求最值問題的常見錯誤及應對策略

學生在各種各樣的解題過程中，對有些題感覺很順手，用到的方法也不乏巧妙，但是通過仔細研究，才知道其中存在一個不起眼的漏洞，也就是因為這個不起眼的漏洞，使得他們之前用的方法功虧一簣，乃致全盤皆輸．

有這樣一道題：如圖所示，有一塊長為a，寬為b（其中a>b）的長方形鐵皮，在它的四個角上分別截去一個邊長為x的小正方形，然后把它做成一個無蓋的長方體容器，求這個長方體容器的體積最大是多少？

解：設這個長方體容器的體積為Ｖ，則

Ｖ＝x#8226;（a-2x）#8226;（b-2x），（其中0＜x＜）

∵=

≤，

∴Ｖ≤

∴當4x=a-2x，即x=時，Ｖmax=

我們可以看到，這種解法用到的是算術平均不等式，過程簡潔優美，通俗易懂，不乏精妙，似乎毫無破綻，無懈可擊！但其實這里隱藏著一個小小的不甚起眼的漏洞．不錯，完全可以得到Ｖ≤，但是等號成立的條件是４x=a-2x=b-2x，由于a>b，因此a-2x=b-2x是不會成立的，也就是說Ｖ≠于是，這么“精美”的一個解法被否定掉了，實在是可惜！

那接下來該怎么辦呢？通常的思路可能會有這樣兩種：一是改造剛才的方法，因為美好的東西總是會讓人有點戀戀不舍的；二是忍痛割愛，完全丟棄剛才的方法，用別的方法來解決．下面是源于兩種不同的思路得到的兩種不同的結果：

解：Ｖ＝x#8226;（a-2x）#8226;（b-2x），（其中0＜x＜）

令p>０，q>０，

∵ =

≤，

∴Ｖ≤

∴１-2p-2q=0 ①，p(a-2x)=q(b-2x)=x ②時取得最大值．

由②得p=，q=，

代入①得1--=0，

解得x=，

若x=

∵０

∴時取得最大值．

∴Ｖmax=x#8226;（a-2x）#8226;（b-2x）=#8226;

（a-）#8226;（b-）=

上面的方法利用的是加權算術平均不等式，通過設出兩個非零參數p和q，很好地彌補了剛才所出現的a-2x≠b-2x這個漏洞，滿足了不等式中等號成立的條件．最奇妙的是，這里所設的兩個參數設而不求，通過“迂回”的辦法，只是出來“露了一下臉”而已，就立刻把Ｖ取得最大值的x的值給引出來了．美好的東西改造一下通常還是美好的東西．

值得一提的是，學生通常想不到上面的方法，而是用求導數的方法，因為在高中數學中學習了導數以及它的應用．

解：Ｖ＝x#8226;（a-2x）#8226;（b-2x），（其中0＜x＜）

Ｖ′=（a-2x）#8226;（b-2x）-2x（a-2x）-2x（b-2x）=12x2-4（a+b）x+ab

令Ｖ′=12x2-4（a+b）x+ab=0得x=

若x=，

∵０

當x=時，

Ｖ＝x#8226;（a-2x）#8226;（b-2x）

=#8226;（a-）#8226;（b-）

=

∵當x=（＞）時，

Ｖ＝x#8226;（a-2x）#8226;（b-2x）

＝#8226;（a-）#8226;（b-）

＝

≤

∴Ｖmax=x#8226;（a-2x）#8226;（b-2x）

＝

用求導數的方法求得Ｖ取得極值的x的值，代入Ｖ的表達式即可算出最大值，過程也比較簡潔規范，直截了當，這也體現了導數最基本的、重要的而又非凡的作用．

責任編輯羅峰

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