隨機投資收益情況下的破產問題研究

一、引入模型

對經典破產論進行擴展：將每單位時間收到的保險費是一個常數改進為總保費收入為一個random walk。

于是我們得到以下t時刻保險公司盈余的方程

令R_t代指在0時刻投資一單位資金在t時刻將增值為e^Rt單位。在金融工程學中我們一般采用以下公式計算R_t

公式中的r是投資收益中非隨機的部分，是指收益中隨機游走的部分。

考慮到收益率中包含復合泊松過程，我們可以用以下過程描述保險公司的收益率：

然后我們就可以定義有關保險公司的全部資產Y的隨機變化規律。顯然，Y包括保費收入加上投資收益（可能為負值）減去理賠支出。表示為數學形式即

這里y=Y0為保險公司的初始資產，收益率采用（3）式形式， Paulsen and Gjessing(1997)的文章中得到:

二、復合資產條件下的破產問題的破產時間和概率

破產論研究的核心問題之一是保險公司的破產概率。下面我們給出復合資產條件下的破產問題的破產時間和概率。

若定義破產時間：

Dassion和Embrechts（1989）提出一個比較著名的模型：

但是大量的實踐表明Ty的分布函數一般都相當的復雜。從而導致的具體形式不易求得。我們可以求得的上下界，從而估計。

三、投資回報對收益的影響

針對模型：

這一公式說明：如果采用Rt=rt假設，即收益力與時間成正比，那么其比例常數r如果是負數，意思就是隨著時間的增長收益率遞減并趨向于0，那么保險公司就一定會破產。

如果采用假設，那么如果，保險公司就一定會破產。即在投資中，保險資金的投資收益率要與投資波動性的平方成正比，波動性越大要求收益越大，而次數比較多、平均收益較大的復合泊松收益過程則會對投資收益率的要求降低。

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