初等數學中方程、不等式、函數的關系

初等數學是數學入門課，是基礎數學，是培養數學思維，養成良好數學行為的關鍵時期，是學好數學的重要時刻。理清數學中的脈絡，尋其根本，至關重要。現以初等數學中的方程、不等式及函數間的關系為例進行說明。

實例：解方程5X+6=0，知X=-6/5。拓展：解不等式5X+6≠0，析為5X+6＞0或5X+6＜0，得解集X＞-6/5 或X＜-6/5。延伸：5X+6=Y (即Y=5X+6)的分析（討論）（方程不定式）:

經討論：只要給定x一個定值，則y有一定值與之對應，即對于任意給定x的值y都有唯一定值，x、y間是一一對應的。這就是函數的關系，也就是說y隨x的改變而改變，不妨稱x為自變量。

觀看：由圖像一目了然，方程的解是圖上的定點，不等式的解集是射線；函數（方程不定式）是一直線。

擴充：若將上式中的常數5換成常量a呢？即有ax+6=0，ax+6≠0，ax+6=y?

仿上推：（1）ax+6=0有a=0時無意義，a≠0 x=-6/a。（2）ax+6≠0化為ax+6＞0 或ax+6＜0，解集a＞0，x>-6/a或x＜-6/a，a＜0時x＜-6/a或x＞-6/a。（３）ax+6=y，設若a=0則y=6（圖像是平行于x軸或垂直于y軸的一直線）；a＞0時，圖像在一、二、三象限，看出y隨x的增大而大，a＜0時，圖像在二、三、四象限，知y隨x的增大而減小。

探究：現在綜合它們之間的關系（觀圖像）。⑴方程、不等式是函數的一部分，函數是整體的一般式。⑵圖像上，方程的解是圖像上的界點，不等式是射線，函數是直線，它們之間是包含關系。⑶方程、不等式、函數是點、線的具體數學表達式，圖像又將抽象化為形象。

結論：方程、不等式、函數之間是特殊到一般的關系，特殊最簡單，由簡單到復雜，到普遍規律，這正是學習數學、研究數學的最重要的方法，即不等式解集通過圖像而推出，而圖像中的定值（特殊值）就是方程的解。

推廣：若將一元一次方程換為一元二次呢？例x²＋3x+2=0，x²＋3x+2≠0，x²＋3x+2=y ，能否討論呢？

思考：試討論ax²+b=0，ax²+b≠0，ax²+b=y。