關于市場競爭問題的數學模型

某個產品市場，由A公司壟斷，現在B公司已具備了開發能力，其可變成本20萬元，比A公司高20%，并且已經發布消息，問：以B公司的條件是否能參與市場競爭？

一、模型的建立與求解

1.采購與存儲。只考慮倉庫之庫存產品的簡單情形：符號說明：k：表示生產線運行時商品的生產速率。 r:表示商品的銷售速率(r

問題即為：確定周期T，使單位時間總費用最小。由以上分析可知：單位時間成本為:b/T

單位時間庫存費為：

由一個周期內生產的商品等與銷售的商品得:kt=rt

則單位時間總費用為:

即表明：最優周期與生產成本的平方根成正比，與存儲費用的平方根成反比。單位時間總費用與生產成本和存儲費用的平方根成正比。

2.倉庫處存放產品外還存放原料:設一個周期生產所需原料一次備足，即t=0時，倉庫要存放能生產kt件商品的原料。設為單位時間內單位原料的存儲費用。由于生產速率為常數，則原料線性遞減，t時刻時原料用完，生產停止。如圖:

由圖，單位時間原料存放費為，

此時，單位時間總費用為：

顯然，該結果與第一步的結果形式相同，只是存儲費部分加上了原料的存儲費用，使得總費用增加。同理，也可得出與第一步相同的結論：生產成本與產品和原料存儲費用的比值在一定條件、一定范圍內越大越好。

3.采購原料的最佳時機及一次采購數量:符號說明:a0:一次采購的手續費。b0:單位數量的原料價格。T0:原料的采購周期。在這一步中，假設原料不許缺貨，一旦短缺立即訂貨，且瞬時到貨。與第二步的分析同理，共采購能生產kt｀件商品的原料，生產過程中原料數量呈線性遞減，在t`時刻原料用完，生產停止。如圖:

由假設條件，單位時間原料存放費為，其中:

由一個周期內生產的商品等于銷售的商品得:，則：代入表達式，有:

單位時間原料費用（包括采購費和存儲費）為：

將（9）、（10）式代入（8）式得單位時間原料的平均費用：

4.確定產品的最優價格及最優產量。由前三步的討論結果，在一個生產周期內：

產品的最優產量:

原料和產品的存儲費;

原料的采購費;

產品的生產線成本:

每件產品單位時間的平均成本：

另外，前期宣傳費用(每月按30天計)為:

得數據的散點圖及擬合后的曲線和擬合曲線的數學表達式，如圖:

取曲線方程的近似表達式，得銷售量x與售價p的關系：

公司所得利潤為其銷售收入與生產成本之差，一個生產

周期[0，T`min]內總利潤:

其中w為平均每天的宣傳費用:

售價p是時間t的函數，設為p(t)，則上式為:

易知有約束條件:

問題即為：由方程組求價格函數，使在滿足約束條件的情況下使U[]達到最大值。

解方程組V:由拉格朗日乘數法，作輔助函數:

顯然，為常數，但=53.75不符合題意，取(15)

將（15）式代入（14）式:

至此，得到最優價格及周期最佳產量分別為：

二、建模結果

通過以上的分析與求解，已得出該模型結果的符號表達式：

原料的最佳采購周期:，最佳采購量:

產品的最優價格: 最優年產量:

單位產品獲利：

年終獲利:

本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。