試析微積分中的哲學思想

摘 要：本文通過實例論述了微積分教學中注重培養學生哲學思想的嘗試。

關鍵詞：微積分 哲學思想 定積分

微積分中蘊涵著豐富的哲學思想，如“量變到質變”、“對立統一規律”、“特殊存在于一般之中”等，在教學中注意對學生哲學思想的培養，不僅能夠使學生更好地掌握數學知識，而且能夠增強學生的辯證思維能力。

1.積分概念中蘊涵的哲學思想

定積分、重積分、曲線積分、曲面積分的產生是解決實際問題的需要，解決的基本方法是：①有限分割，②以直代曲或以勻代變的近似計算，③有限積累的求和，④極限轉化。比如定積分的概念是由求曲邊梯形的面積引出的，和式 f(ξ )Δx 表示n個矩形面積之和；當時λ→0，f(ξ )Δx 則是曲邊梯形的面積。其中蘊涵的哲學思想有：

（1）從數學角度看，“分割取近似”是將精確值轉化為近似值，而從哲學角度來看，則是將“不會求面積”問題向“會求面積”問題的矛盾轉化。

（2）分割的窄曲邊梯形若是有限個，那么有限個相應的矩形面積之和絕不等于有限個窄曲邊梯形面積之和，但當時，即有無窮多個窄曲邊梯形時，無窮多個相應的矩形面積之和就等于無窮多個窄曲邊梯形面積之和，即所求曲邊梯形的面積。揭示了從有限到無限的極限過程中使問題由量變達到了質變的哲學規律。

（3）從有限到無限的轉化中，對立的兩個方面（有限個矩形面積之和與有限個窄曲邊梯形面積之和）得到了統一（曲邊梯形的面積），體現了對立統一規律。

其他積分概念也類似。通過從哲學角度進行分析，學生更加深刻地理解了積分概念的實質，積分來源于實際，反過來又運用于實際，是人類智慧的結晶。

2．“特殊存在于一般之中”的哲學思想

定積分、重積分的應用是積分概念的推廣，其中的哲學思想類同。在講授定積分的應用——旋轉體的體積和二重積分的應用——平面薄片的重心部分時，筆者引入例題，通過分析闡明了“特殊存在于一般之中”的哲學思想。

例1 求直線x=0、y=0、y=-x+2圍成的圖形繞軸旋轉一周而成的旋轉體的體積。

解法一：用中學知識：

來解決，也可以用微積分的知識解決。兩例題的解法一均是利用其特殊性用初等數學的方法解決的，例1中若旋轉的平面圖形是曲邊梯形，則初等數學的方法就無法解決；例2中的均勻薄片若是其它的不規則形，初等數學的方法同樣無法解決。解法二沒有考慮其特殊性，例1是用旋轉體的體積公式求得；例2是用平面薄片的重心公式求得，蘊涵的哲學思想是“特殊存在于一般之中”，即特殊問題可以用特殊方法去解決，也可以用一般方法去解決。從哲學意蘊出發把中學階段的初等數學與大學階段的高等數學有機的結合在一起，可使學生進一步認識到數學知識是螺旋式上升的，人們的認知規律是由特殊到一般、由簡單到復雜的。從而降低了大學一年級學生學習微積分的難度，收到了事半功倍的教學效果。

結語

在微積分中蘊涵著很多哲學思想，在教學過程中，除了從數學的角度講清楚數學的知識和方法外，還應從哲學角度進行適度的辯證剖析，使學生深刻地理解其實質、把握其精髓，增強運用數學思維和數學方法去分析問題和解決問題的能力。

參考文獻：

[1]郭永發.數學概念中的哲學思想.青海大學學報，2006.24.3:68-72.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”