理工科專業學生的高等數學能力探究

高等數學學習對理工科專業學生思維方式影響和專業思維能力培養是其他學科所無法比擬的，因為有許多經典數學的邏輯思維模式及數學解決問題的分析方法貫穿其中，甚至在近代許多高科技領域的研究過程中仍借鑒著數學科學的這種模式與分析。任何高新技術的創新無不是通過數學模型和數學思維方法并借助于計算機來實現的。這里不僅是借助于數學作為工具，更是模仿數學思維方式與技巧。具備扎扎實實的現代數學科學的理論基礎和基本能力，是幾乎所有科學技術領域人才必備的基本素質。理工科學生的高等數學學習，就不應僅是學生獲取一定的基礎理論、基本知識和基本運算方法，更重要的應在于其是培養學生科學素質的主渠道，是發展學生“創造性應用能力”和“創新精神”的主戰場。所以說，高等數學的學習目標應著手于基礎知識的掌握，著眼于能力的培養發展。

理工科學生的高等數學能力構成

1.學習高等數學的能力。一是數學感覺和判斷能力。一個專業問題擺在面前，首先要判斷它是不是數學問題？是哪一類數學問題？包括哪些能察覺的數學因素？例如，函數變化、隨機觀察、幾何描述、優化決策和計算算法等，這就要能夠對數學本質有所理解，從宏觀上能夠進行大體的判斷；二是數據搜集與分析能力。數字化時代，數據無處不在。能夠收集數據、分析數據、駕馭數據，用各種數學方法，特別是數理統計方法指導自己的專業學習探究；三是數學抽象與數學表示能力，即會使用高等數學原理、符號、公式抽象地表示客觀事物發展的規律，能夠將具體的專業問題中數量關系表示為可以運算的數學模型；四是歸納猜想與合情推理能力，即善于運用類比、聯想、歸納等一般科學方法，觀察專業問題的數量關系，做出猜想；五是數學聯結與數學洞察能力，即掌握數學的本質，提煉高等數學思想方法，欣賞高等數學的魅力；六是數學計算與算法設計能力。對數字與符號依一定算法可進行運算，對大量專業問題的數據進行處理，是專業學習的實際需要；七是理性思維與構建體系能力。掌握高等數學的辨證理性思維特征，不走極端，不含糊馬虎。在專業學習中能夠數學地思考問題，并和別人進行專業數學交流，最終形成比較完整的專業數學的思想體系。

2.創造性應用數學能力。包括提出專業數學問題和質疑的能力，即具有懷疑、善于思考、敢想的品質；建立新的專業問題的數學模型，并解決專業的實際問題的能力；將一類的專業問題進行數學聯結的能力；構建專業學習探究中的新數學對象（概念、理論、關系）能力；善于運用計算機技術展現專業發展中的數學規律的能力；辨明“好的專業數學方法”和“不太好的專業數學方法”的能力。

高等數學能力實質上就是“經典數學知識產生于本專業以及應用經典數學知識、方法解決本專業問題”的能力。兩種不同的數學能力是與學習活動和任務性質相關聯的。只有明確兩種水平能力的內涵和關系才能把握高等數學能力培養的科學方法。

理工科學生的高等數學能力培養

1. 知識學習。一是知識目標。理工科的高等數學知識除了“有效知識，先進知識，在今后學習和工作中探究和開拓創新以及培養學生專業能力中長期發揮作用的知識”外，一些基礎性、經典性的知識和方法仍是培養學生數學學習能力的基礎。例如，分析與代數、幾何的相互結合知識，向量的表達，重要的數學思想方法等知識的學習，以及數學知識方法與專業知識相互交融的知識和賦予專業背景的數學知識等等，這些應是學生創造性應用數學能力發展的不可逾越的基礎。二是 知識呈現。傳統的數學教學多以靜態形式呈現數學知識。為了培養學生創造性應用數學的能力，應采取動態形式呈現高等數學知識的教學，不僅要使學生學到許多重要的數學概念、方法和結論，而且學會數學的思想方法，領會數學的精神實質，使學生感覺到他們所學知識是有其現實的來源和背景，有其物理原型和表現。為此，教學方法應由注入式向啟發式討論和研究式發現轉變，以培養和提高學生的自主數學學習能力。

2.數學思想方法的學習。數學是自然科學與社會科學中的數量關系概括，而哲學是自然科學與社會科學的思想概括。學生要真正從宏觀到微觀理解把握高等數學思想方法，需要先對高等數學，乃至一般的科學數學方法，直至數學的解題方法有一定的哲學范疇認識。

第一，數學的哲學范疇理解。包括數學形式和內容的理解；數學運動與靜止的理解； 數學偶然與必然的理解； 數學觀念與本質理解；數學原因與結果的理解。其他如精確與近似（計算數學），整體與部分（函數的整體性質與局部性質，如最值與極值等），同一與差異（模糊數學）等，都是理解重大數學思想方法的視角。這些重大的數學思想方法是一個大學生的重要修養。學習高等數學，打好數學基礎，就是用數學觀點來深刻理解專業知識，教師要有意識地在高等數學教學中加以闡述、點撥。

第二，一般的科學數學方法領會。培養學生創造性應用數學能力，學生就得掌握一般科學方法。與一般科學方法相對應的數學方法有：分析與綜合，對一個事物進行分析，首先要加以分類，數學分類強調“不重不漏”，這是為了保證數學結論的完備性和獨立性，又如，高等數學中的微積分，是指無窮小的，為其他學科所沒有。數學的綜合，更多體現在數學學科之間的交融；歸納與演繹。數學是一門演繹科學，也使用一般的歸納法，并且是一種不完全歸納法，這種歸納法是跨越無限的思想實驗，在描述具體事物時通常只能進行有限的歸納，這是數學特有的方法；數學實驗方法。數學中的實驗，多半是思想實驗，即假定某條件，那么會有某結果，因而可以達到目的或否定命題。由于計算機技術的使用，數學教學中常做一些計算性的檢驗，通過計算一些特例得到普遍的猜想，甚至用近似的方法逼近最后結果，這種過程類似于專業的研究。

其他如觀察、類比、聯想等一般科學方法，都可以在數學中加以應用，作為手段，培養學生專業素質。當然以上介紹的一般科學數學方法的學習，單靠講解是沒有用的，只能在學習中逐步體會。

第三，解題方法掌握。學習數學不僅僅是為了解題，而是通過學習解題掌握其方法，更好地服務于專業的學習研究。一要了解數學的特有方法，包括① 公理化方法；② 化歸方法；③ 函數極限思想方法；④ 方程思想方法；⑤ 概率統計方法。二要學會解題，掌握一些解題方法策略，即一些原理和步驟。第一步，判斷問題的類型，找出問題的數學核心所在，如對一個問題屬于哪一類？是函數問題、微積分方程問題還是概率統計問題。實質是什么？是證明化歸，優化等等哪一類，大的方向判斷正確了，解題才能運用自如。第二步，掌握一些基本原則，包括模型化的原則； 簡單化原則； 等價變換原則； 映射反演法則（RMI）；逐次逼近原則。當一個問題的解答不能滿足問題的所有要求的時候，可以先滿足第一個要求，再滿足第二個要求，一一逐步接近最后解答，當然也包括求近似解，逼近到一定程度，就算符合要求。第三步，選擇適當的技巧。如對數求導法、換元積分法等方法，都必須通過實際演算逐步地領悟，并能靈活運用。

編輯：常忠武