橢圓焦點弦四邊形面積的最值
2008-01-01 00:00:00吳濤蘇進文
數學教學通訊·高中版 2008年5期
定義：以橢圓的兩條焦點弦為對角線的四邊形稱之為橢圓焦點弦四邊形．
問題1：（2005年高考全國卷Ⅱ理21）P、Q、M、N四點都在橢圓x2+y22=1上，F為橢圓在y軸正半軸上的焦點，已知PF與FQ，MF與FN共線，且PF#8226;MF=0，求四邊形PMQN的面積的最大值和最小值．
問題2：（2007年高考全國卷Ⅰ理21）已知橢圓x23+y22=1的左、右焦點分別為F1、F2，過F1的直線交橢圓于B、D兩點，過F2的直線交橢圓于A、C兩點，且AC⊥BD，垂足為P．
（1） 略；
（2） 求四邊形ABCD的面積的最小值．
由于問題1中的條件PF與FQ，MF與FN共線，且PF#8226;MF=0，F為焦點，所以PQ與MN是兩條互相垂直的焦點弦．問題2中的AC與BD也是兩條互相垂直的焦點弦．通過比較，它們的題設背景相同，探求目標一致，因此，兩道考題的結論實際上是求兩條互相垂直的焦點弦為對角線的四邊形的面積的最值問題．筆者經過深入研究，對上述兩道考題統一推廣為如下一般結論：
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