１／２個蘋果與１／３個西瓜哪個大？

在近期發表的一些涉及分數意義和分數大小比較的文章中，論及到對兩個大小不等的宴物或圖形所表示的分數比大小的問題，筆者在小學教師的課堂設計與教學中也時有所聞。如：“這個蘋果的1/2與那個西瓜的1/3比較，到底是1/3大還是1/3大?”估計教師這樣設計的意圖，既是為了體現在具體直觀的情境中理解分數及分數大小的意義，也是為了體現學習的探索性，而人為地設置一些學習障礙，以培養學生的探索能力。然而，實際教學效果往往適得其反。因為這不僅影響了學生對分數意義和分數大小比較的理解，更嚴重影響了學生形成正確的數量意識。

產生這種不正確的教學現象的首要原因，是教師自身也缺乏相關的數量意識。下面，本文對此作粗淺的剖析。

眾所周知，數量意識的形成過程離不開大小的比較。而數學中所研究的“數量”包含“數”與“量”兩方面，“比較大小”也分成數的大小比較和量的大小比較。為了理解分數大小比較的特點，應先分析自然數的大小比較，以便于類比。

一、自然數的大小

1 自然數具有兩種存在方式：基數與序數。基數，表示集合中元素的個數(體現多少)；序數，表示某個元素在集合中的位置(體現順序)。

(1)作為基數的自然數可以比較大小(在小學數學教學中，即使是抽象地比較兩個自然數的大小，也是默認為這兩個數分別表示物體的多少)。此時，每個數是在相同自然數單位“1”的前提下，表現為“1”的個數的多少。比較大小的實質是比較單位個數的多少。

(2)在序數意義下，自然數無大小可言，即使在某種特定的約定下的比較，如第1名冠軍比第2名亞軍好、圍棋9段比8段級別更高等，但這里的比較已經脫離了自然數本身的大小意義。

2 當自然數用來表示量的量數時，比較兩個量的大小就有兩種情況：

(1)兩個量是非同類最時不能比較大小。如2米與3千克，4平方厘米與3張紙等等。除非從這些名數中抽取量數(撇開物體背景)，去比較與量已經無關的數的大小，但此時的比較就成了上述所說過的類型。

(2)當兩個量是同類量時，可以比較量的大小，但在大小關系中，計量單位遠比量數起著更重要的作用。比如800毫米=80厘米=8分米、8分米＞80毫米等，量數無法直接反映量的大小。只有當兩個量的計量單位相同時，量數的大小才反映了量的大小。

二、分數的大小

分數既可以撇開具體事物，抽象地表示為“分率”——單位“1”的幾分之兒，又可以表示一個具體量的量數，如1/4kg中的1/4。

1 作為“數”的分數。

要比較兩個分數的大小，實質是在相同分數單位條件下比較分數單位的個數。如：因為3個1/4比2個1/4大，所以3/4＞2/4。

在實際教學中，通常用實物、圖形等直觀輔助手段幫助學生理解。如將長方形四等分，表示2份和3份的數(或每一份表示為一個分數單位，接著再數出這樣的2份與3份)用分數2/4和3/4來表示。此時，只需要考慮份數的多少，而不必考慮整個長方形和每一份面積的大小。圖形僅僅作為得出分數的直觀背景，而不應該強化其面積大小作為數大小比較的直觀依據，否則就成為文中下述量的比較。因此，即使3/4是從線段(長度)等分得到，而2/4是從長方形(面積)等分獲得，都不影響對這兩個數進行大小的比較。由此聯想到，一些教師在教學中常常把分數說成“把一個餅平均分成2份，取其中的1份，是1/2”，這顯然是錯誤的。因為取出來的是餅，不是數。正確的說法應該是：把一個餅平均分成2份，表示這樣1份的數是1/2。

2 作為“量數”的分數。

與自然數類似，兩個量數是分數的量不一定可以比較大小。當兩個量是非同類量時，就不能比大小，如1/4m與3/4kg。

當兩個同類量相比較，雖然可以比較大小，但起關鍵作用的仍是計量單位。如1/4cm與36/4cm，只比量數就沒有意義。只有在統一計量單位的前提下。量數的大小才反映量的大小。

例如，兩個大小不同的長方形分別四等分，從圖形直觀相比較，其實是對分別表示兩個1/4的這部分圖的面積的量的比較。這不是由兩個量的量數的大小所能反映的，因為兩個量的“計量單位”不同。如兩個長方形面積分別是4cm²和8cm²，因而兩個量數1/4對應的量的計量單位“1”就不同，分別是1個4cm²與1個8cm²。只有先統一計量單位(如統一成以8cm²為1個計量單位)，則第一個表示面積大小的量數相當于新單位的1/8而第二個量數仍為1/4。此時，量數間的大小關系就直接反映兩個量的大小關系。

再回到本文開始提出的問題：“這個蘋果的1/2與那個西瓜的1/3比較，到底是1/2大還是1/3大?”這對小學生而言似乎在比較兩個分數的大小，而其實質是存比較它們的體積(或質量)，即兩個量。在比較過程中，1/2與1/3這兩個分數已不是主要因素。但正是由于貌似分數比較實是量的比較，不僅干擾了學生的數量意識，也讓教師的教學思路進入歧途。1/2＞1/3是根據分數的意義確定的，即由單位“1”平均分成2份和3份，分別表示這樣1份的數。這里的單位“1”是自然數的單位，即逐次添“1”形成自然數列(除0外)，然后逐次等分形成分數的單位，它與任何實物、圖形無關。在這樣的規定下，1/2與1/3當然有確定的大小關系。但當分數和圖形或實物相聯系，就已經賦予了量的含義。小學數學教學中常常商觀地利用圖形、實物比較分數的大小，是由小學生直觀形象思維為主而不得已為之。這本似嬰兒使用“學步車”，其目的是盡快棄車讓他自己走，而人為增加在“學步車”上的花樣動作，無助于學步。同樣，分數教學中比較的是分數的大小，而不是量的大小，所提供的直觀材料應盡可能簡潔，因為使用這些材料的目的是盡快不需要這些材料。否則，數的比較與量的比較相混淆，對知識的理解慢是事小，數量意識不清是大事。