對高等數學教學中滲透數學建模思想的探討

數學是模式科學。數學家通過模式的建構、并以此為直接對象從事客觀世界量性規律性研究的。數學的對象是抽象思維的產物，數學的概念和方法也是抽象的。如果以某些簡單的數學概念與相應的真實事物或現象（如自然數1，2，3等；及幾何中的三角形、圓等）為對象去進行分析，也由現實原型抽象出相應的數學概念。如果以抽象思維的產物作為直接對象去研究，例如，計算運動物體的瞬時速度是產生導數概念；但是，導數的概念及相關的微積分理論卻并不局限于速度問題的研究，而有著更為普遍的意義，既可被用于相同量性特征的一類問題。如電流強度就是電量對時間的導數，曲線在某點處切線的鈄率是縱坐標對橫坐標的導數。等等。因此，數學應當說是“模式”的科學。數學作為一種創造性活動，具有“對稱性”、“簡單性”、“統一性”、和“奇異性”，這些都是數學美的主要內容。在極度復雜的對象中揭示出極度的簡單性；在極度離散的對象中發現極度的統一性；在極度平凡的對象中認識極度的奇異性。這就是數學美的標準。揭示了數學中對美的追求的根本意義，這就正如著名拉丁格言所說：“美是真理的光輝”。近幾十年來，計算機技術的高速發展，使數學的地位發生了巨大的變化，科學的本質是數學，現代科學技術的顯著特征是數字化，數學不僅是各門科學的基礎，而且在各門科學中起著重要的作用。

一、數學建模在高等數學中的重要作用

數學是在實際應用和需求中產生的，解決實際問題就必建立數學模型。數學建模就是利用數學的語言、公式、圖表或符合模擬現實的模型，在實驗、觀察和分析的基礎上，對實際問題的主要方面做出合理的簡化與假設；找出影響問題的各種因素及其相互關系，應用數學語言、符號將實際問題形成一個明確的數學問題，用數學方法、理論求該問題或用數值計算，對模型結果進行檢驗與分析，可以通過計算機模擬檢驗，用計算機編程求近似解，并指出模型優缺點及改進方向，反復多次過程較好解決問題，這就是數學建模的全過程。

1．數學建模可以激發學生學習數學的興趣

高等數學教學內容多是抽象性學科，課時少，理論性強，學生學習過程中會感到相對枯燥無味，極易產生畏難情緒，學習積極性不高。由于數學建模中的例子來源于社會和生活中的實際問題，又會使學生感到數學無處不在，數學思想無所不能。這樣就會調動學生應用數學知識解決實際問題的能力，激發學生學習數學的興趣。

2．通過數學建模可以培養學生的創新能力

通過數學建模可以培養學生以下能力：（1）應用數學分析、推理證明和計算的能力；（2）培養用數學語言表達實際問題及用普通人能理解的語言，表達數學結果的能力；（3）培養應用計算機及相應數學軟件的能力；（4）獨立查找文獻的能力及組織、協調能力。數學建模中學生每個人的思想必須通過交流才能達成一致，因此也可以培養團隊的合作精神；（5）培養學生的創造力、想象力、聯想力和洞察力。由于數學建模沒有統一答案、方法靈活多變，學生可以針對同一問題從不同角度、不同數學方法去解決，尋找最佳模型因此能夠發揮學生的創造能力；（6）可以培養學生的數學語言翻譯能力，使其應用已有的知識去解決實際問題。

二、在高等數學教學中如何滲透數學建模的思想

1.在高等數學概念中滲透數學建模思想

在高等數學教學中，概念都是從客觀事物的某種數量關系或空間形式中抽象出來的數學模型。我們在教學中要從實際問題和日常生活例子引出，這樣才能便于學生接受。例如：在講導數的概念時，給出兩個模型：

2.在應用問題教學中滲透數學建模思想

在講解應用問題，如導數、微分、積分應用時，可編制最大收益、商品銷售量、邊際利潤、商品存儲費用優化原理、工程技術中船體結構鋼梁、機床轉軸彎曲程度等問題，這些都可用導數、微積分數學方法求解。

在講微分方程的應用時，可采取數學建模的思想，結合實際問題，預報人口模型，認識人口數量的變化規律，建立人口模型，通過它預報人口，描述出人口的變化并制定出相應措施。

3.在高等數學教學中精選案例滲透數學建模思想

高等數學課中心不是數學建模，但通過數學建模可強化學生的數學理論知識，激發學生學習的積極性和主動性，因此，在編選教案時，要簡潔、直觀、結合實際，通過實際案例抽象概括出所學理論知識，案例要具有趣味性才能提高學生學習高等數學的興趣。例如：函數的應用，王明購買一部手機想入網，朋友小張介紹他加入中國聯通130網。收費標準是月租30元，每月來電顯示費5元，本地電話費0.4元/分；朋友小王向他推薦中國移動的神州行儲值卡，收費標準是本地電話費0.6元/分，月租費、來電顯示費全免。王明的親戚朋友都在本地，他也想有來電顯示服務，請問他選擇哪家更為省錢。

分析：本題可以利用方程模型求解，設王明每月通話時間為x分鐘，每月話費為y元。則y1=0.4x+30+5=0.4x+35(y1代表中國聯通)

Y2=0.6x(y2代表中國移動)

下面比較y1 y2的大小Qy1-y2=-0.2x+35

當x=175分鐘時，y1=y2

當x＞175分鐘時，y1＜y2

當x＜175分鐘時，y1＞y2

即若王明每月通話時間為175分鐘時任選一家，若王明每月通話時間大于175分鐘時，選中國聯通130網；若王明每月通話時間小于175分鐘時，選中國移動神州行卡充值。所以，在教學中選擇一些例子能激發學生學好數學的決心，提高他們應用數學解決實際問題的能力。

4.在習題課中滲透數學建模的思想

習題是鞏固學習理論知識內容，培養學生應用能力的重要環節，傳統的習題課教學，對題型設置練習，實際應用問題較少，可編選一些實際問題作例題，給學生發現問題，解決問題的機會，這樣不僅能使學生掌握數學建模的思想方法，還能鞏固所學知識。導數可編瞬時速度，切線鈄率、邊際利潤、邊際成本；極值部分可安排最大利潤、最低成本、最高效率；積分部分內容可選曲邊梯形面積、曲頂柱體積、收益函數、總利潤、單位時間流通量；微分方程部分內容可選細胞增長模型、生物競爭模型等。這樣就可以通過習題課的教學滲透數學建模思想，培養學生解決問題分析問題能力和創新能力。

綜上所述，在高等數學的教學中滲透數學建模的思想，一是通過數學建模的基本思想，使學生初步掌握從實際問題中提煉數學內涵的方法，提高數學解題的技巧。二是激發學生學習數學的興趣，活躍課堂氣氛，培養學生想象力、洞察力、創造力。三是可以把數學知識同專業知識相結合，提高解決實際問題的能力，為專業課打下良好的數學基礎。

（作者單位：湖北荊門荊楚理工學院）

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