隱馬爾可夫模型在客戶關系動態研究中的應用

[摘要] 客戶關系管理（CRM）已經成為市場營銷研究領域中的一個重要方面，其研究的方向大致有兩個：一是以客戶價值為核心的客戶關系管理的應用研究；二是以客戶行為為基礎的客戶關系動態研究。后者的研究更加抽象和一般化，其采用的主要工具是馬爾可夫過程。但客戶關系狀態的不可觀測性卻不能夠在單純的馬爾可夫過程得到解決，隱馬爾可夫模型把馬爾可夫過程和離散選擇模型結合起來，用可以觀測的客戶購買行為來反向推斷隱含的客戶關系狀態，從而推動了客戶關系動態研究的進展。本文介紹了隱馬爾可夫模型擬合客戶動態關系的原理，并且用R語言對這一擬合過程進行了蒙特卡羅實驗。

[關鍵詞] 隱馬爾可夫模型客戶動態關系R語言蒙特卡羅實驗

企業在實施客戶關系管理的過程中，需要通過分析交易數據來研究客戶關系的動態過程，評估客戶關系以及為市場營銷決策提供支持。隱馬爾可夫模型的引入將促使這些工作變得更加精細和準確。

一、管理導向的客戶關系研究

從管理應用的角度，客戶關系的重點是客戶資產和客戶終身價值。客戶資產的概念是由Robert C. Blattberg和John Deighton提出的，它是指以企業市場營銷投資的目標收益率為折現率，對所有客戶的終身價值折現后得到的總凈現值。他們認為已經從產品銷售導向轉移到客戶導向的市場營銷，既要考慮如何爭取新客戶更要同時注重如何留住老客戶。于是，在市場營銷預算中，一個企業應當以客戶資產最大化為尺度來平衡在爭取新客戶和留住老客戶之間的資源配置(Blattberg和John Deighton 1996)。然而，由于潛在目標客戶資料的難以獲得性，企業在實施客戶資產管理時通常只對既有客戶進行研究，即假設獲取新客戶與保留老客戶是兩個相互獨立的過程，獲取新客戶的過程不會對保留老客戶的過程產生影響。同時考慮了審查和數據截斷的選擇性Tobit模型能夠更好的描述真實的客戶資料特征，從而彌補上述假設的不足。該模型研究的結果表明，傳統的只基于現有客戶的客戶資產管理忽視了獲取新客戶和保留老客戶之間的相關性，會導致錯誤推斷客戶關系周期和客戶貢獻率，從而誤解市場營銷活動對客戶關系周期的影響（Thomas 2001）。企業的長遠價值很大程度上取決于公司的客戶關系的價值（羅蘭·T·拉斯特、弗萊麗·A·齊森爾和凱瑟琳·N·勒門 2001），把客戶當作一種資產是企業界廣泛實施客戶關系管理的主要驅動因素。

二、行為導向的客戶關系研究

從客戶行為研究的角度出發，關系營銷的研究者們最感興趣的是如何認識關系的動態過程與關系的行為或者情感維度之間的聯系和相互作用。一般來講，描述客戶關系的理論模型都把客戶與品牌的關系分為如下四個階段：開始、發展、維持和衰退。某個時刻的客戶關系就可以被認為是客戶和品牌之間由于關系接觸而在該時刻隨機產生的某一離散的忠誠狀態，而動態的客戶關系就可以相應的看作離散狀態空間的隨機過程。通常，我們采用一階馬爾可夫鏈來描述這一隨機過程。于是，客戶在不同狀態之間的轉移概率就可以看作關系接觸或者客戶和品牌之間的相互作用的函數。客戶關系的馬爾可夫模型最大的優點是其具有很強的靈活性，它能夠處理包括客戶變遷和客戶保留在內的幾乎所有的客戶關系情景，從而對既有客戶和潛在客戶的終身價值進行計算（Pfeifer和Carraway 2000）。

然而，在采用馬爾可夫鏈研究客戶動態關系時存在著一個主要的障礙，即客戶關系所處的離散狀態是不能夠觀測的。基于此，我們需要引入隱馬爾可夫模型。在經濟學研究方法中，我們一般采用離散選擇模型來描述和計算客戶購買行為發生的概率，于是客戶關系動態研究中的隱馬爾可夫模型就是結合了離散選擇模型和馬爾可夫鏈來識別和推斷客戶關系狀態的一類動態綜合模型。

三、隱馬爾可夫模型對動態客戶關系的模擬

1.隱馬爾可夫模型擬合客戶動態關系的原理

隱馬爾可夫模型（HMM）是一個不能夠被直接觀測的馬爾可夫過程，它由三個部分構成。（1）初始狀態分布;（2）隨機游走轉移矩陣;（3）基于客戶關系狀態的客戶選擇概率。圖1為隱馬爾可夫模型的示意圖，其中{Xt，t=1，2，3…}用于描述具有馬爾可夫性的狀態未知的動態客戶關系過程，｛Yt，t=1，2，3…｝表示基于客戶關系狀態的客戶選擇行為。于是，隱馬爾可夫模型的一次觀測發生的概率，即某一客戶在相應時段出現一系列選擇行為的概率，就可以如下表示。

其中Xit表示客戶在狀態數為NS的馬爾可夫過程中在t時刻處于狀態i。 Yit表示客戶在時刻t的第i個選擇。

關系營銷和服務營銷的相關文獻表明當客戶與品牌之間由于接觸而產生的轉移傾向超過一定閾值時，就會引起客戶關系狀態的轉移。圖2對這一機理進行了具體的描述。

在上圖中，我們定義Ths為客戶關系向相鄰的較高忠誠度的狀態發生轉移的閾值，Tls為客戶關系向相鄰的較低忠誠度的狀態發生轉移的閾值。并且用TRits表示第i個客戶處于時間t和狀態s時的轉移傾向。類似于隨機效用方程，我們可以把TRits表示成，

TRits=αsCit+εits

其中，Cit表示從t-1時刻到t時刻影響第i個客戶的市場營銷工具向量。 αs是市場營銷工具向量對處于狀態s的轉移傾向的影響。

根據MacFadden推導離散選擇模型的思路，我們把客戶i的關系狀態s在下一時刻的三種轉移方式，即轉移至較高忠誠狀態的s+1，轉移至較低忠誠狀態的s-1，或者停留在狀態s，采用Ordered Logit模型來加以刻畫。

其中，

最后，我們采用可以觀測的客戶以往的購買行為來間接推斷客戶關系的狀態。不失一般性的，我們假設客戶的購買行為是一個二元的離散選擇過程。

2.隱馬爾可夫模型的蒙特卡羅實驗

下面，我們利用R語言（Version 2.3.0）中的hmm.discnp統計軟件包來演示動態客戶關系研究中的隱馬爾可夫模型的計算。首先我們對隱馬爾可夫模型的狀態個數、轉移矩陣以及狀態依賴的購買概率進行初始設定（見表1）。然后根據這些初始設定，調用函數sim.hmm()模擬1000個由數字1和2構成的代表某一典型客戶購買行為的隨機序列，其中2表示購買而1表示沒有購買。

其次，我們調用函數hmm()對某一客戶購買行為數據進行計算，計算結果見表2。

實驗結果表明R語言中的hmm.discnp統計軟件包能夠準確的計算客戶購買行為數據背后隱藏的客戶關系狀態的轉移矩陣和狀態依賴的購買概率，于是可以用來擬合客戶關系狀態的動態變化。

四、小結

隱馬爾可夫模型把離散選擇模型和馬爾可夫過程巧妙的結合起來，通過可以觀測的客戶購買行為來推測隱含的客戶關系的變化，這一切都將有助于解釋和預測客戶關系的動態變遷以及評判市場營銷活動對客戶關系的影響。