關于單擺周期公式中的擺長與重力加速度的一些討論

荷蘭科學家惠更斯研究了單擺的振動，并提出了單擺定律：單擺做簡諧運動的周期與擺長的二次方根成正比，與當地的重力加速度的二次方根成反比。并且確定了如下的單擺周期公式：T=2π。這個公式可直接應用于重力場中的作簡諧運動的單擺。

對一些非正常狀態下的單擺在應用該公式時需作一些變換，即L應理解為等效擺長，g應理解為等效重力加速度。

一、 關于等效擺長的討論

1．實際小球的振動。在球的直徑遠小于繩長的情況下，擺長L為小球重心與懸點間的距離。即L=L+r，其中L為擺線長，r為小球重心與球繩連接點間的距離。通常使用均勻球體，r為球的半徑。

2．質點在光滑圓弧槽中的運動。若質點在圓弧槽中的運動可視為簡諧運動，則其等效擺長等于圓弧的半徑。

3．雙線擺。此時需分析用怎樣的一根擺線來代替原來的兩根線。

例1：兩根等長的細線下懸掛一質點，每根繩長均為L，與天花板的夾角為a，則其等效擺長為Lsina。（如圖）

例2：兩繩長分別L和2L，與豎直方向的夾角為30°，則其等效擺長L′相當與oo′ 間的距離L′=L。（如圖2）

二、關于等效重力加速度的討論

1． 一般情況下，等效重力加速度等于擺球靜止在平衡位置時，擺線的張力與擺球質量的比值。

例3：單擺處于以加速度a向加速向上的升降機中做簡諧運動，其等效重力加速度為多少？（如圖3）

解答：當小球靜止于平衡位置時，繩中拉力由牛頓第二定律可知：F-mg=ma，F=m(g+a)， g′==g+a。

例4：在傾角為a的光滑斜面上一單擺作簡諧運動。（如圖4）當它靜止于平衡位置時，繩中拉力F=mgsinα，其等效重力加速度為gsinα，則振動周期為T=2π。

例5：如圖5，一輛汽車以加速度a勻加速前進，在車廂里有一個擺長為L的單擺。這個單擺的振動周期多大?

解答：小球的平衡位置在懸線與豎直方向成θ角處。此時懸線拉力F=m，其等效重力加速度為g′=，代入周期公式可得T=2π。

2． 外界的影響需對回復力有貢獻，若除重力外其它力對回復力無貢獻，則等效重力加速度是不變的。

例6：由一個帶電量為+q的質量為m的質點和一根輕細繩組成的簡諧運動系統中（如圖6），其周期為T=2π。若將此系統置于方向豎直向下的場強為E的勻強電場中，其等效重力加速度為，周期為T=2π。若撤去勻強電場，而是在懸點處置一電荷為+Q的電荷。由于Q對q的作用力總是沿著繩子方向，因而對回復力無貢獻（即回復力始終為重力的切向分力），其重力加速度仍為g，其振動周期為T=T=2π。

例7：有一秒擺，擺球帶負電，在如圖7所示的勻強磁場中作簡諧運動，雖然擺球在運動過程中受到洛侖茲力作用，但洛侖茲力始終沿繩子方向，與擺球運動方向垂直，因此對擺球做簡諧運動的周期回復力均不起作用，所以擺球的周期仍為2S。

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