加法和減法互為逆運算嗎？

數(shù)學(xué)講究嚴(yán)謹(jǐn)，因此教師課堂上所說的每一句話都不能犯知識性的錯誤，不少教師在教學(xué)中都想當(dāng)然地認(rèn)為，既然“減法是加法的逆運算”，那么“加法也一定是減法的逆運算”，甚至認(rèn)為“加法與減法互為逆運算”。但是，大多數(shù)初等數(shù)學(xué)理論書籍中都只說“減法是加法的逆運算”，而對“加法是不是減法的逆運算”和“加法與減法是不是互為逆運算”則閉口不談，小學(xué)數(shù)學(xué)教科書與教學(xué)參考書也是這樣處理的，另外查閱了許多資料也是如此。其實，要說清楚這個問題，首先要對“運算”和“逆運算”進(jìn)行定義，弄清楚“逆運算”的內(nèi)涵。

一般來說，運算都指代數(shù)運算，它是集合中的一種對應(yīng)。對于集合A中的有序元素對a、6，有集合A中唯一確定的第三個元素c與它們對應(yīng)，叫做集合A中定義了一種“運算”。由這個運算可以得出兩個運算，就是把a(bǔ)、6中的一個當(dāng)作所求的，而把c當(dāng)作已知的，這樣得出的運算叫做原來運算的“逆運算”。它的第一個逆運算是：對于元素對c、6，使元素“與它們對應(yīng)；它的第二個逆運算是：對于元素對ca，使元素6與它們對應(yīng)。如果一個運算滿足交換律，即這個運算對于任意一對元素a、b或b、a，永遠(yuǎn)得到同一結(jié)果，那么這個運算的兩個逆運算是一致的。也就是說，存這種情況下，這個運算有唯一的“逆運算”。

例如，對于整數(shù)集來說，任意兩個整數(shù)的加法運算滿足加法交換律，所以加法有唯一的逆運算——減法。又如，任意兩個整數(shù)的乘法運算滿足乘法交換律，所以乘法有唯一的逆運算——除法。

但是，每一個運算并不都有逆運算。例如，在自然數(shù)集合中，定義了自然數(shù)的加法，而它的逆運算——減法，對于任意兩個自然數(shù)a、b，并不是總能施行的：例如2+3=5，已知5、3或已知5、2，都可以用減法來求另一個加數(shù)，這時我們就可以說“減法是加法的逆運算”。又如5-3=2，已知5、2或已知3、2，這時不能都用同一種，運算(加法)求另一個數(shù)，所以加法不是減法的逆運算。即使認(rèn)為減法運算有兩種不同的“逆運算”——加法運算和減法運算，就說“減法的逆運算是加法”、“加法和減法互為逆運算”是不對的，甚至只說“加法是減法的逆運算”也是不妥當(dāng)?shù)摹Ｈ绻f，就應(yīng)該說成“加法是減法的逆運算之一”。如同“除法是乘法的逆運算，而乘法不是除法的逆運算”一樣，道理亦然。

同時，還有教師從辯證唯物主義角度出發(fā)，認(rèn)為加法和減法互為逆運算、乘法與除法互為逆運算是對的。兩個相互對立的事物，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化，兩種對立的運算，在一定條件下也可以相互轉(zhuǎn)化。正運算和逆運算是對立的雙方，是現(xiàn)實世界中正與逆的矛盾在數(shù)學(xué)中的反映，因此它們相互依存、不可分割，并在一定的條件下相互轉(zhuǎn)化。數(shù)的加法和減法、乘法和除法互為逆運算，都可以相互轉(zhuǎn)化。加法可以轉(zhuǎn)化成減法，反之亦然。另外，加法和減法在轉(zhuǎn)化的前提下統(tǒng)一起來了，形成了代數(shù)和的概念。可見，沒有轉(zhuǎn)化，就沒有統(tǒng)一。同時，筆者認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)也不必講得那么深奧，簡單點就可以了。但數(shù)學(xué)更應(yīng)講究其科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性，不能因為我們暫時說不清楚就遷就使然，草草了事

以上觀點，提出并與同行商榷，希望有更多、更準(zhǔn)確的意見。