淺析構(gòu)造法解題

構(gòu)造性解題的科學(xué)方法（簡稱構(gòu)造法）古老而又嶄新，是通過構(gòu)造題目本身所沒有的解題中介工具——存在實例、對應(yīng)關(guān)系或數(shù)學(xué)模型等去實現(xiàn)解題的方法。近幾年來，構(gòu)造法及其應(yīng)用又逐漸為數(shù)學(xué)教育界所重視。因而，在數(shù)學(xué)教學(xué)尤其是數(shù)學(xué)競賽中，系統(tǒng)掌握構(gòu)造法解題的題型及解題技巧，對提高解決問題實際能力有著積極的意義。

構(gòu)造法的實質(zhì)，是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件或結(jié)論所具有的特征，以條件中的元素為“元件”，以數(shù)學(xué)關(guān)系為“支架”，通過思維構(gòu)造出一種相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，使問題得以轉(zhuǎn)化、解決。在思維方式上，這一方法較多地含有直覺思維的因素，常常表現(xiàn)出簡潔、明快、精巧等特點。然而，用構(gòu)造法解題，特點是“構(gòu)造”，但怎樣“構(gòu)造”卻沒有通用的構(gòu)造法則，因而，我們只能通過實例進行相關(guān)說明。

1. 構(gòu)造函數(shù)

在多次證明的過程中發(fā)現(xiàn)，若條件中含有不等式關(guān)系，再結(jié)合結(jié)論分析之后，我們往往會考慮構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)（如增減性等）。

有時候，根據(jù)條件或結(jié)論的數(shù)量關(guān)系，我們可以從“映射”的角度出發(fā)，構(gòu)造一種新的函數(shù)關(guān)系（如二次函數(shù)，三角函數(shù)），將證明不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的范圍或最值問題。

2. 構(gòu)造方程

我們知道方程是中學(xué)數(shù)學(xué)中解決問題的重要工具，因而在證明不等式的過程中，若題設(shè)或結(jié)論中出現(xiàn)與方程有關(guān)的知識時，我們設(shè)法構(gòu)造輔助方程，利用方程的有關(guān)知識來解題，常能化難為易，化繁為簡。

3. 構(gòu)造復(fù)數(shù)

在平時的解題過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)求證式的左邊可視為幾個復(fù)數(shù)的模之和時，我們考慮構(gòu)造復(fù)數(shù)，再運用模的相關(guān)知識解題，達到快速解題的目的。

例3在銳角ΔABC中，

4. 構(gòu)造數(shù)列

若題設(shè)或結(jié)論中有一系列按一定規(guī)律變化的數(shù)，則我們考慮構(gòu)造數(shù)列，利用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)達到解題的目的。

5. 構(gòu)造不等式

由不等式的特點可知，構(gòu)造一種相依的不等式，經(jīng)過靈活處理，促使問題達到解決。

6. 構(gòu)造多項式

若條件中涉及到幾個數(shù)的和及平方和，要求的是其中一數(shù)的范圍，而一般的思路不太好證明的話，我們考慮構(gòu)造二次三項式，利用判別式來解題，使證明過程變得簡潔。

7. 構(gòu)造恒等式

通過變換，引入新的參變量，構(gòu)造出新的關(guān)系式，使證明變得簡潔、明了。

8. 構(gòu)造對應(yīng)關(guān)系

若題設(shè)中描述了兩個集合之間的函數(shù)關(guān)系，那么經(jīng)過分析猜想之后，構(gòu)造出對應(yīng)關(guān)系，運用數(shù)論的知識來解題。

例8對于有限集A，存在函數(shù)f:N→A具有下述性質(zhì)：若i，j∈N，且｜i-j｜是素數(shù)，則f(i)≠f(j)。問集合A中最少有幾個元素？

解：｜A｜以表示有限集A的元素個數(shù)，先估計｜A｜的下界，因為1，3，6，8這四個數(shù)中的任兩個數(shù)的差的絕對值均為素數(shù)，由題設(shè)知：f(1)，f(3)，f(6)，f(8)是A中四個兩兩不等的元素，從而｜A｜≥4。

構(gòu)造集合A={0，1，2，3}，則函數(shù)f:N→A的對應(yīng)關(guān)系為：若x∈N，x=4k+r，則f(x)=r，其中k∈N∪{0}，r=0，1，2，3。

下面證明f滿足題設(shè)性質(zhì)：

任取x，y∈N，若｜x-y｜為素數(shù)，則f(x)≠f(y)；若不然，依f(x)=f(y)知，x≡y(mod4)，這與｜x-y｜是素數(shù)相矛盾。依上所述，可得｜A｜=4。

9. 構(gòu)造幾何圖形

在證明不等式時，如果一般的思路行不通，且題目涉及幾何問題或有比較明顯的幾何意義時，我們可以考慮構(gòu)造幾何圖形。而構(gòu)造幾何圖形又是數(shù)形結(jié)合的一種形式，它通過“聯(lián)想類比、相關(guān)變換”等形式，構(gòu)造新的數(shù)學(xué)模型（平幾模型、立幾模型、解幾模型），使數(shù)、形、式有機地結(jié)合在一起，從而達到求解的目的。

構(gòu)造法證明不等式涉及的內(nèi)容很廣，其構(gòu)造的形式也是多種多樣的。運用構(gòu)造法證明不等式，主要在于“構(gòu)造”，就是根據(jù)已知條件與要證的結(jié)論所提供的信息進行聯(lián)想類比、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，在條件與結(jié)論之間建起聯(lián)系的紐帶。

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”