數學符號的教學策略

摘要：從數學的特征、中專學校數學教學的特點等角度論述了數學符號教學的必要性，闡述了理解數學符號含義的重要性，提出了數學符號教學的策略——使用通俗性語言，建立具體模型，提倡動手實踐，運用科學思維方法等。

關鍵詞：數學符號；抽象性；含義

數學的符號化特征及數學符號教學的重要性

數學是一種通用語言，是一種優于任何普通語言的最完善和最科學的語言。現代數學教育理論認為，數學教育的根本目的在于培養學生用數學的思想、方法來思考和解決生活實踐中的問題，并用數學語言加以表達、描述。數學教育的主要任務之一就是培養學生的數學語言能力。

數學語言可分為符號語言、圖形語言、文字語言。數學符號化是數學的一個重要特征。數學符號經過人類幾千年漫長的努力演變而成，所有的數學思想內涵均可由一整套完美的符號語言精確表述。

符號化是數學的一個重要特征。現代數學理論認為數學應該是形式化的，可以被標志為一個徹底的符號系統。另外，由于我們按照事先給定的法則對無意義的符號或符號序列進行組合和變形，所以，從這個意義上講，數學語言也是徹底的符號系統。正是由于數學的高度符號化，才使數學展現出獨特的魅力，為我們提供了充分的想象空間。雖然其他學科語言中也有符號化現象，如化學符號和化學方程式，但與數學符號相比，其符號化程度明顯低得多。符號化是目前數學建模教學活動的基本要求。建模活動抽象地將一些實際問題轉化為數學問題，這一轉化過程便是符號化過程。

初中階段的數學教學是帶有經驗的、文字描述的數學教學，中等專業學校的數學教學則是以理論為主的具有抽象邏輯思維特征的教學。概念多、公式多、符號多是中等專業學校數學區別于初中數學的特點。中等專業學校的數學教學是以集合為標志的符號語言教學。這種從現實生活中剝離出來的數學符號，使數學具有較高的抽象性。中等數學所涉及的數學符號大多是在逐次抽象中產生的，這就要求學習者具有較強的抽象思維能力和概括能力。然而，思維發展心理學表明，中等專業學校的學生正處于由以經驗為主的抽象思維向以理論為主的抽象邏輯思維轉變階段，很難接受抽象程度較高的數學內容。很多學生認為數學符號不好學。對學生的問卷調查也表明，數學符號是學生感到學習困難的主要內容之一。因此，在教學中，應明確數學符號語言具有高度抽象性的特點，清楚數學符號語言的形成過程，認真對待數學符號教學。

數學符號的精確性及數學符號教學的策略

（一）數學符號教學的重點是準確理解數學符號的含義

精確性是數學符號的主要特性之一。數學拒絕歧義。例如用“是”字表達的數學語言：（1）0是自然數；（2）長方形是平行四邊形；（3）x>1是不等式x²>1的正數解，用符號語言表示為：（1）0∈N；（2）｛長方形｝ ｛平行四邊形｝；（3）｛x|x>1｝=｛x|x²>1且x>0｝。“∈、 、=”具有不同的含義，能夠彼此區別開來，避免了“是”這一概念的模糊性。

符號語言的精確性要求學生必須準確理解數學符號的含義。然而，學生對數學符號的認識普遍存在模糊性。例如學生對符號y=ax與y=xa的理解經常模糊不清，原因在于對符號的含義理解不清。這種模糊性產生的根本原因是學生對數學概念、性質、定理把握不準。

由于數學符號具有高度的集約性、抽象性、豐富性、精確性，學生難以真正理解其含義。因此，如何幫助學生準確理解數學符號的含義便成為數學符號教學的重點和難點。數學符號教學容易停留在機械學習的層面，即學生在沒有充分理解數學符號的情況下，死記硬背數學公式或表達式，使得對數學符號語言的認識停留在表面上。任何一個符號表達式都包括兩方面內容：語義內容與語法內容。語義內容指符號表達式所表達的內在數學含義，例如“a+b=b+a”這一表達式的語義內容是：在“+”這種運算中，元素的次序不同并不影響運算的結果。語法內容指符號表達式的形式結構。與機械學習相對的是奧蘇爾貝（D.P.Ausubel）的有意義的學習理論。數學有意義的學習是在思考、理解符號所表示的知識后，將其融會貫通的學習形式。有意義的學習過程就是在原有認知結構的基礎上形成新的認知結構的過程，原有認知結構是新的學習的最關鍵因素，一切新的學習都是在過去學習的基礎上產生的，通過與學生原來的有關知識相互聯系、相互作用后轉化為主體的知識結構。比如，如果學生僅從形式上記住函數y=f（x），那么，在遇到u=f（x）、s=f（t）時，就會認為是兩個不同函數。如果在理解函數y=f（x）的文字意義與符號意義的同時，還能將其與映射概念以及基本初等函數融會貫通，就能理解y=f（x）的真正含義。

（二）數學符號教學的策略

使用通俗性語言數學符號的抽象性使學生普遍感到難以理解，因而成為教學的難點。中等數學涉及的符號大多是在逐次抽象中產生的，是對已經符號化的問題進一步抽象化處理后的再數學化，是數學的內部活動，具有更高的抽象性。這種不斷上升的、新的、更高級別的抽象程度是數學發展的一個重要特征。要使學生能夠接受并理解這種更高級別的抽象性，教學時就必須采用生動有趣、通俗易懂的語言，從具體的描述性語言開始，逐步抽象成比較簡約的語言。

遵循直觀性原則，建立具體模型人們總是希望借助直觀、具體的事物理解抽象的事物。針對中專學生形象思維能力較好、抽象思維能力較差的特點，筆者認為進行數學符號教學時，應遵循直觀性原則。直觀性原則指在教學中讓學生觀察所學事物或教師的形象描述，引導學生形成對所學事物的清晰表象，豐富他們的感性知識，使他們正確理解書本知識，發展其認識能力。直觀性原則反映了人類認識的基本規律。在引入一個新的數學符號時，首先要向學生介紹各種有代表性的實體模型，使同一知識對象可以通過多樣化的載體呈現出來，形成一定的感性認識。如在講授組合公式C_n^m時，可以借助“從四名學生中任選兩人值日，有多少種分法？”“上、下午各一人值日有多少種分法？”等經常發生在學生身邊的事例幫助學生理解該公式。

提倡動手實踐，獲得感性認識不少學生都存在對數學符號記不住、分不清的問題。他們認為數學就是枯燥的符號加概念、是數字游戲，沒有實際意義，習慣于教師講、學生聽的授課模式，很少主動探討問題。教育心理學研究表明，如果學生只聽講，不讀書，只能記住所學內容的15%；如果只看書不聽講，只能記住所學內容的25%；如果既讀書又聽講，則可記住所學內容的65%；如果在聽講、讀書的同時動手實踐，讓耳、眼、口、手、腦等多種感官同時積極參與活動，相互影響、相互促進，則能獲得更好的學習效果。如講授組合公式時，可以讓學生自己動手“分一分”，歸納有多少種分法，“數一數”排列、組合的數值。學生在這些實物、模型、問題等元素的作用下，通過各種感官及大腦的復雜反應活動，建立起關于事物的特征與聯系的感覺、知覺、表象或觀念，從而獲得了對事物的感性認識。

運用科學思維方法，理解數學符號學生在獲得感性認知的基礎上，能否理解所學知識，與學生是否掌握科學的思維方法有關。思維方法是思維的鑰匙，掌握了科學的思維方法，才能對已獲得的感性材料進行合理加工、處理，把握事物的本質特性和內在聯系，獲得簡潔的概括性認識。科學的思維方法和數學緊密聯系，體現在教學活動之中，并且在教學活動中得到培養和發展。在整個教學活動中，教師起到引導、點撥作用。以組合公式為例，教師引導學生采用猜想、檢驗、歸納等方法，根據定義脫離具體模型對符號的實質進行分析，讓學生掌握符號的抽象含義。這一過程超越了具體問題的情景，深刻揭示了不同問題的共同性、普遍性，提升了學生的認識、思考水平，使學生不但獲得了科學的思維方法，也了解了符號的特性，理解了符號的本質含義。

重視對比、辨析，認識符號本質要引導學生將新的數學符號與相關的舊知識進行對比，分析它們的區別與聯系，幫助學生理解不同符號的內在邏輯聯系和符號自身的含義。如將新符號y=ax與舊知識y=xa進行對比時，有的學生則因為概念不清，沒有理解符號的本質含義，將這兩個符號混淆在一起，教師在教學中應分析它們的區別與聯系，幫助學生深入理解這兩組數學符號。

重視口頭語言與符號語言的轉化訓練數學語言要求極其精煉、準確、富有嚴密的邏輯性，對概念、定理的敘述必須嚴密完整、準確無誤，不可隨意編造、簡化，例如sin2α應讀成sinα（稍停）的平方，不可讀成sin平方α。口頭語言是通過自己的敘述，重新對數學符號賦予意義。學生首先將符號語言內化，然后將其轉化為口頭語言，也就是說，口頭語言能夠促進學生對符號語言的理解。在將符號語言轉化成口頭語言時，學生經常感到“只能意會，無法言傳”，存在較大困難。另外，數學教育的根本目的在于幫助學生用數學的思維方法解決生活中的問題，準確地將文字語言轉化為符號語言是實現這一目標的基本要求。然而，學生對這兩種語言進行相互轉化的能力普遍較差，這種現象在立體幾何的學習中表現得尤為突出，學生常常對用符號語言表述證明過程感到困難。可見，培養學生對兩種語言相互轉化的能力不容忽視。

總之，數學符號語言教學具有長期性的特點，不可急于求成。

參考文獻：

[1]鄭毓信.數學教育哲學[M].成都：四川教育出版社，2001.

[2]傅海倫.數學教育發展概論[M].北京：科學出版社，2001.

[3]葉立軍，方駿斌等.現代數學教學論[M].杭州：浙江大學出版社，2006.

作者簡介：

馬海琳（1964—），女，天津市人，天津市第二商業學校講師，主要從事數學教學，研究方向為教育教學理論。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”