算法思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

算法思想是現(xiàn)代人所應(yīng)該具備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)，高中教師應(yīng)把握讓中學(xué)生理解算法思想這一本質(zhì)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透算法思想，讓學(xué)生體會算法思想，并將算法思想融入到自己的生活中．

算法作為一個全新的課題，已經(jīng)成為計算科學(xué)的重要基礎(chǔ)，它在科學(xué)技術(shù)和社會發(fā)展中起著越來越重要的作用，算法的思想已經(jīng)成為現(xiàn)代人所具備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)，每一個高中學(xué)生，都應(yīng)該在九年義務(wù)教育的基礎(chǔ)上，為適應(yīng)時代發(fā)展的需要，進一步提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．本次高中數(shù)學(xué)課程改革將“算法初步”列為高中必修課程內(nèi)容的一部分，既體現(xiàn)了現(xiàn)代社會使公民具有較高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求，也是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育改革面向世界、面向未來、面向現(xiàn)代化的體現(xiàn)，是歷史的必然．

1算法概念及算法基本思想的理解

算法：（algorithm）一詞出現(xiàn)于12世紀，指的是用阿拉伯?dāng)?shù)字進行算術(shù)運算的過程．在數(shù)學(xué)中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟．現(xiàn)在，算法通常可以編成計算機程序，讓計算機執(zhí)行并解決問題．

算法的基本思想是程序化思想．要理解算法的基本思想，一定要把握算法的主要特征：

（1）有窮性：一個算法的步驟序列是有限的，它應(yīng)在有限步操作之后停止，而不能是無限的．

（2）確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果．

（3）順序性和正確性：算法從初始步驟開始分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無誤，才能完成問題．

（4）不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法．

（5）普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限的、事先設(shè)計好的步驟加以解決．

2算法思想在教學(xué)中的滲透

2．1算法思想在算法概念教學(xué)前的滲透

首都師范大學(xué)王尚志教授在新教材課程培訓(xùn)中說：“我們有一個更重要的想法，就是把算法的思想貫穿于教材的自始至終，凡是能夠用算法表示出來的東西，我們盡量用算法表示出來，之所以強調(diào)這些，與我們中國的數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)是一脈相承的．”《算法初步》內(nèi)容安排在高中數(shù)學(xué)必修3中進行教學(xué)，在進行必修1、必修2的教學(xué)時，可以提前介入算法的思想，把解決問題的步驟算法化，既有利于后續(xù)學(xué)習(xí)，也有利于學(xué)生理清解決問題的思路和規(guī)范解決問題．中學(xué)數(shù)學(xué)中有很多內(nèi)容是和算法內(nèi)容密切聯(lián)系在一起的．一般情況下，能夠利用概念、公式或者定理、法則來解題的過程都可以看成算法的過程，都可以用程序框圖或程序語言來描述，比如線性方程組的解法，求一元二次方程的根，還有函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判定，數(shù)列求和，等等．

例1用算法框圖描述判斷一個函數(shù)奇偶性的步驟．

算法分析:

第一步:判斷f(x)定義域是否對稱，若否，則f(x)非奇非偶，若是，則執(zhí)行第二步;

第二步:計算f(-x)，判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系，若f(-x)=f（x）①，則f(x)是偶函數(shù);若f(-x)=-f(x)②則f(x)是奇函數(shù);若①②都成立，則f(x)是既奇又偶函數(shù):若①②都不成立，則f(x)是非奇非偶函數(shù)，如圖1.

《標(biāo)準(zhǔn)》要求在教學(xué)中應(yīng)注意挖掘教材，合理選擇相關(guān)內(nèi)容滲透算法．在其他內(nèi)容中滲透算法的目的有兩個:一方面借助直觀的算法表示(比如程序框圖)，有利于學(xué)生更好地理解該內(nèi)容;另一方面也有利于學(xué)生進一步學(xué)習(xí)算法，體會算法思想．

2．2在算法教學(xué)中，加強算法思想學(xué)習(xí)

2．2．1選取教學(xué)例子時要合理定位

【1】選取的例子來自學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，要貼近學(xué)生學(xué)習(xí)“最近發(fā)展區(qū)”．選擇這樣的問題，一方面是期望打破學(xué)生對算法的陌生感，另一方面也是希望將重點放在算法的理解上，而不是算法所涉及的問題本身，這樣，學(xué)生就易于理解算法的程序化思想．

如例2有一函數(shù)y=－1(x＜0)0(x=0)1(x＞0)畫出流程圖，輸入一個x值，一個y值.

解答用變量x、y分別表示自變量和函數(shù)值，算法步驟如下：

【2】選取的例子要有一定的基礎(chǔ)，不要偏難偏怪，但要蘊涵豐富的算法思想，能夠讓學(xué)生從中學(xué)習(xí)算法的“三基”—基本思想、基本結(jié)構(gòu)、以及基本語句．

例3給出1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的算法，并畫出流程圖

算法分析

第一步：取n=10.

第二步：計算n(n+1)2.

第三步：輸出運算結(jié)果.（如圖3）

【3】選取的例子要蘊涵中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想，貼近學(xué)生的生活，并且要有一定的趣味性，能增強學(xué)生學(xué)習(xí)算法的積極性，激發(fā)探究算法知識的興趣，利于學(xué)生對算法思想的理解．

例4意大利數(shù)學(xué)家裴波那契，在1202年出版的一書里提出了這樣的一個問題：一對兔子飼養(yǎng)到第二個月進入成年，第三個月生一對小兔，以后每個月生一對小兔，所生小兔能全部存活并且也是第二個月成年，第三個月生一對小兔，以后每月生一對小兔，問這樣下去到年底應(yīng)有多少對兔子？試寫出解決此問題的算法及相應(yīng)的流程圖．

分析：根據(jù)題意可知，第一個月有1對小兔，第二個月有1對成年兔子，第三個月有兩對兔子，從第三個月開始，每個月的兔子對數(shù)是前面兩個月兔子對數(shù)之和，設(shè)第n個月有s對兔子，第n-1個月有i對兔子，第n-2個月有j對兔子，則有s=i+j，一個月后，即第n-1個月時，式中變量i的新值應(yīng)為第n個月兔子對數(shù)（s的舊值），變量j的新值應(yīng)變?yōu)榈趎-1個月兔子的對數(shù)（i的舊值），這樣，用i+j求出變量s的新值就是n+1個月兔子的對數(shù)，以此類推，可以得到一個數(shù)序列，數(shù)序列的第12項就是年底應(yīng)有兔子對數(shù)，我們可以先確定前兩個月的兔子對數(shù)均為1，以此為基準(zhǔn)，構(gòu)造一個循環(huán)結(jié)構(gòu)，讓表示“第x個月的k從3逐次增加1，一直變化到12，最后一次循環(huán)得到的s”，就是所求結(jié)果．

算法步驟如下：

第一步：輸入i，j，k.

第二步：i=1，j=1，k=3.

第三步：判斷k≤12是否成立，

若k≤12不成立，則輸出s.

第四步：若k≤12成立，則s=i+j.

第五步：i=s，j=i.

第六步：k=k+1

第七步：回到第三步，重新執(zhí)行第三步、

第四步、第五步、第六步.（如圖4）

2．2．2結(jié)合數(shù)學(xué)史內(nèi)容，加深算法思想的學(xué)習(xí)和理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)精神

算法是中國古代數(shù)學(xué)的精髓，很多數(shù)學(xué)典籍中都包含一些經(jīng)典的實例及其算法．如《九章算術(shù)》及其劉徽注等中的算法思想，以及“賈憲三角”(二項式定理系數(shù)表)與“增乘開方法”(即其后歐洲所講的“霍納法”)，“秦九韶程序”(高次方程數(shù)值解法)，“垛積術(shù)”(高階等差級數(shù)求和)與“招差術(shù)”(高次內(nèi)插法)，“大衍求一術(shù)”和“大衍總數(shù)術(shù)”(一次同余組解法)，“天元術(shù)”(數(shù)字高次方程組的立法)和“四元術(shù)”(高次方程組的解法)等算法，這些古代數(shù)學(xué)中的算法，其算法思想對我們今天數(shù)學(xué)問題的解決有極大的啟發(fā)作用．要重視介紹計算機算法對現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究和發(fā)展的作用．如吳文俊先生怎樣從中國古代數(shù)學(xué)的算法思想中汲取營養(yǎng)，推陳出新，首先用計算機算法實現(xiàn)了幾何定理的機器證明，以及用吳氏機械算法對數(shù)學(xué)的貢獻和進展

2．2．3算法思想的學(xué)習(xí)和理解過程中學(xué)生學(xué)習(xí)誤區(qū)

①學(xué)生在寫“判斷53，1997是否為質(zhì)數(shù)”的算法步驟，如：

第1步，2不能整除53，所以進行下一步；

第2步，3不能整除53，所以進行下一步；

第3步，4不能整除53，所以進行下一步；

……

第52步，5不能整除53，所以進行下一步；

學(xué)生在寫該步驟時，由于該算法步驟冗長，所以會采用“……”，由于（……）的不確定性，與算法所要求的“明確性”相悖，因而不能表示一個算法．

②對于類似x=x+1的賦值語句，學(xué)生受思維定勢的影響，往往將這個式子看成代數(shù)式，顯然這是不成立的，所以，要讓學(xué)生真正理解賦值的含義就需要理解變量的含義，這里的x僅僅是表示一個數(shù)值的存儲位置，x=x+1使得這個存儲位置上的值增加了1．

教學(xué)時可以用下列的比喻幫助學(xué)生理解賦值語句x=x+1，如果用x表示一個房子中的人數(shù)，當(dāng)房子中的人數(shù)有10人時，若再走進1人，房子中的人數(shù)就變?yōu)?1，這時x=10+1．如果個房子中走進1人前與1人后的人數(shù)都用x表示，就得到x=x+1．因此，在賦值語句x=x+1中，“=”兩邊的x所表示的值是不同的．

2．3在后續(xù)學(xué)習(xí)中，仍加強算法思想滲透

算法的知識及思想是學(xué)生的終身發(fā)展所必需的，但是要求高中學(xué)生通過12課時就能系統(tǒng)地掌握算法的所有知識，形成非常成熟的算法思想，顯然是不現(xiàn)實的，因此學(xué)習(xí)算法內(nèi)容后，在后續(xù)學(xué)習(xí)中我們要多層次、多方位地將算法思想融入到課堂教學(xué)中，并鼓勵學(xué)生盡可能地運用算法解決相關(guān)問題．如我們在學(xué)習(xí)統(tǒng)計概率知識時仍然引導(dǎo)學(xué)生將問題算法化.

一枚硬幣有正反兩個面，擲硬幣時每面朝上的機會均等，但在硬幣落地之前，我們不能預(yù)知哪面朝上，這時我們說哪一面朝上是隨機的．

由函數(shù)rnd產(chǎn)生的隨機數(shù)序列中，隨機數(shù)值基本上是均勻分布的，也就是說，幾乎有一半的數(shù)分布在0到0.5之間，其他一半數(shù)分布在0.5(包括0.5)到1之間，與此相仿，在擲硬幣時，正面向上或反面向上的概率各占50%，所以我們可以用隨機數(shù)模擬硬幣的正反面，用rnd產(chǎn)生隨機數(shù)（相當(dāng)于擲硬幣），如果隨機數(shù)大于0.5（相當(dāng)于正面朝上），輸出“front”，如果隨機數(shù)小于或等于0.5（相當(dāng)于反面朝上），輸出“back”，如果擲10次硬幣，則產(chǎn)生10個隨機數(shù)，這就是用隨機函數(shù)來模擬擲硬幣這一隨機事件的算法．(如圖5)

3結(jié)束語

高中教學(xué)應(yīng)側(cè)重于思想和方法的滲透，教學(xué)過程中要始終把握算法思想這一靈魂，其余內(nèi)容均由此展開．通過學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生在自己的頭腦里建構(gòu)起“算法思想”，在自己的學(xué)習(xí)和生活中用來指導(dǎo)自己的行為．并以算法為線索經(jīng)常反思所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識或者其他學(xué)科的知識，即將算法思想融入自己的生活．

參考文獻

1劉紹學(xué)．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書#8226;數(shù)學(xué)3（A版）［M］．北京：人民教育出版社，2004

2史炳星，王桂霞．算法初步［M］．北京：高等教育出版社，2005

3李建華．算法及其教育價值［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2004（8）

4李亞嶺．算法及其學(xué)習(xí)的意義［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報，2004（2）

5許夢日．高中數(shù)學(xué)“算法初步”部分與高校教學(xué)銜接問題的探究．阜陽師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2007（3）

本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文