對高等數學中的基本概念的剖析

高等數學是理工科大學生入學后的第一門基礎課程，它是學生學習后續數學課程以及專業課程的基礎和工具，學習高等數學不但要使學生掌握數學的基本理論知識，還要使得學生學會運用數學思維和思想解決問題的方法，因此可以說，高等數學是理工科大學生最重要的一門基礎課程。

本文從高等數學中的極限、導數和定積分等基本概念出發，分析其中蘊涵的常量與變量、有限與無限、近似與精確等辨證思想，幫助學生理解高等數學思想方法的本質，從常量轉向變量，從靜態轉向動態，從有限轉向無限，從初等數學的思維模式過度到高等數學的思維模式，為學習好高等數學課程打下堅實的基礎。

一、高等數學基本概念的形成

高等數學的主要內容就是微積分，其基本思想方法在古代就已經產生了，比如古希臘科學家阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球冠面積等問題時所用的方法，就隱含近代積分學的思想，我國古代數學家劉徽為了計算圓的面積而提出的割圓術，則蘊涵了典型的極限思想。到了17世紀，為了解決運動的瞬時速度、曲線的切線、函數的最大小值等問題，以及求曲線長度、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積等問題，牛頓萊布尼茨建立了微分學和積分學，形成了導數與微分的概念以及積分的概念，把這些看上去毫不相干的問題從數學上歸納成兩種互逆的類型：微分與積分，解決了這些初等數學束手無策的問題。在微積分發展初期使用的無窮小量，經過不斷的完善，形成了現代的極限法。

因此，極限、導數、微分、積分等基本概念，具有非常普遍的實際背景，體現了微積分解決這些問題的思想和方法，蘊涵了豐富的辨證唯物注意思想，是學好高等數學的基礎，也是我們利用數學知識解決實際問題的方法指南。

二、高等數學中的辨證思想

初等數學是常量的數學，它研究靜態問題、均勻問題。而高等數學則是變量的數學，它要研究運動過程、無限過程，因此高等數學從觀點到方法都和初等數學有著本質的差異。高等數學的思想方法中，蘊涵著豐富的辨證唯物主義的思想，表現出相互依存與相互轉換的對立統一關系，比如：常量與變量的關系，有限與無限的關系，近似與精確的關系，局部與整體的關系，特殊與一般的關系，量變與質變的關系等。學習高等數學，要求學生在思維模式上有本質上的轉變，從常量轉向變量，從有限轉向無限，從而把握高等數學的基本思想和方法。

1.常量與變量的關系

常量是反映事物相對靜止狀態的量，而變量則是反映事物運動變化狀態的量，二者既有區別，又相互依存，在一定條件下還可以相互轉換。初等數學研究常量，而高等數學則主要研究變量，以及運用常量與變量之間的相互轉換來解決問題。數列極限的“ε-N”定義中的ε，就是變量與常量的統一；導數概念的建立以及定積分概念的建立，都包含了一種將變量化為常量，最后解決變量問題的思想。

2.有限與無限的關系

從有限發展到無限，是認識上的一次飛躍，有限與無限之間存在著本質的差異，針對有限量成立的關系，到了無限量就不再成立。初等數學不能處理無限過程，而在高等數學中，我們可以通過有限來認識無限，同時通過有限來確定無限，這是一個從量變到質變的過程，它是微積分的基本思想方法，也就是我們熟知的極限法。導數概念的建立以及定積分概念的建立，都是一個從有限到無限的過程，都需要借助極限法。

3.近似與精確的關系

高等數學中要解決的是非均勻分布或變化的問題，因此無法象初等數學一樣直接得到簡潔完美的公式。高等數學中無論是微分法還是積分法，解決問題所采用的方式，通常是先作近似值，再通過極限過度到精確值。作近似值所用到的公式通常就是初等數學中已有的內容，但高等數學依靠極限過程，從有限過度無限、從量變過度質變，最終完成了本質飛躍。導數概念的建立以及定積分概念的建立，就充分反映了這種近似向精確轉化的典型方式。

三、對高等數學中基本概念的分析

高等數學中的極限、導數、微分、積分等基本概念，蘊涵了高等數學理論體系中的基本思想，反映了高等數學中解決實際問題的基本方式。深刻理解這些思想方法，提高對高等數學理論體系的認識，是學好高等數學的基本要求。

1.關于極限的概念

從直觀上看，極限就是無限趨近，但什么是無限趨近呢？我們可以解釋說，無限趨近就是，要多接近就會有多接近，或者說接近程度要多小就會有多小。但這些解釋是含糊的，邏輯上是不嚴格的。為了消除這種不嚴格性，德國數學家魏爾斯特拉斯引入了兩個有限數t和N，建立了現代的極限理論，這就是我們現在使用的關于數列極限的“ε-N”定義。

數列極限的“ε-N”定義中，ε的作用在于衡量數列的項un與其極限值A之間的接近程度，不等式│un-A│＜ε表示這個接近程度可以小于任意給定的正數ε，從而說明了數列的項與其極限值的接近程度可以任意地小，即無限接近，這時ε是可以任意小的正數，具有可變的屬性，是變量。為了說明在n充分大后不等式│un-A│＜ε一定成立，我們需要從不等式出發找到一個N，即只要n＞N則不等式一定成立，在找N的過程中，這個ε是相對固定的，是常量。因此極限定義中反映出常量與變量的相對性。

數列極限的“ε-N”定義，因非常抽象而難于理解，但它借助于兩個有限數ε和N來定量地揭示兩個無限過程之間的聯系，通過ε的絕對任意性和相對固定性，以及N的存在性，精確地刻畫了數列變化的無限過程。這種借助有限來認識無限的方法，就是微積分的基本思想方法—極限法。

2.關于導數的概念

導數就是變化率，即因變量相對于自變量的變化率，是自然界普遍存在的一類問題。導數概念的基本原型是變速直線運動中的瞬時速度問題和曲線的切線問題等，我們來分析在求變速直線運動的瞬時速度時所用的方法，其基本思想是先近似再精確，借助于極限方法從有限轉化為無限，從量變過度到質變。

3.關于定積分的概念

定積分來源于求不規則平面圖形的面積或不規則立體的體積等幾何問題，它的基本特征是非均勻分布，定積分定義的基本原型是曲邊梯形的面積，我們來分析在求曲邊梯形的面積時所用的微元法。微元法采用分割、近似、求極限的過程，其基本思想也是先近似再精確，借助于極限方法從有限轉化為無限，從量變過度到質變。

四、結束語

高等數學的精髓在于極限、連續、導數、微分、積分等基本概念中，深刻理解這些概念是學好高等數學的基礎，但這些概念理論性很強又非常抽象，且思維模式與初等數學完全不同，因此也是學生學習中的難點。在講授這些概念時，我們可以結合一些實例，介紹一些微積分的背景知識，采用圖形的直觀效果等手段，把它們講得淺顯易懂，生動直觀，除此以外，我們還應該給學生分析其中的辨證關系，使學生逐步適應高等數學中變量的思想、無限的思想，以及以極限為工具從近似過度到精確、從有限過度到無限等思想方法，使學生在認識上跨越初等數學，進入高等數學的變量世界中，為學好高等數學打下堅實的基礎。

（作者單位：華南理工大學數學科學學院）

注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文