《電磁感應(yīng)》中關(guān)于導(dǎo)軌問題探究

電磁導(dǎo)軌問題不僅是中學(xué)教學(xué)中重點和難點問題，也是學(xué)生學(xué)習(xí)中的重點和難點問題，同時還是高考中的重要題型。因為這類題型的特點是綜合性強，物理過程復(fù)雜，試題覆蓋面廣，集力學(xué)和電學(xué)的重點、難點于一體，不僅能考查學(xué)生對基本概念、基本規(guī)律的理解程度，還能考查學(xué)生的解題能力與技巧。解決這類問題可以考查學(xué)生對法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路的歐姆定律、牛頓運動定律、動能定理、動量定理、動量守恒定律、能的轉(zhuǎn)化和守恒定律等規(guī)律的綜合運用。電磁導(dǎo)軌問題可以分為以下幾種類型。

一、等寬無拉力

用法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路的歐姆定律把導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)化為電源，綜合利用牛頓運動定律、動量守恒定律、能量守恒定律處理此類問題。

1. 單導(dǎo)體棒

例1固定的光滑水平導(dǎo)軌處在豎直向下的勻強磁場中，導(dǎo)體棒ab擱在水平導(dǎo)軌上，以某一初速度v向右運動。試分析導(dǎo)體棒ab的運動情況及回路中的能量轉(zhuǎn)化情況。

解析：因?qū)w棒向右運動切割磁感線，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，使導(dǎo)體棒ab受到安培力作用做減速運動，最終停止。整個過程中導(dǎo)體棒的動能全部轉(zhuǎn)化為回路中的焦耳熱，則：Q= mv 。

2. 雙導(dǎo)體棒

常見的雙導(dǎo)體棒問題有以下兩種情況：

(1)如圖2所示，如果兩個長為L的導(dǎo)體棒以速度v 、v 同向運動時，相當(dāng)于兩個電源串聯(lián)反接，這時總電動勢等于兩電動勢之差，E=BL（v -v ）(v ＞v )，I= ，則它們的運動情況是：

a. 若導(dǎo)軌光滑且水平放置，導(dǎo)體棒AB受安培力作用向右做減速運動，導(dǎo)體棒CD受安培力作用向右做加速運動，最終兩者將以相同的速度向右勻速運動，由于系統(tǒng)所受的合外力為零，所以它們的總動量守恒，屬于完全非彈性碰撞問題，m v +m v =(m +m )v，系統(tǒng)損失的機械能全部轉(zhuǎn)化為焦耳熱，Q= m v+ m v- (m +m )v = 。

b. 若導(dǎo)軌不光滑，則兩棒最終都靜止，系統(tǒng)的機械能全部轉(zhuǎn)化為焦耳熱和內(nèi)能，Q′= m v+ m v。

(2)如圖3所示，如果兩個長為L的導(dǎo)體棒以速度v 、v 反向運動時，相當(dāng)于兩個電源串聯(lián)正接，這時總電動勢等于兩電動勢之和，E=BL(v +v )，I= ，則它們的運動情況是：

a. 導(dǎo)軌光滑且水平放置，當(dāng)導(dǎo)體棒AB的動量m v 大于導(dǎo)體棒CD的動量m v 時，則它們的運動過程是：導(dǎo)體棒AB受安培力作用向右做減速運動，導(dǎo)體棒CD受安培力作用先向左做減速運動到零，然后又向右做加速運動，最終兩者以相同的速度v向右勻速運動，由于系統(tǒng)所受的合外力為零，所以它們的總動量守恒，屬于完全非彈性碰撞問題，即m v -m v =(m +m )v，系統(tǒng)損失的機械能也全部轉(zhuǎn)化為焦耳熱，Q= m v+ m v- (m +m )v = 。

b. 如果導(dǎo)軌不光滑，則兩棒最終都靜止，系統(tǒng)的機械能全部轉(zhuǎn)化為焦耳熱和內(nèi)能，Q′= m v+ m v。

二、不等寬無拉力

用法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路的歐姆定律把導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)化為電源，綜合利用牛頓運動定律、動量定理、能量守恒定律處理此類問題。

例2如圖4所示，水平導(dǎo)軌（摩擦、電阻不計)處于豎直向下的勻強磁場中，磁場的磁感應(yīng)強度為B，導(dǎo)軌左端的間距為L =4l ，右端間距為L =l ，兩段導(dǎo)軌均足夠長，今在導(dǎo)軌上放置AC、DE兩根導(dǎo)體棒，質(zhì)量分別為m =2m ，m =m 。電阻分別為R =4R ，R =R ，若AC棒以初速度v 向右運動，求：

(1)定性描述全過程中兩導(dǎo)體棒的運動情況。

(2)兩棒在達到穩(wěn)定狀態(tài)前加速度之比 是多少?

(3)運動過程中DE棒產(chǎn)生的總焦耳熱。

解析：（1）AC棒向右運動，回路中產(chǎn)生順時針方向的感應(yīng)電流，AC棒受安培力作用后減速，DE棒受安培力作用后產(chǎn)生加速度，向右做加速運動，回路中的磁通量變化減慢，感應(yīng)電動勢逐漸減小，感應(yīng)電流逐漸減小，因此兩棒所受的安培力均減小，最終為零，此時回路中的感應(yīng)電流為零，兩棒均做勻速運動。所以AC棒的運動情況是：先做加速度減小的減速運動，最終勻速；

DE棒的運動情況是：先做加速度減小的加速運動，最終勻速。

（2）兩棒達到穩(wěn)定之前，任意時刻兩棒中通過的電流的大小始終相等，設(shè)兩棒的加速度分別為a 和a ，

（3）兩棒在達到穩(wěn)定速度之前，回路中始終存在磁通量的變化，有感應(yīng)電流就會產(chǎn)生焦耳熱。當(dāng)兩棒運動速度滿足一定的關(guān)系時，回路中的磁通量不變，則總電動勢為零，兩棒均做勻速運動，不再產(chǎn)生熱量。設(shè)經(jīng)過時間t，兩

三、等寬有拉力

用法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路的歐姆定律把導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)化為電源，綜合利用牛頓運動定律、能量守恒定律處理此類問題。

（1）單導(dǎo)體棒

如圖5所示，導(dǎo)體棒ab在恒力F的作用下沿光滑水平導(dǎo)軌向右運動，試分析導(dǎo)體棒ab運動的情況。

解析：導(dǎo)體棒ab在恒力F的作用下向右運動，切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，導(dǎo)體棒向右做加速運動，速度增加，感應(yīng)電動勢增加，感應(yīng)電流增加，安培力增加，導(dǎo)體棒的加速度減小，因此導(dǎo)體棒做加速度減小的加速運動，最終加速度為零，此時F=F ，做勻速運動。

例3（07上海高考）如圖（a）所示，光滑的平行長直金屬導(dǎo)軌置于水平面內(nèi)，間距為L、導(dǎo)軌左端接有阻值為R的電阻，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒垂直跨接在導(dǎo)軌上。導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻均不計，且接觸良好。在導(dǎo)軌平面上有一矩形區(qū)域內(nèi)存在著豎直向下的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B。開始時，導(dǎo)體棒靜止于磁場區(qū)域的右端，當(dāng)磁場以速度v 勻速向右移動時，導(dǎo)體棒隨之開始運動，同時受到水平向左、大小為f的恒定阻力，并很快達到恒定速度，此時導(dǎo)體棒仍處于磁場區(qū)域內(nèi)。

(1)求導(dǎo)體棒所達到的恒定速度v ；

(2)為使導(dǎo)體棒能隨磁場運動，阻力最大不能超過多少？

(3)導(dǎo)體棒以恒定速度運動時，單位時間內(nèi)克服阻力所做的功和電路中消耗的電功率各為多大？

(4)若t＝0時磁場由靜止開始水平向右做勻加速直線運動，經(jīng)過較短時間后，導(dǎo)體棒也做勻加速直線運動，其v－t關(guān)系如圖（b）所示，已知在時刻t導(dǎo)體棒瞬時速度大小為v ，求導(dǎo)體棒做勻加速直線運動時的加速度大小。

解：(1)E＝BL（v －v ）

I＝E/R

F=BIL= 速度恒定時有： =f

可得：v =v -

(2)要使導(dǎo)體棒能隨磁場運動，必須F ≥f

f =

(3)P =Fv =f(v - )

P = = =

(4)設(shè)磁場的加速度為a ，導(dǎo)體棒的加速度為a ，當(dāng)兩者均勻加速時某一時刻速度分別為v ，v 對導(dǎo)體棒有 -f=ma

導(dǎo)體棒要做勻加速運動，必有v －v 為常數(shù)，

設(shè)為△v則：a =a =a

a= （如圖c所示）

則： -f=ma

可解得：a=

（2）雙導(dǎo)體棒

如圖6所示，導(dǎo)體棒AB在恒力F的作用下沿光滑水平導(dǎo)軌向右運動，試分析兩導(dǎo)體棒的運動情況。

解析：導(dǎo)體棒AB在恒力F的作用下向右運動，切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，導(dǎo)體棒向右做加速運動，速度增加，感應(yīng)電動勢增加，感應(yīng)電流增加，安培力增加，導(dǎo)體棒的加速度減小，因此導(dǎo)體棒做加速度減小的加速運動，導(dǎo)體棒CD受到安培力作用，做加速度增加的加速運動。穩(wěn)定時兩導(dǎo)體棒的加速度相等，a= 。

拓展：拉力也可以通過其它方式施加，如線框在豎直平面內(nèi)運動，重力施加拉力；在斜面上重力的分力施加拉力，此時只需將結(jié)果中的F換成相應(yīng)的力即可。

四、不等寬有拉力

用法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路的歐姆定律把雙導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)化為電源，綜合利用牛頓運動定律、動量定理、能量守恒定律處理此類問題。

例4如圖7所示，水平平面內(nèi)固定兩平行的光滑導(dǎo)軌，左邊兩導(dǎo)軌間的距離為2L，右邊兩導(dǎo)軌間的距離為L，左右部分用電阻不計導(dǎo)線連接，兩導(dǎo)軌間都存在磁感強度為B、方向豎直向下的勻強磁場。ab、cd兩均勻的導(dǎo)體棒分別垂直放在左邊和右邊導(dǎo)軌間，ab棒的質(zhì)量為2m，電阻為2r，cd棒的質(zhì)量為m，電阻為r，其它部分電阻不計。原來兩棒均處于靜止?fàn)顟B(tài)，cd棒在沿導(dǎo)軌向右的水平恒力F作用下開始運動，設(shè)兩導(dǎo)軌足夠長，兩棒都不會滑出各自的軌道。

(1)試分析兩棒最終達到何種穩(wěn)定狀態(tài)？此狀態(tài)下兩棒的加速度各多大？

(2)在達到穩(wěn)定狀態(tài)時，ab棒產(chǎn)生的熱功率多大？

解析：因拉力F做功，閉合電路感應(yīng)電流不可能為零，電路的穩(wěn)定狀態(tài)應(yīng)從電路上能否出現(xiàn)穩(wěn)定的電流去考慮。

(1)cd棒由靜止開始向右運動，產(chǎn)生如圖8所示的感應(yīng)電流，設(shè)感應(yīng)電流大小為I，cd和ab棒分別受到的安培力為F

開始階段安培力小，有a >>a ，cd棒比ab棒加速快得多，隨著（v -2v ）的增大，F(xiàn) 、F 增大，a 減小、a 增大。當(dāng)a =2a 時，（v -2v ）不變，F(xiàn) 、F 也不變，兩棒以不同的加速度勻加速運動，所以：a = ；a =

(2)兩棒最終處于勻加速運動狀態(tài)時a =2a ，所以I=

此時ab棒產(chǎn)生的熱功率為：P=I ·2r=

綜上所述，在解電磁導(dǎo)軌問題時，首先要把導(dǎo)體棒等效為電源，求出回路中的總電動勢、總電流以及導(dǎo)體棒所受的安培力，搞清每個導(dǎo)體棒的運動過程及最終的狀態(tài)；其次要視具體情況結(jié)合動量守恒、能的轉(zhuǎn)化和守恒定律、

動量定理、牛頓運動定律；最后再尋找相關(guān)的物理量的關(guān)系，靈活應(yīng)用整體法和隔離法解題。

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