基于ＣｖａＲ和ＲＡＲＯＣ的投資組合優化模型

[摘要] RAROC（風險調整的資本收益率）是商業銀行用于經營管理的核心技術手段之一，用經過調整后的收益與風險資本的比值對銀行的經營績效進行評估。在本文中我們用CVaR來度量風險資本，提出了一個新的投資組合優化模型，并對該模型進行分析。并驗證了該模型的有效性。

[關鍵詞] RAROCCVaR(條件風險價值)投資組合風險管理

一、引言

20世紀80年代以來，隨著經濟全球化和金融一體化進程加快，現代金融理論和信息技術發展迅速，新的金融工具層出不窮，從而引發了全球金融市場的迅猛發展，同時也帶來了前所未有的市場波動，銀行業面臨著巨大的金融風險。作為風險管理的風險度量，也已成為當今銀行業風險管理控制的焦點所在。與此同時，隨著我國對外開放進程的加快，國內銀行業改革如火如荼，風險度量作為銀行金融管理的基石也受到國內銀行業的高度重視，而VaR是當前銀行業主流風險度量方法，但它不是一致性風險度量指標，損益分布的尾部損失信息反映不充分，即不能反映損失一旦超過VaR時潛在損失大小，但這些低頻高危的極端事件一旦發生，給銀行帶來的將是巨額損失，甚至是滅頂之災，而CVaR（修正VaR方法）可以克服的這些VaR的缺點，并具有很多良好的特性，因此它漸漸受到銀行業的重視。

而在銀行業績測評系統中RAROC（Risk Adjusted Return On Capital即風險調整的資本收益率）是核心技術手段之一，它是一個充分考慮各種成本和風險暴露的盈利性指標，充分反映了收益中的風險成本，能全面真實的反映考核對象的實際經營成果，不但體現當前收益，也體現未來風險。在這項指標中風險的度量通常用方差或VaR，但由于方差作為度量風險的做法已受到質疑：方差關于平均收益是對稱的，這意味著高于該平均值的收益也被計為風險，而VaR度量風險也有較大的局限性，所以本文以CVaR來度量風險，并考慮中國商業銀行的證券投資業務，建立一個有風險約束的使得RAROC最大的投資組合優化模型，并對此模型進行分析。驗證它的有效性。

二、相關知識介紹

1.RAROC介紹

RAROC（Risk Adjusted Return on Capital），即風險調整的資本收益率，它改變傳統上銀行主要以帳面股東收益率或股東回報為中心考慮經營業績和進行管理的模式，更深入更明確的考察風險對銀行業的巨大影響，RAROC的核心原理是銀行在評價其盈利情況時，必須考慮其盈利是在承擔了多大風險的基礎上獲得的，即一單位的風險資本能帶來多大收益。其計算公式為：

NIM表示凈收益等于收入減去資金成本，NIE表示經營成本，EL表示預期損失，表示邊際稅率，n表示資產種數，代表方差，代表相關系數，用來計算在險資本。在險資本是銀行為了吸收緩沖風險而準備的資本，是銀行所承擔風險的最低需要。

2.CVaR模型介紹

設變量X是投資組合可行集，令為投資組合的損失函數，其中為n維投資組合方案向量，為m維隨機變量，表示市場的隨機因素。假設y的聯合概率密度函數為P(y)，對于確定的x，由y引起的損失是R上的服從某一分布的隨機變量，其不超過臨界值的分布函數為：

對于任意固定的x，函數是在投資組合下的損失積累分布函數。

以表示置信水平，表示當投資組合為x時，損失所對應的VaR值，其計算公式為：

又以表示損失函數不小于時的CVaR值：

利用上述定義直接計算和優化VaR和CVaR是相當困難的，文獻[4]中通過一個特殊的函數將CVaR和VaR兩者有效的聯系起來，定義：

式中:表示在上述假設下可以證明是凸函數，所以以它作為為優化目標可以做到局部最優解即為全局最優解，并可以證明

若令，則是一個非空，閉的有界集，它的下確界就是置信度為的VaR值，以下情況總是成成立：

上述結果有很好的理論價值，因為當Y為連續型隨機變量時，是凸的連續可微函數，就可以很簡單的通過求解關于的一階導數獲得。這時僅含一個點，該點就是值（在一般情況下，不只含一個點）。

通常情況下，概率密度函數P(y)的解析表達式難以得到，可以利用隨機變量y的歷史數據，或使用monte Carlo法模擬樣本數據來給出式（4）中積分的估計，設為y的q個樣本，則函數的估計值為：

它是關于的凸的分段線性函數，它可用線性規劃技術求解，通常基于式（5）確定資產的最優組合系數向量x及x相應的CVaR和VaR的值。

三、基于CVaR的投資組合優化模型

隨著中國銀行業的發展，商業銀行的業務也不斷多元化，證券投資業務也日漸成為商業銀行的主要業務，在本節中我們基于這一實際情況，以及中國證券市場的實際情況考慮一種新的單期投資組合優化模型。

設xT=(x₁，x₂，…，xn)(x_i>0)為n種投資者持有的n種風險證券的投資組合的頭寸向量，x_i>0。

假設該n種證券最小交易單位在投資期初的價格為，則投資組合最初的價值為：

假設該n種證券在投資期末的價格為，該向量是一個多元隨機變量，假設服從多元對數正態分布。

定義投資組合的收益函數為R(x，y)，則，故投資組合的損失函為：

將式（6）代入式（4），得到的形式為：

取期末投資組合的期末價格y的樣本值y¹，y²，…，yN（在此取用過去歷史上N個交易日的價格收盤價），即假定投資組合期末價格變量y有N種可能，故有：

假定每種可能發生的概率均為，則式（7）的估計式為：

因此投資期末的第i種證券的期望價格為：

設c_i（i=1，2，…n）為第種i證券的單位運營成本，則這種成本的總和為：

由于證券投資的風險主要來自信用風險，故我們只考慮信用風險帶來的預期損失（信用風險預期損失=風險敞口違約概率違約損失率），設第i種證券的違約概率為qi，違約損失率為ti，則信用風險的預期損失為：

最后我們考慮稅收對收益的影響，設稅率為，記RAROC函數為c(x)，則整個投資期的收益率函數為：

故我們要建立的投資組合優化模型為：

第一個約束條件為風險約束，為風險水平，第二個約束條件表示投資在第i種證券上的投資金額不得超過總金額的為置信水平。

四、實證分析

上面，我們建立了一種最優投資組合模型，在這一節中，我們任意選取上海證券市場中10支股票為風險資產，即n=10，而將活期儲蓄作為無風險資產；假定投資者在投資期初持有1000000資金；取2001.11.15-2003.2.28各個股票的日收盤價作為原始數據，J=300；投資期為2003.2.11-2003.2.28；b₁=0.1(i=1，2，…，10)，ci=0.30(i=1，2，…，10)，=0.0024，v₀=1000000，=95%，=360000，q_i=0.1(i=1，2，…，10)，t_i=0.1(i=1，2，…，10)，利用matlab編寫程序，得到計算結果如下：

由實際數據計算得到的RAROC=5.031%；由此可以看出由模型的計算結果和有實際數據得到的結果很接近，說明得到的組合優化結果非常理想。從實證分析中我們可以看出該模型是非常有效的，不僅可以使收益最大。也可以降低風險，同時該模型也存在不足，比如：數據有可能存在不真守性，這與我國目前的市場有關。同時編程計算比較復雜，、等的確定有較大的主觀性，這些都有待進一步的改進。

五、結束語

CVaR作為風險度量的指標克服了VaR的不足，它是一致性的風險度量指標，具有很多優良特性。誠然，目前CVaR尚未成為金融業的一項公認標準，但因為它有厚實的理論根基和鮮明的可操作性，因此在風險度量方面比VaR更為有效合理。而在RAROC中在險資本是銀行穩健經營的必要防線，它必須以充足的資本來覆蓋，否則銀行就會面臨破產，所以用CVaR來度量更適宜，同時建立以CVaR為約束的RAROC模型可以降低風險，使銀行合理的配置資源，但由于中國目前自身體制不健全，數據不完全真實，所得結果可能會與理想結果偏離。此外，在商業銀行中CVaR的應用也應該是廣泛的，我們可以將CVaR與商業銀行的各項指標聯系起來，在風險和收益之間求得均衡，這就可以解決國內商業銀行所面對的難題，比如我們可以構建基于CVaR約束的綜合資產負債優化模型，它可以準確揭示總體資產或負債的風險狀況，以及整個企業風險貢獻的具體來源，這樣銀行可以在穩健經營的基礎上合理配置資源。但是，國內商業銀行在使用CVaR的過程中還應當充分考慮利率市場化進程，財務欺詐猖獗，區域風險集聚，金融市場不發達等內部因素。

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