風險價值ＶａＲ的存在惟一性問題

[摘要] 當風險資產(chǎn)的損失為離散隨機變量時，用概率方程、反分布函數(shù)和分布最小值給出的風險價值VaR定義不滿足存在惟一性，而用概率下確界、概率最小值、分布下確界和分布右極限最小值給出的VaR定義則對任意隨機變量都能滿足存在惟一性。

[關鍵詞] 風險價值 隨機變量 概率 下確界 存在惟一性

VaR是Value at risk簡稱，通常譯為風險價值，亦譯為在險價值、受險價值、險值等，現(xiàn)已經(jīng)成為金融風險管理的國際標準。菲利普·喬瑞將VaR定義為：在正常的市場環(huán)境下，在一定的置信水平和期間內(nèi)，衡量(風險資產(chǎn))最大預期損失的方法。

一、三種已知定義及存在缺陷

已知VaR的數(shù)學定義多采用含有概率的方程形式給出，也有用概率分布函數(shù)的最小值或反函數(shù)等形式給出的，現(xiàn)分別予以討論。

定義1(概率方程定義):設隨機變量X是風險資產(chǎn)在某期間內(nèi)的損失(或負收益)，α∈(0，1)，則稱滿足方程:

P(X≥x)＝α(1)

x為該資產(chǎn)在此期間內(nèi)的置信度為α的VaR，記作VaR1。

定義2(反分布函數(shù)定義):設Ｘ、α如定義1，且X的分布函數(shù)為F(x)，則定義VaR為:

VaR2= F-1(1-α)

定義3(分布最小值定義):設同定義2，則定義VaR為:

VaR3=min{ x｜F(x)≥1-α}

然而，上述三種定義的存在惟一性卻不一定能得到保證，下面給出一個反例。

例1:設X為離散隨機變量，分布律為P(X=xi) ， (xi

(1)VaR1對幾乎所有的α都不存在，僅對至多可數(shù)個α存在還不惟一。

(2)VaR2對所有的α都不存在。

(3)VaR3對所有的α視分布函數(shù)的不同定義形式或都不存在或都存在惟一。

證明:(1)由于P(X≥x) =是關于x的單調(diào)非增且左連續(xù)的階梯函數(shù)，故其值域是區(qū)間[0，1]上某個可數(shù)集的非空子集，因此方程(1)只對至多可數(shù)個α有解。對不可數(shù)個使方程(1)無解的α，其對應的VaR1自然不存在。對至多可數(shù)個使方程(1)有解的每個α，即存在ξ使P(X≥ξ)=α，由階梯函數(shù)性質(zhì)可知，存在一個包含ξ的區(qū)間(xk，xk+1]，使區(qū)間內(nèi)所有的x都滿足方程(1)，即此α對應的VaR1有無窮多個，因而不惟一。

(2)因為F(x)是階梯函數(shù)，故F(x)的每一個函數(shù)值都有無窮多個原象，因此F(x)沒有反函數(shù)，從而F-1(1-α) 對所有的α都無意義，當然就不存在VaR2。

(3)若F(x) = P(X＜x)，則F(x) =是關于x單調(diào)非降且左連續(xù)的階梯函數(shù)，故對每個α，都存在惟一的xα使F(xα)＜1-α≤F(xα+0)。由F(xα)＜1-α可知VaR3＞xα，由1-α≤F(xα+0)可知xα≥VaR3，從而VaR3≥xα＞VaR3，矛盾，此矛盾表明其對應的VaR3不存在。

若F(x)=P(X≤x)，則F(x)=是關于x單調(diào)非降且右連續(xù)的階梯函數(shù)。故對每個α，都存在惟一的xα使F(xα-0)＜1-α≤F(xα)，故{ x｜F(x)≥1-α}=[ xα，∞)，此時xα即為VaR3。

二、三種已知定義存在惟一的必要條件

例1:表明已知的三種定義都存在缺陷，下面給出這三種定義存在惟一的必要條件。

定理1(VaR1存在惟一的必要條件):若P(X≥x)關于x連續(xù)且嚴格單調(diào)，則VaR1對每個α都存在且惟一。

證明:因P(X≥x)=1＞α＞0=P(X≥x)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在ξ∈(-∞，∞)，使P(X≥ξ)＝α，由單調(diào)性可知ξ還是惟一的，此ξ即為VaR1。

定理2(VaR2存在惟一的必要條件):若F(x)連續(xù)且嚴格單調(diào)，則VaR2對每個α都存在且惟一。

證明:因為F(x)為嚴格單調(diào)連續(xù)函數(shù)，因此F(x)存在嚴格單調(diào)連續(xù)反函數(shù)F-1(x)，故對任意的α，都存在惟一的xα，使xα= F-1(1-α)，此xα即為VaR2。

定理3(VaR3存在惟一的必要條件):若F(x)右連續(xù)，則VaR3對每個α都存在且惟一。

證明:對任意的α，方程或有解或無解。

若方程有解，即存在ξ，使F(ξ)=1-α，則解或惟一或不惟一。當解惟一時，其解即為VaR3；當解不惟一時，由于F(x)單調(diào)非降且右連續(xù)，因此解集為一個左閉區(qū)間，此區(qū)間的左端點即為VaR3。

若方程無解，由F(x)的單調(diào)性可知，存在惟一的xα，使F(xα-0)＜1-α＜F(xα)，此xα即為VaR3。

三、定義的改進

為了彌補上述三種定義的缺陷，下面給出能適應各種隨機變量的VaR數(shù)學定義。

定義4(概率下確界定義):設X、α如定義1，則定義VaR為

VaR=inf{ x｜P(X≥x)≤α}

定理4(VaR存在惟一性定理) 對任意的X和α都有惟一的VaR。

證明:記Aα={x｜P(X≥x)≤α}，由概率論可知

P(X≥x)＝1＞α，故由極限性質(zhì)知，存在ξ＞-∞，使P(X≥ξ)＞α，可見Aα有一個下界ξ，由下確界存在定理知，下方有界的數(shù)集Aα必有下確界xα，而下確界是惟一的，此xα即為VaR。

推論1:(概率最小值定義):設X、α如定義1，則：

VaR=min{ x｜P(X＞x)≤α}

證明:記xα＝VaR，則P(X≥x)。當x＞xα時，P(X＞x)=P(X≥x) P(X=x)≤P(X≥x)≤α，由于P(X＞x)關于x右連續(xù)，故P(X＞xα)=P(X＞x)≤α；當x＜xα時，令ξ=，則x＜ξ＜xα，由于P(＞x)單調(diào)非增，從而P(X＞x)≥P(X≥ξ)＞α。綜合之有P(X＞x)，所以min{ x｜P(X＞x)≤α}=min[xα ，∞)＝xα=VaR。

推論2(分布下確界定義):設同定義2，則:

VaR=inf{ x｜F(x)≥1-α}

證明:若F(x)=P(X＜x)，因為P(X≥x)=1-P(X＜x)= 1-F(x)，從而有{ x｜P(X≥x)≤α}＝{ x｜F(x)≥1-α}，所以inf { x｜F(x)≥1-α}= inf { x｜P(X≥x)≤α}=VaR。

若F(x)=P(X≤x)，由推論1證明知 P(X＞x)，因此F(x)＝1-P(X＞x)，所以inf{ x｜F(x)≥1-α}=inf [VaR ，∞)＝VaR。

推論3(分布右極限最小值定義):設同定義2，記F(x+0)=F(t)，則:

VaR=min{ x｜F(x+0)≥1-α}

證明:記xα＝VaR，則F(x)。因F(x)單調(diào)非降，當x＞xα時，F(xiàn)(x+0)≥F(x)≥1-α，并且F(xα+0)≥1-α；當x＜xα時，令ξ=，則x＜ξ＜xα，故F(x+0)≤F(ξ)＜1-α，從而F(x+0)，所以min{ x｜F(x+0)≥1-α}= min[xα ，∞)=xα=VaR。

例2:設X如例1，則:

四、結(jié)論

由于風險資產(chǎn)損失的分布未必連續(xù)，因而用概率方程、反分布函數(shù)和分布最小值給出的VaR定義就不一定能滿足存在性或惟一性，故在理論上和實際應用中這三種定義都存在缺陷。用概率下確界給出的定義以及由其導出的概率最小值、分布下確界、分布右極限最小值等定義可彌補所有缺陷。

鑒于用概率下確界給出的定義比用分布函數(shù)給出的定義有更直觀的經(jīng)濟學意義，所使用的數(shù)學工具也較少，而用最小值給出的定義又受到右連續(xù)的約束，適應性有所欠缺．。可見用概率下確界給出的定義具有普適性，因此可以作為VaR首選的數(shù)學定義。

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