價格回購按揭合同。但是該期權在兩方面區別與標準金融期權：一是提前償還期權始終由按揭抵押證券發行者持有；二是一旦按揭關聯財產被售出，按揭貸款或者被重新支付，或者轉移給新的財產所有者。Hall接著通過模擬利率二叉樹求解期初提前償還期權的價值。Murphy（1991年）建立了價格路徑模型，假定提前償還是看漲期權價值的函數，前向迭代求解提前償還期權的價值。Murphy（2000年)比較了利率路徑模型和價格路徑模型的效果，認為價格路徑模型與實證分析更為吻合。

Leung和Sirmans(1990年)用網格法分別計算了違約期權，提前償還期權，違約及提前償還混合期權的價值。Kau等(1992年)考慮到提前償還與利率的期限結構有關，而違約則是由于按揭物價值的波動，以利率和按揭物價值為不確定因素建立了二維偏微分方程，求解了提前償還期權和違約期權的價值。Ambrose和Sanders（2003年）使用按揭抵押證券數據對提前償還和違約進行了分析。

三、模型及算法

數學家們傾向于在用其它方法無法或者非常困難得到解時才考慮應用仿真技術，恰恰相反，投資者總樂于用一種方法計算所有的資產組合，金融中介機構則樂于用一種方法來分析整個資產——負債情況，而仿真方法使其成為可能。市場是千變萬化的，諸多因素都影響著資產價格，通過建立嚴謹的非線性偏微分方程模型得到資產及其衍生產品價格的近似解非常的困難，采用仿真方法來解決問題便成為一個較好且實際的選擇。本文嘗試用計算機仿真方法來定價固定利率按揭合同中違約和提前償還期權，模型中假定按揭合同為固定利率等額償還方式。

1.環境變量

根據Kau等(1992年)的理論，期權價值受按揭物價值和利率的影響，本文定義一個標準的經濟環境，假設按揭物價值與利率不相關。其中

(1)按揭物價值波動是一維納過程：

①

分別表示按揭物的期望回報率，折舊率，標準差；為一標準維納過程

（2）根據Cox， Ingersoll和 Ross(1985年)理論，利率期限結構為均值回歸平方根過程：

②

分別表示調整速度，穩態利率，利率標準差；為標準維納過程

2.決策標準

根據①②模擬每一支付日按揭物的價值及當期利率，模擬次數為K次。在每一還款日貸款人有三種選擇：違約，正常支付，提前償還。貸款人在每一還款日以成本最小化為目標函數作出決策。采用Leung和Sirmans(1990年)的標準來測算各種選擇的成本：

（1）正常支付的成本：MP+MB(i，k)

（2）違約的成本： (1+a)*H(i，k)

（3）提前償還的成本：(1+β)*RB(i)+MP

MP，MB(i，k)，H(i，k)， RB(i)分別表示每期支付額，路徑k中第i支付日按揭物的帳戶余額，路徑k中第i支付日按揭物的價值及第i還款日按揭的帳戶余額；β，a分別表示重新融資成本，違約的懲罰因子；其中i=1，2，…，T；T為按揭支付的次數；k=1，2，…，K；K為模擬的次數。

當i=T，即合同期末時，貸款人在正常支付和違約之間作出選擇。

按揭的價值M為：

M(i，k)=min{ MP+MB(i，k)， (1+a)*H(i，k)，(1+β)*RB(i)+MP}，i=1，2，…，T－1； k=1，2，…，K

M(T，k)=min{ MP， (1+a)*H(T，k) }， k=1，2，…，K

定義狀態變量SI（State Index）：

3.求解按揭賬戶余額MB的動態規劃算法

基于Epperson等(1985年)的觀點，違約期權和提前償還期權是復合型的歐式期權。由于復合期權前一期期權價值受后續期期權價值的影響，復合期權的定價是一逆向遞歸動態規劃過程。而普通模擬技術在本質上都是一前向遞歸過程（Michael等，2000年），并不適合直接解決逆向遞歸過程。但Tilley(1993年)提出了“分束法”解決這一內在矛盾，即在算法應用之前模擬所有的隨機過程。本文利用Tilley(1993年)思想從按揭物價值路徑法求解按揭物的賬戶余額MB。按揭物價值路徑動態規劃算法步驟為：

（1）根據①②模擬每一支付日按揭物的價值及當期利率的路徑，模擬次數為K（K=Q*P）次。

（2）在時期i對按揭物的價值H（i，k）進行排序，將排序后的H（i，k）分為Q束，每束有P個路徑。

（3）支付日按揭的賬戶余額RB(i)=MP*(1-(1+R/m)^(i-T))/(R/m)。

i=1，2，…，T－1；R為按揭合同的固定利率；m為每年支付頻率。

（4）確定M(i，k)：M(i，k)=min{ MP+MB(i，k)， (1+a)*H(i，k)，(1+β)*RB(i)+MP}，i=1，2，…，T－1； k=1，2，…，K；

（5）確定SI(i，k)。

i=1，2，…，T－1； k=1，2，…，K。

（6）從i期r中隨機挑選一束大小最接近的P個r值作為i期某束的利率：r(i，k)

i=1，2，…，T－1； k=1，2，…，K。

（7）計算第q束的MB(i，k): MB(i，k)=

i=1，2，…，T－1； q= 1，2，…，Q; k=1，2，…，K。

（8）i=i-1，返回（2）；

初始條件：M(T，k)=min{ MP， (1+a)*H(T，k) }， k=1，2，…，K；

4.計算期權價值

應用同樣的方法，可以求得不可違約不可提前償還合同中按揭物的賬戶余額NDP，不可違約可提前償還合同中按揭物的帳戶余額ND，可違約不可提前償還合同中按揭物的賬戶余額NP，各期權價值分別為：

(1)第i期違約與提前償還混合期權:DPO(i)=。

(2)第i期違約期權:DO(i)=。

(3)第i期提前償還期權:PO(i)=。

其中i=0，1，2，…，T－1。

四、實證分析

1.參數對期權價值的影響

以本文的模型為例，當按揭物的價值波動σk為0.05時違約價值（DO）均為0，當σk增大到0.15時， DO的值為按揭物價值的0.3%～4%，當LTV=0.95，a=0.10， 從0.05變化到0.15時，DO從按揭物價值的0.9%增加到4%；違約懲罰因子a對DO的影響明顯，特別地，

當LTV=0.95，σk=0.15，σk=0.15時，當a為0.30，DO的值僅為a=0.10時的1/10，說明成熟的信用體系能有效的沖抵利率和資產的波動；在其他條件相同的情況下，LTV=0.80時DO值遠小于LTV=0.95時的DO值，說明提高首期支付對防止違約是有效的；再融資成本β的變化對DO沒有影響。

提前償還期權PO隨利率波動率σk的變化而明顯變化:其他參數一定時，σk為0.15時PO的值是 為0.05時PO值的三倍多;LTV從0.8變化到0.95時，PO的值也增加了約按揭物價值的1%;再融資成本β的變化對PO的影響不明顯；PO與σk，違約懲罰因子a沒有關系。

當DO不為零時，混合期權DPO的值小于DO與PO值的和，因為一個期權的執行使另一個期權自動失效。尤其當DO、PO的值都很大時，DPO與DO、PO之和的差距顯著。

2.期權狀態分析

圖1示意了a=0.10， β=0.02，σH=0.15，σr=0.15，LTV=0.95，即對應于表2第四列參數的DO，PO，DPO，DO+PO的價值隨合同到期日的臨近而逐漸衰減。圖2則是當參數取值為 a=0.30， β=0.02，σH=0.15，σr=0.15，LTV=0.95時各期權價值隨時間的變化。圖1、圖2的比較顯示a的上升使DO值大幅下降。

圖3示意了a=0.10， β=0.02，σH=0.15，σr=0.15，LTV=0.95時混合期權各期執行期權（Prob.DP）概率及其中違約概率（Prob. D(DP)）、提前償還概率（Prob.P），單一違約概率（Prob. D(s)），單一提前償還概率（Prob. P）隨時間的變化。混合期權執行概率及提前償還概率大約相等，而且在相當長一段時間內概率大小隨機波動，直至160期概率才開始明顯衰減。混合期權中的違約概率在合同持續期都非常小，但是當違約期權單獨存在時，尤其在合同前期，違約可能性不容忽視。

圖1圖2圖3

五、模型拓展和結語

仿真方法提供了一種直觀高效的算法計算按揭合同中提前償還期權、違約期權及兩者混合期權的價值。由于其各期的決策取決于當期的成本預期，該模型經過適當修改可以用于計算其他方法難于計算的期權價值，特別適合計算合同中的內嵌期權或者內嵌選擇權。模型一旦建立，可以根據需要給各參數取值，分析出需要的結果。

由于缺乏實際的市場數據，無法驗證該模型所得結果與現實的擬合度，從而無法進一步對模型進行修正。如果相關的金融從業機構或研究機構對該模型有些許興趣，歡迎修改、修正模型。