怎樣尋找新知識的生長點

摘 要：找好找準新知識的生長點，對于激發(fā)學生學習熱情、增強學習信心、提高學習能力有非常重要的意義。怎樣尋找新知識的生長點，本文作了一些有益的探討。

關(guān)鍵詞：尋找 新知識 生長點

講授新課以向?qū)W生傳授新知識為主要特點，但如何傳授新知識是一門較難把握的藝術(shù)。如果我們照本宣科、平鋪直敘，難免會讓學生感到枯燥無味，進而喪失學習興趣和積極性，達不到教學目的。怎樣激發(fā)學生學習興趣和積極性呢？俗話說，良好的開端等于成功的一半。找好新知識的生長點顯得至關(guān)重要。怎樣尋找新知識的生長點？

一、從生活、生產(chǎn)、科研需要尋找新知識的生長點

生活是數(shù)學的源泉。今天，人類生活的空間越來越廣闊，內(nèi)涵也越來越豐富。這絢麗多彩的生活正是數(shù)學的溫床，而人類又不斷把數(shù)學應(yīng)用于實踐，使自己的生活更加豐富美滿。生活就是這樣相互影響、相互促進、不斷發(fā)展的。因此，許多新知識可從生活的需要找到其生長點。

“近朱者赤，近墨者黑”，說明了交友要慎重，對接近的人要分類選擇，由此我們引入了集合的概念。安裝日光燈，怎樣才能使燈管與地面平行？由此我們引入了線面平行的概念。外出“打的”需付的車費，如何計算？由此，我們引入了分段函數(shù)的概念；從計算一條線路上車站個數(shù)、車票和票價的種數(shù)，引入了排列組合概念；擲骰子觀察可能出現(xiàn)的點數(shù)，引入了等可能概念。計算物體在某一時刻的運動速度，引入了函數(shù)的導數(shù)概念。

在初中階段學生認識的角，最大是周角360°。我們在生活中，有過這樣的經(jīng)歷：用扳手上緊或松動螺絲的旋轉(zhuǎn)方向相反，且旋轉(zhuǎn)往往不是一周而是多周，因此，角的概念必須推廣。

輪子在旋轉(zhuǎn)時，我們只需用輪子上一條“半徑”的運動就可描寫整個輪子的運動。所以，在角的概念推廣時，我們可以用一條射線放在平面上的旋轉(zhuǎn)方向（順時針或逆時針）及旋轉(zhuǎn)量去定義角的大小。特殊的，射線的旋轉(zhuǎn)量為0，則認為形成“零角”。這樣，角就有正角、負角、零角了。

二、從用數(shù)學運算解決問題的需要尋找新知識的生長點

我們都知道，在實數(shù)范圍內(nèi)，像x²+1=0這樣簡單的方程也無解。為了解這個方程，使它也能有解，必須擴大數(shù)的范圍，將數(shù)系由實數(shù)集擴充到復(fù)數(shù)集。在實數(shù)集中，添加一個虛數(shù)單位i，規(guī)定i²=-1，即i是-1的平方根。通過i與實數(shù)一起進行加、減、乘、除等運算，得到形如a+bi的數(shù)（a、b∈R），這就是復(fù)數(shù)，從而擴大了利用數(shù)來解決問題的范圍。

學生在學習求不定積分的直接積分法、換元積分法后，可以求出許多初等函數(shù)的不定積分。但是，基本初等函數(shù)中的對數(shù)函數(shù)及反三角函數(shù)的不定積分仍不能解決，求不定積分的方法必須增加，由此，引出了求不定積分的分部積分法。

有了矩形、平行四邊形、三角形、梯形等規(guī)則圖形的面積計算公式，如何求不規(guī)則圖形的面積？由此我們引出了定積分的概念。

有了解直角三角形的經(jīng)驗，如何求解斜三角形？由此可引出解一般三角形的正弦定理與余弦定理。

三、從“完美”的角度尋找新知識的生長點

在學習對數(shù)之前，學生已有了冪的概念，在a^b=N中，知道了底a、指數(shù)b，通過乘方運算可求得冪N。知道了冪N和指數(shù)b，通過開方運算可求底a。能否由冪和底通過某種運算求出指數(shù)呢？如果不能求的話，似乎不“完美”。由此引入了對數(shù)的概念：在a^b=N（a＞0，a≠1）中，把b叫做以a為底的N的對數(shù)。記作：b=log_aN。從而可以由冪和底，通過對數(shù)運算求出指數(shù)，這就實現(xiàn)了知道a、b、N三者中任兩個，可求第三個——“完美”了。從對數(shù)的定義中可知指數(shù)與對數(shù)從概念到運算都是可逆的，因此，利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小，又具有共同之處。

兩個無窮小的和、差、積仍是無窮小，兩個無窮小的商是否仍是無窮小？事實上，兩個無窮小的商可能是無窮小，還可能有另外三種不同的結(jié)果。如果不解決這個問題似乎也不夠“完美”，從而引入了兩個無窮小階的比較概念。

四、從新舊知識的聯(lián)系中尋找新知識的生長點

有的新知識是由一些舊知識適當?shù)亟M合或簡單變形得來的。教師在教學中，如果能教給學生舊知識的組合方法、變形特征，就能使學生加深印象，牢固掌握。

如在學習單位圓這一新概念時，學生頭腦中已有圓和平面直角坐標系的概念。將圓和平面直角坐標系組合可得到單位圓。如何組合？單位圓仍是圓，只不過圓心的位置和半徑有特殊的要求：在平面直角坐標系中以原點為圓心，單位長為半徑長的圓叫做單位圓。

平面上兩條不重合的直線的位置關(guān)系，有平行和相交兩種。在空間，兩條不重合的直線除了平行和相交外，還有一種是既不平行又不相交。這種既不平行又不相交的關(guān)系叫什么呢？由此引入了異面直線的概念。

有些新知識是從舊知識（一般情形）中派生出來的（特殊情況）。學生能記住、掌握一般情形，也就容易記住、掌握特殊情形。三角函數(shù)這一單元的特點是公式多、變形廣、難記憶。同角三角函數(shù)的八個基本關(guān)系式、三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號、三角函數(shù)的定義域、特殊角的三角函數(shù)值等都要求學生能夠熟練掌握。如果忘掉了，怎么辦？都可以從任意角三角函數(shù)的定義中回憶起來。三角函數(shù)中的倍角公式、半角公式、積化和差與和差化積公式、誘導公式以及它們的變形公式多、繁、雜，但它們都可追溯到兩角和與差的三角函數(shù)公式，甚至還可追溯到兩角差的余弦公式，即從兩角差的余弦公式出發(fā)，就能推導出這些公式。為了把三角函數(shù)中近百個公式記住，最根本的是幫助學生記住兩點：任意角三角函數(shù)的定義及兩角差的余弦公式，再根據(jù)公式間內(nèi)在聯(lián)系就可記住其余公式。

求不定積分與求導數(shù)之間是互逆的關(guān)系，每一個導數(shù)基本公式對應(yīng)著一個積分基本公式，所以記住了導數(shù)基本公式就容易記住積分基本公式，而熟記了積分基本公式，對后面學習求不定積分的湊微分法（第一換元積分法）非常有好處。許多復(fù)合函數(shù)的積分問題要通過“湊”微分來解決，這就擴大了基本積分公式的應(yīng)用范圍。

學習新知識離不開記憶，而幫助學生采用“聯(lián)系”記憶，達到理解了記憶、應(yīng)用中記憶，能起到事半功倍的效果。

五、從數(shù)學理論的“原型”中尋找新知識的生長點

數(shù)學概念來源于實踐，許多數(shù)學概念都可在生活中找到它的原型。

頭發(fā)絲、細絲線、光線等等，都給我們以線的形象。窗玻璃、桌面、靜靜的湖面等等，都給我們以平面的形象。電線桿垂直于地面，給我們以直線垂直于平面的形象。時間雖是“一分一秒”地向前“走”的，但絕不可能從一點“一下子”就到了十點，而是“連續(xù)”變化的；我們欣賞電視節(jié)目時，若關(guān)閉電源，則看不到畫面、聽不到聲音，這給我們以“間斷”的感覺。

學生在求過定點P（x₀，y₀）的直線方程時，常常是設(shè)直線的斜率為k，用直線方程的點斜式y(tǒng)-y₀=k（x-x₀），這樣就想當然地認為直線一定有斜率k，而“忽視”斜率k有可能不存在的情形，怎樣預(yù)防呢？我們可以利用確定直線的條件：定方向，過定點。定方向就是要分直線與x軸垂直和不垂直兩種情況。當直線與x軸不垂直時有斜率，可設(shè)直線方程的點斜式；當直線與x軸垂直時，直線斜率不存在，而這條直線上所有點有共同特點是橫坐標都相同，都等于x₀，得直線的方程為x=x₀。以后凡遇有由定方向、過定點確定直線方程都要注意直線斜率存在和不存在這兩種情形，從而不犯錯誤。

由于概念不清，學生的作業(yè)、考試常會出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤，教師在平時的教學中，對學生難以掌握的、容易出錯的地方，可多設(shè)陷阱，多加防范，使學生加深基本概念的理解，從而鞏固所學知識。

目前，技校招收的學生文化素質(zhì)普遍較差，尤其是數(shù)學基礎(chǔ)更差，學生在校期間學習文化理論的時數(shù)將越來越少，給我們提高學生綜合素質(zhì)帶來困難，而我們教師別無選擇，只有想方設(shè)法，不斷追求。如何激發(fā)學生學習熱情，培養(yǎng)學習興趣，增強學習信心，提高學習能力，在教學的眾多因素中，教師找準好新知識的生長點至關(guān)重要。

參考文獻：

［1］王永健.生活中的數(shù)學.江蘇科學技術(shù)出版社，1991年6月版.