基于五點(diǎn)插值求導(dǎo)公式的灰色ＧＭ（１，１）改進(jìn)模型及在我國(guó)人均數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用剛產(chǎn)量

摘 要：本文分析了現(xiàn)有GM(1，1)模型存在的不足，提出了用高精度的五點(diǎn)插值求導(dǎo)公式求取GM(1，1)模型中的微分的方法，并應(yīng)用本文所提出的方法對(duì)我國(guó)人均鋼產(chǎn)量進(jìn)行建模，結(jié)果表明本文所提出的建模方法是有效的，其模型精度高于傳統(tǒng)GM(1，1)模型的精度。

關(guān)鍵詞 數(shù)值微分，灰色模型，組合建模

1、前言

灰色系統(tǒng)理論自1982年問(wèn)世以來(lái)，研究工作取得了很大的進(jìn)展，已成功地應(yīng)用于很多領(lǐng)域。GM(1，1)模型因其計(jì)算簡(jiǎn)便、實(shí)用廣泛而在灰色預(yù)測(cè)中占有重要地位，是應(yīng)用最早也是迄今為止應(yīng)用最為廣泛的灰色模型。理論分析和實(shí)際應(yīng)用表明，傳統(tǒng)的GM(1，1)模型參數(shù)的最小二乘法求解結(jié)果只對(duì)平穩(wěn)的原始數(shù)據(jù)序列的擬合精度和預(yù)測(cè)精度較高；對(duì)非平穩(wěn)的原始數(shù)據(jù)序列的擬合精度和預(yù)測(cè)精度往往很低，而實(shí)際中碰到的數(shù)據(jù)序列大多是非平穩(wěn)序列，因此GM(1，1)模型的應(yīng)用有一定的局限性。文獻(xiàn)對(duì)影響GM(1，1)模型的精度原因進(jìn)行了分析，認(rèn)為模型的背景值構(gòu)造方法是影響其精度的一個(gè)重要原因，文獻(xiàn)認(rèn)為模型公式中的初值選取也是影響其精度的一個(gè)原因。

作者認(rèn)為在求取GM(1，1)模型白化微分方程中的參數(shù)時(shí)，微分的近似方法也是影響其精度的一個(gè)重要因素。基于此，提出了用高精度的五點(diǎn)插值求導(dǎo)公式求取模型中的微分，并用本文提出方法對(duì)我國(guó)人均鋼產(chǎn)量進(jìn)行建模，結(jié)果表明本文提出方法的有效性。

2、基于五點(diǎn)插值求導(dǎo)公式的灰色GM(1，1)改進(jìn)模型的建模機(jī)理

2．1 插值

2．2五點(diǎn)插值求導(dǎo)公式

設(shè)已給出五個(gè)節(jié)點(diǎn)xⁱ=x^o+ih，其中i=0，1，2，3，4。作四次插值得

(4)式兩端對(duì)t求導(dǎo)，有

取t=4，求出x⁴。點(diǎn)處的五點(diǎn)插值求導(dǎo)公式：

2．3基于五點(diǎn)插值求導(dǎo)公式的灰色GM(1，1)改進(jìn)模型

設(shè)原始非負(fù)數(shù)據(jù)序列為：

3、應(yīng)用實(shí)例

鋼鐵工業(yè)是一個(gè)國(guó)家的基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)，人均鋼產(chǎn)量反映了一個(gè)國(guó)家的現(xiàn)代化水平，對(duì)于一個(gè)國(guó)家具有重要的戰(zhàn)略意義。現(xiàn)用本文提出的方法建立1981－1997我國(guó)的人均鋼產(chǎn)量數(shù)學(xué)模型，并預(yù)測(cè)我國(guó)1998－2000年的人均鋼產(chǎn)量。建模原始數(shù)據(jù)摘自(《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒－2001》)。

按本文方法建立的我國(guó)人均鋼產(chǎn)量的灰色GM(1，1)模型為：

從表可知，本文提出的基于數(shù)值微分的GM(1，1)建模方法具有較高的模型精度，相對(duì)誤差絕大多數(shù)都低于5％。將所建模型進(jìn)行后驗(yàn)差檢驗(yàn)，本文所提出建模方法，其方差比為c1=0.0952(c=S¹/S⁰，S¹為殘差的均方差，S⁰為原始數(shù)列的均方差)，而用文獻(xiàn)方差比為c2=0.1210；小誤差概率均p=P{|e₍₀₎(i)-e₍₀₎|<0.6745S0}=1。可知本文所提出的建模方法是有效的，

4、結(jié)語(yǔ)

本文分析了現(xiàn)有GM(1，1)模型存在的不足，提出了用高精度的五點(diǎn)插值求導(dǎo)公式求取GM(1，1)模型中的微分的方法，并應(yīng)用本文所提出的方法對(duì)我國(guó)人均鋼產(chǎn)量進(jìn)行建模，結(jié)果表明的提出的建模方法是有效的，其模型精度高于傳統(tǒng)GM(1，1)模型的精度。

作者單位 浙江理工大學(xué)自動(dòng)化系杭州