基于協方差調整的久期——凸度免疫策略分析

摘 要：眾所周知，簡單久期—凸度免疫策略中隱含兩個假設：水平收益率曲線及其平行變動。針對這兩個假設與實際情況不符的問題，本文借鑒Carcano和Foresi（1997）的思想，建立了一個基于協方差調整的一般久期—凸度免疫模型，并用兩資產對沖組合和三資產對沖組合進行了具體分析。進一步，我們采用上海證券交易所上市的國債交易數據對一般模型的免疫效果進行了檢驗，結果顯示基于協方差調整的久期—凸度免疫策略比簡單久期—凸度免疫策略具有相對較強的免疫能力。

關鍵詞：久期—凸度免疫；利率期限結構；波動率

中圖分類號：F830．4文獻標識碼：A

文章編號：1000-176X(2008)02-0046-09

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一、引 言

對沖利率風險的一種重要手段是采用久期—凸度免疫策略。簡單的久期—凸度免疫策略是通過構建一個與某項資產A具有相同的久期和凸度的對沖組合H，并買入資產A、賣空與A同等數量的對沖組合H來實現的。可以證明，在滿足一定條件的情況下，具有相同久期和凸度的對沖組合能夠抵消由于利率發生變化而引起資產A出現的損益，從而使持有免疫組合（即包括同等數量的多頭部位A和空頭部位H的組合，記為P）的投資者實現對利率變動的免疫。

簡單久期—凸度免疫策略實現其免疫能力的最關鍵的兩個前提假設是：第一，收益率曲線是水平的。第二，收益率曲線平行變動。如果收益率曲線不是平行變動的，那么在利率發生變化時，即使資產A與對沖組合H具有相同的久期和凸度，資產A的價值變化率也無法與包含具有不同期限資產的對沖組合H的價值變化率保持相同。換句話說，在收益率曲線非平行變動的情況下，簡單久期—凸度免疫策略不能實現其預期的免疫效果。

收益率曲線平行變動意味著不同期限的收益率變化的波動率是完全相同的，而且各種期限的收益率變化之間完全正相關。然而，經驗證據表明，收益率曲線的變動通常是非平行的^[1]。也就是說，實踐中長短期收益率變化的波動率是不相同的，長期收益率變化與短期收益率變化是不完全正相關的。來自美國國債市場中的交易數據表明，短期利率變化的波動率高于長期利率變化的波動率。而且，1年期即期利率變化與15年期即期利率變化之間的相關系數是0．68，5年期即期利率變化與19年期即期利率變化之間的相關系數是0．78。^[2]我們的研究發現，來自上海證券交易所上市的國債交易數據顯示，1年期即期利率變化、5年期即期利率變化、20年期即期利率變化的波動率分別是0．49%、0．34%和1．25%。而且，1年期即期利率變化與15年期即期利率變化之間的相關系數是0．54，5年期即期利率變化與20年期即期利率變化之間的相關系數是-0．01（參見本文第四部分中表1的經驗結果）。

顯然，在這種情況下，采用簡單久期—凸度免疫策略很難獲得理想的免疫效果。有鑒于此，研究收益率曲線非平行變動情況下的久期—凸度免疫策略是非常必要的。基于對長短期收益率變化的波動率存在差異以及長短期收益率變化之間的不完全正相關的認識，本文借鑒Carcano和Foresi（1997）的思想，將建立了一個基于不同期限收益率變化的協方差進行調整的一般久期—凸度免疫模型，用以改進簡單久期—凸度免疫技術，提高久期—凸度免疫策略的免疫能力。

本文其余內容結構安排如下：第二部分是相關文獻綜述，包括國內和國外在久期—凸度免疫策略方面的研究進展情況；在第三部分中建立一個基于協方差調整的一般久期—凸度免疫模型，用于收益率曲線非平行變動情形下對沖利率風險，并用兩資產對沖組合和三資產對沖組合進行特例分析；在第四部分中我們采用上海證券交易所上市的國債交易數據對一般模型的免疫性能進行檢驗；第五部分對本文的研究結果做出簡單總結，并探討經驗結果給我們帶來的啟示。

二、相關文獻綜述

如前所述，通常情況下，收益率曲線既非水平，其變化也不是平行移動。簡單久期免疫策略的兩個假設前提得不到滿足，致使簡單久期免疫策略不能保證對利率變化實現免疫。有鑒于此，對簡單久期免疫策略的改進基本上都是從這兩個假設入手。概括起來，對簡單久期免疫策略的改進主要有兩條思路：一是用一個適用范圍更廣的擴展久期概念取代Macaulay久期（是簡單久期免疫策略中使用的久期），我們將之稱為單一指標方法或單因素方法；二是用描述收益率曲線變動的多個參數或因素取代簡單久期，我們將之稱為多指標方法或多因素方法。

沿著第一條思路，Fisher和Weil（1971）提出了用于非水平收益率曲線在平行變動情形下的Fisher-Weil久期^[3]；La Grandville（2001）提出了用于非水平收益率曲線在非平行變動情形下的方向久期（directional duration）^[4]。基于Macaulay久期被解釋為具有相同價格敏感度的零息債券的到期期限，Zheng，Thomas和Allen（2003）提出了近似久期（approximate duration）。^[5]與Macaulay久期類似，這三種久期都是一個衡量價格敏感度的標量指標。所不同的是，這三種久期是更一般情形下的綜合性指標，是更符合實際情況的擴展久期。

沿著第二條思路，基于即期利率曲線的不同形式，一些研究者提出了相應的具有多分量的“向量”久期。根據利率期限結構的擬合方法，我們可以將其大致分成兩種：一種是基于用參數估計方法擬合出某一種特殊形式的即期利率曲線；另一種是基于采用因素模型方法擬合出的即期利率曲線。對于前者，Cooper（1977）提出了部分久期（partial duration）的概念^[6]，包括Willner（1996）的多項式久期（polynomial duration）^[7]、Prisman和Shores（1988）的指數久期（exponential duration）^[8]和Elton，Gruber和Michaely(1990)的關鍵利率久期（key rate duration）等。^[9]對于后者，主要是采用主成分分析法擬合得出的因素久期（factor duration）^[10]。

除此之外，Carcano和Foresi（1997）提出了另一條思路，建議用不同期限收益率變化之間的相關性進行調整的久期—凸度免疫策略。^[2]與前兩條思路相比，這種方法具有兩個明顯的優點：一是直觀、簡潔，有清晰的經濟含義；二是不用對即期利率曲線的形式做出假設或進行估計。基于這一思路，本文將建立一個基于協方差調整的一般久期—凸度免疫模型，并用上海證券交易所上市的國債交易數據檢驗它的免疫能力。

近兩年，國內業界和學術界對利率風險的認識逐漸提高，部分學者也開始致力于利率風險免疫策略的研究。譬如，張繼強（2004）提出了基于主成分分析與Nelson-Siegel模型的三因素方法，他的經驗結果表明，三因素模型較久期—凸度模型精確。^[11]朱世武、李豫和董樂（2004）使用Nelson-Siegel模型擬合出2002年滬深交易所國債的利率期限結構，然后運用二因子（水平和傾斜）、三因子（水平、傾斜和曲度）主成分法及久期、凸度法對交易所上市的債券進行模擬套期保值。結果表明，凸度法及三因子主成分法有比較理想的效果。^[12]文忠橋（2005）從利率期限結構承受線性沖擊和非線性沖擊以及隨機利率期限結構條件下，利用免疫理論研究如何防范國債投資的利率風險。^[13]龔樸和何旭彪（2005）在債券收益曲線呈剛體運動的假設條件下，引入Fisher-Weil久期的概念，從收益曲線的運動分析出發，提出了非平移收益曲線的風險免疫模型。^[14]

張繼強（2004）和朱世武、李豫和董樂（2004）都是沿著第二條思路考察多因素免疫模型在中國市場中的免疫效果；文忠橋（2005）注意到了利率期限結構的非線性沖擊，探討了隨機利率期限結構條件下的免疫模型，但沒有考慮不同期限的利率變動存在不同的波動性；龔樸和何旭彪（2005）考察了收益率曲線呈剛體運動的條件下免疫模型，但仍然沒有考慮不同期限收益率變化之間的相關性對久期—凸度免疫策略的影響。因此，非常有必要研究基于協方差調整的久期—凸度免疫模型在中國市場中的免疫能力。

三、基于協方差調整的一般久期—凸度免疫模型及其特例分析

（一）基于協方差調整的一般久期—凸度免疫模型

考慮一項資產A及其對沖組合H，其中對沖組合H由n項具有不同到期期限的資產（不包括A）構成，那么由買入資產A和賣空同等數量的對沖組合H組成的免疫組合P的收益率為：

為了實現免疫的目標，就要使組合P的未預期收益率的波動率最小化。因此，基于協方差調整的一般久期免疫模型就是，求對沖組合中各資產的權重，使得組合P的未預期收益率的方差（3）式最小化，且滿足約束條件∑ni=1wi=1。

如果假設收益率可以表示成如下的二階近似公式^[2]：

使得（5）式最小化的模型被稱為基于協方差調整的一般久期—凸度免疫模型。注意：在假設一階近似成立的情形下，是基于協方差調整的久期免疫模型；在假設二階近似成立的情形下，是基于協方差調整的久期—凸度免疫模型。

（二）兩資產對沖組合情形下協方差調整的久期免疫模型

假設對沖組合H中只包括兩項資產1和2，我們最小化免疫組合P的未預期收益率的方差（3）式，可以得到資產1的最優權重為：

如果我們假設不同期限的收益率變化是完全正相關的，那么（6）式中的相關系數均等于1。于是，我們可以得到此種情形下的最優權重為：

我們將這一特例稱為基于波動率調整的久期免疫模型。

如果我們在（7）式的基礎上進一步加入等波動率的限制條件，則可以得到：

實際上，（8）式就是兩資產對沖組合情形下的簡單久期免疫模型，因為我們通常看到的就是（8）式的一種變形：DA=w1D1+(1-w1)D2。正因為如此，我們可以得出，簡單久期免疫模型是基于協方差調整的久期免疫模型的一個特例。

比較（6）式與（8）式的區別，我們可以看到，未預期利率變化的波動率及其相關系數是對沖組合中各資產權重的決定因素。相對于簡單久期免疫模型，這些決定因素調整了對沖組合中各資產的權重，從而提高了久期免疫模型的免疫能力。

（三）三資產對沖組合情形下協方差調整的久期—凸度免疫模型

假設對沖組合H中包括三項資產1、2和3，我們最小化免疫組合P的未預期收益率的方差是（5）式，在滿足權重之和等于1的條件下，就可以求出三項資產的最優權重。由于此時得出的公式較復雜，本文中只給出一種特殊情形下的簡單公式。

假設不同期限的收益率變化是完全正相關的、且一階項和二階項之間不相關，在此情形下，資產1和資產2的最優權重分別為：

我們將這種情形下的模型稱為基于波動率調整的久期—凸度免疫模型。

四、基于協方差調整的久期—凸度免疫策略的免疫性檢驗

（一）免疫性檢驗的基本思路

考慮到便于構建對沖組合和計算組合權重，我們采用具有不同期限的零息國債收益率（或即期利率）對基于協方差調整的久期—凸度免疫模型進行免疫性檢驗。但是，由于我國沒有本息分離交易（STRIPS）市場，也缺少公開可用的即期利率數據，所以本文擬采用估計的方法得到不同期限的即期利率。

我們檢驗免疫性的基本思路如下：首先，利用交易所上市的附息國債的交易數據，估計出各種期限的即期利率；其次，構建由具有不同期限的資產（其收益率為同期即期利率）組成的對沖組合H，即用估計出的即期利率計算對沖組合H的最優權重；再次，基于對沖組合H的最優權重計算組合P的未預期收益率的波動率；最后，通過比較基于協方差調整的久期—凸度免疫組合與簡單久期—凸度免疫組合的波動率來判斷兩種策略的相對優劣性。

（二）即期利率的估計

本文中，我們采用Nelson-Siegel簡約模型（Nelson and Siegel，1987）對隱含即期利率進行估計。^[15]Nelson-Siegel簡約模型表示為：

在估計出Nelson-Siegel簡約模型的參數之后，我們就可以利用（11）式很容易計算出任何期限的即期利率。

具體而言，我們用1996年1月1日至2005年12月31日期間(樣本區間)在上海證券交易所上市交易的所有附息國債的日收盤價作為實際價格，利用上述方法估計出樣本區間中每日的1年期、2年期、5年期、7年期、10年期、15年期和20年期的7種期限的即期利率，再用算術平均的方法將其轉換相應的月度數據，從而得到從1996年1月至2005年12月期間的7種期限的即期利率，每種期限有120個月度數據。

為了計算出即期利率的未預期變化Δ，我們需要假設現在的期限結構是未來期限結構的最優估計，在此假設下即期利率的未預期變化Δ的計算公式如下：

t時期期限為m的即期利率，Sm，t-1表示在t-1時期期限為m的即期利率。

利用估計出的即期利率未預期變化Δ可以計算出它們未預期變化的波動率及其相關系數，結果如表1所示。

表1即期利率的未預期變化的波動率及其相關系數

從表1中我們可以看到兩個顯著特征：

第一，即期利率變化的波動率首先隨著期限增加而下降，到5年期達到最低，然后隨著期限增加而上升。這一點與美國市場有顯著差異。美國市場的長期利率波動幅度明顯要小于短期利率波動幅度，原因是即期利率是不同期限的遠期利率的平均值，隨著期限的增加，被平均的遠期利率的數目自然增加，所以期限越長，利率波動的幅度就會越小。我們認為，產生這一差異的主要原因在于中國國債市場的不成熟所致。具體表現在：一是中國債券市場整體規模相對較小、品種結構失衡。由于沒有更多的投資渠道，金融機構迫不得已將大量資金投資于中長期國債，造成金融機構對中長期國債的過度需求。二是利率管制為國有金融機構推脫責任和不作為提供了借口，大多數金融機構對利率風險認識不足，其利率風險管理水平落后。不顧風險的盲目過度投資導致中長期國債的價格高企，使得長短期國債利差過小、利率期限結構扭曲。正是由于金融機構的過度持有，中長期國債中蘊含著較大的利率風險，從而導致長期利率的波動大于中短期利率的波動。長期利率變化的波動性較大的現象也被其他學者所發現。譬如，袁東（2004）選用了基點價格值、久期與凸性等指標對上海證券交易所與銀行間市場國債價格的波動性進行測度，其結果是，隨著剩余期限的增加，國債價格的波動性越大。^[16]值得說明的是，本文的經驗結果與袁東（2004）的結果略有不同。

第二，不同期限的即期利率變化與它較近期限的即期利率變化有較高的相關性，而與它較遠期限的即期利率變化的相關性較弱。例如，2年期即期利率與1年期即期利率變化的相關系數為0．92，而與20年期即期利率變化的相關系數是0．33。從總體來說，中國市場不同期限利率波動幅度的相關性還是相對合理的。但是，一個顯著區別是中國的不同期限的即期利率變化的相關性明顯低于美國的情況。特別地，5年期即期利率變化與20年期即期利率變化之間的相關系數是-0．01。這種長期即期利率與中短期即期利率幾乎不相關的現象值得管理層和投資者給予足夠的關注。

（三）免疫能力指標的計算

對于任何一個免疫組合P，即買進一單位的資產A，同時賣空一個單位的對沖組合H，則組合P在某一時期的收益率的未預期變化是：

［rA-E（rA）］-∑ni=1wi［ri-E(ri)］（13）

在根據前面所述的免疫策略（簡單久期—凸度免疫策略或基于協方差調整的久期—凸度免疫策略）確定好最優權重之后，我們就可以用（13）式計算出樣本期間任一時期免疫組合P的收益率的未預期變化。

對于一個免疫組合，其收益率未預期變化越小，則說明它的免疫效果越好。因此，我們用免疫組合的收益率未預期變化的波動率來度量免疫組合的免疫效果，它被稱為免疫的標準誤差（SEI，the Standard Error of Immunization）。為了比較基于協方差調整的久期—凸度免疫策略與簡單久期—凸度免疫策略的免疫效果，我們計算協方差調整模型下的組合收益率未預期變化的相對標準誤差，記為%SEI，它的計算公式是：

%SEI=SEI(CAI)-SEI(SI)SEI(SI)×100（14）

其中，SEI(CAI)表示基于協方差調整的久期—凸度免疫組合的標準誤差，SEI(SI)表示簡單久期—凸度免疫組合的標準誤差。

注意：我們可以將考察的對象換成某種特殊形式下的免疫組合，譬如我們可以考察基于協方差調整的久期免疫組合。

%SEI是用來衡量免疫組合的相對免疫效果。若%SEI為負，則說明該組合的免疫效果要好于簡單免疫組合，若負數越大，則免疫的效果就越好；反過來，若%SEI為正，則說明該組合的免疫效果不及簡單免疫組合，若正數越大，則免疫的效果越差。

（四）經驗結果

首先，我們考察兩項資產對沖組合情形下久期免疫策略的免疫效果。為了讓所考察的免疫組合有代表性，我們要針對五種不同期限（包括2年、5年、7年、10年和15年），分別構建數量差不多、結構相似的免疫組合。譬如，對于到期期限為5年的資產A，我們采用三種對沖組合（2，7）、（2，10）和（1，15），其中括號中的數據表示資產的到期期限，因此構建兩個組合3、4和5。這里，我們一共構建了14個組合，且分別計算了包括簡單久期免疫策略在內的三種投資策略下每個免疫組合的權重和未預期收益率的標準誤差或相對標準誤差，結果見表2。

表2兩項資產對沖組合情形下久期免疫策略的免疫性分析結果

組合P

到期期限簡單久期免疫策略基于協方差調整的久期免疫策略基于波動率調整的久期免疫策略

從表2可以看到，對于基于協方差調整的久期免疫策略，14個組合中有7個組合的相對標準誤差（%SEI）為負；對于基于波動率調整的久期免疫策略，14個組合中只有6個組合的相對標準誤差（%SEI）為負。結果說明，有將近一半的組合的免疫效果得到改善。值得注意的是，沒有得到改善的組合中基本上都是包含較短期限（1年和2年）的資產和較長期限（15年和20年）的資產。

其次，我們考察三項資產對沖組合情形下久期—凸度免疫策略的免疫效果。與前一種情形類似，針對五種不同期限（包括2年、5年、7年、10年和15年），我們構建了14個免疫組合，計算了四種投資策略下每個組合的未預期收益率的標準誤差或相對標準誤差，結果列于表3。其中，三項資產對沖組合情形下的基于協方差調整的久期免疫策略是為了便于比較而增加的，它是在基于協方差調整的久期—凸度免疫策略中忽略凸度因素簡化而來的一種特殊情形。

表3三項對沖組合情形下久期—凸度免疫策略的免疫性分析結果

②組合P的持有期為1個月。

從表3可以看到，對于基于協方差調整的久期—凸度免疫策略，14個免疫組合中有9個組合的相對標準誤差（%SEI）為負；對于基于波動率調整的久期—凸度免疫策略，14個免疫組合中有8個組合的相對標準誤差（%SEI）為負。經驗結果顯示，14個免疫組合中有一多半組合的免疫效果得到改善。與兩項資產對沖組合情形下的結果類似，沒有得到改善的免疫組合中基本上都是包含較短期限（1年和2年）的資產和較長期限（15年和20年）的資產。另外，三項資產對沖組合情形下基于協方差調整的久期—凸度免疫策略與基于協方差調整的久期免疫策略的相對標準誤差（%SEI）非常接近，說明這兩種策略的免疫能力幾乎完全一樣。這個結果告訴我們，三項資產對沖組合情形下，在基于協方差調整的久期度免疫策略上增加凸度并沒有明顯地改善組合的免疫效果。

最后，我們考察了多項資產情形下久期免疫策略的免疫效果。對五種不同期限（包括2年、5年、7年、10年和15年），對沖組合中包含所有其它期限的資產，因此構建了5個組合。考慮到增加凸度不能明顯地改善組合的免疫效果，這里我們只計算了兩種投資策略（簡單久期免疫策略和基于協方差調整的久期免疫策略）下每個組合的未預期收益率的標準誤差或相對標準誤差，結果列于表4。

表4多項資產情形下久期免疫策略的免疫性分析結果

注： ①組合P由資產A和對沖組合（包括資產1、2、3、4、5和6）構成。

②組合P的持有期為1個月。

表4的結果顯示，所有免疫組合的相對標準誤差（%SEI）均為負，這表明多項資產情形下基于協方差調整的久期—凸度免疫策略的免疫能力得以發揮。值得注意的是，免疫組合2、免疫組合3和免疫組合4的改善效果非常明顯，而免疫組合1和免疫組合5的改善效果相對差一些。這一結果與表2和表3中的結果類似，表現出“中間”效果好、“兩頭”效果差的特征。

總之，盡管出現“中間”效果好、“兩頭”效果差的現象，但是，總的來說，與簡單久期—凸度免疫策略相比，基于協方差調整的久期—凸度免疫策略具有明顯的免疫效果改善能力。

五、結論與啟示

考慮到不同期限的收益率變化的波動率存在差異以及它們之間具有不完全正相關性，本文借鑒Carcano和Foresi（1997）的思想，建立了一個基于協方差調整的一般久期—凸度免疫模型，并討論了兩資產對沖組合和三資產對沖組合情形下基于協方差調整的久期—凸度免疫策略和基于波動率調整的久期—凸度免疫策略。在此基礎上，我們采用上海證券交易所上市的國債交易數據估計出的即期利率，通過考察用即期利率構建的免疫組合的未預期收益率的標準誤差，對改進模型的免疫性進行檢驗。經驗結果顯示，基于協方差調整的久期—凸度免疫策略具有相對較好的免疫性，是一個相對更為有效的免疫策略。

對于基于協方差調整的久期—凸度免疫策略出現“中間”效果好、“兩頭”效果差的現象，究其原因，我們認為主要是由于中國國債市場不完善造成的。主要表現在：第一，國債期限結構不合理、集中于中期債券。截至到2004年底，在上海證券交易所上市的29只國債中，到期期限小于1年的國債只有一只，到期期限大于10年的國債只有3只，其余25只國債中到期期限在1—3年的有7只，到期期限在4—7年的有14只。^[17]第二，利率期限結構嚴重扭曲、容易引起較大的價格波動。很多機構投資者利率風險管理水平低，對短期和長期國債有過度需求，而市場中較短期和較長期國債少，致使價格往往脫離其基本面，從而引起短期和長期國債的收益率結構扭曲、波動率異常。

有鑒于此，對于監管層而言，當前急需盡快完善國債市場，目標是適當的規模和合理的結構兩個方面；對于投資者而言，采用基于協方差調整的久期—凸度免疫策略時，要注意對于包括不同期限資產結構的免疫組合其免疫效果是不同的。相對于短期和長期來講，中期的免疫組合具有較好的免疫效果。另外，在市場操作方面還需要注意：第一，對沖組合的賣空問題。盡管在我國銀行間國債市場已經引進買斷式回購交易，但是它的流動性和交易成本都是構建對沖組合要考慮的重要內容。第二，免疫策略的時效性問題。本文的經驗結果建立在所用樣本數據的基礎之上，其中的波動率和相關系數都是基于1996年至2005年間的交易數據得出的。隨著時間的發展和市場的規范，也許估計出的波動率和相關系數會有很大的不同，它將會嚴重影響免疫組合的組成，從而決定其免疫效果。

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Analysis of Covariance-Adjusted Duration-Convexity Immunization Strategy

\\=

WANG Zhi-qiang，XU Hao，LIU Lu

(Research Center of Applied Finance，Dongbei University of Financial Economics，Liaoning Dalian 116025，China)

Abstract:It is well known that there are two hypotheses in the simple immunization strategies based on duration and convexity: flat yield curve and paralleled shift．Aiming at the question that the hypotheses are inconsistent with the actual situation in practice，this paper provides a general model of covariance-adjusted duration-convexity immunization by using the idea from Carcano and Foresi (1997) for reference，and analyses the model in the case of hedging portfolios of two assets and three assets．Furthermore，we have tested for the immunity of the general model by employing market data of treasury bonds listed on Shanghai Stock Exchange．The empirical evidences show that the covariance-adjusted duration-convexity immunization approaches outperform the simple duration-convexity techniques．

Key words:Duration-Convexity immunization；term structure；volatility

(責任編輯：楊全山)

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”