數學課堂認知偏差處理的兩個片段與反思

一、現象：教學設計先行下的數學認知偏差處理

任何認知活動都可能產生認知偏差。就數學課堂這個特定環境而言，在師生對話中產生的認知偏差主要有兩種：一是學生在學習中錯誤地理解了定義、概念、定理等，從而與正確的認識產生了偏差；另一種是學生在學習中自發形成了一種對概念或定理的正確認知，認知本身沒有科學性錯誤，但這種認知所涉及的基本知識和方法等偏離了這節課正在進行的教學的主題，嚴格地說，這種認知偏差實際上只是認知偏離。

下面舉一些真實教學片段加以說明。

片段1：在利用一次函數圖象解決問題這一節課中，教師打出這樣一道題目：郵局規定平信重量不能超過20克，如果重量超出20克需要額外收取費用，所收的郵資與信件重量關系如圖所示。如果有人需要郵寄35克的信件，他要付多少錢的郵資?有學生這樣回答：“我覺得從20克到50克增加30克，而費用增加0.9元，那么每增加一克就要多付0.03元，所以35克的信件總共付0.8+0.03×(35—20)=1.25元。”教師聽完以后未加評論就請他坐下，接著問有沒有其他方法(注：本節課教師擬定的教學主題是先列方程組求出一次函數解析式后再代值計算)，有學生回答說先設函數解析式為y=kx+b，由圖象得方程組再解出k和b即可。教師對此大加贊許并展示事先編輯好的具體書寫過程作示范。

片段2：在北師大版教材《我變胖了》一節的課堂教學中，學完圓柱體的鍛壓后，教師給出這樣一題：將底面直徑為6、高為13的圓柱形杯A中的水倒入另一底面直徑為5、高為18的圓柱形杯B中，問：若杯B能裝下，此時水面離杯口有多少距離?若裝不下，當杯B裝滿水時，杯A中水面高度比原先下降了多少?有一個學生可能從兩圓柱的高度差憑直覺判斷能裝得下，也可能是忘記判斷了，他直接設水面離杯口距離是x，由題意列出方程π(3)²×13=π(2.5)²×(18-x)，但在老師巡視時他還沒來得及解就被教師看見了，教師立即友善地提醒他這樣做是錯的。

二、分析：教師所持有的教學觀

看完這兩個教學片段，相信不少教師都會感慨自己也曾經有過類似的經歷。片段中教師的教學行為，反映出他們對教學設計與師生對話中認知偏差的處理有這樣的理解：(1)客觀上，教學設計先于課堂教學。這在一定程度上影響著教師形成這樣的教學觀：教學過程是教師幫助學生按照教學設計所預期的方向發展的過程，教師的幫助體現在盡可能高效率地促成這種發展。(2)如果教師能把事先準備好的想法(尤其是問題的解法)全部在課堂上得到貫徹，則可以認為教學過程是完整圓滿的。(3)教案是課堂教學圍繞的中心，具有不可更改性(除了因時間原因而進行縮減調整)。(4)教材和教師用書具有絕對的權威性：教材規定了教學設計的內容，而教師用書基本規定了教學設計的方法與模式。教學設計應較好地體現教材中的所有內容。(5)按部就班的教學設計及其實施為教師帶來了便利，在一定程度上節約了教學時間，提高了教學效率。

三、反思：有沒有更好的處理方式?

在這兩個片段中我們可以看出，教師只關注了與自己的觀點一致的學生，而忽視抱有其他不同想法的學生，這顯然挫傷了這部分學生學習的主動性。只有合乎“規范”的解法才能得到老師肯定，沒有十成把握就不要舉手發言以免耽誤老師的時間而受責怪。

1．以“誰”為中心——教案還是學生?

教案顯然是實施教學時必不可少的重要組成部分。我們也應該認識到，無論教師課前多么充分地準備，都無法羅列所有學生可能有的想法。課堂上的師生對話，應從學生的口中說出答案而不是由教師來講，這既能讓教師了解學生頭腦內部的反應，又促進了師生間的互動。因此，教師應該不斷地作出有意識的努力，按學生自己的觀點去觀察他們的行為。比如在片段1中，當學生還沒有學過解二元一次方程組時，有的學生想要以自己對一次函數的理解(成比例地增加或減少)來解決問題，這是合理的學習需要，即使出乎教師的意料，或者不合乎簡潔的形式化標準。也應受到教師重視，而不是不假思索就置之不理。如果教師發現學生的解法比自己備課紙上的解法更好(比如使用了更少的數學知識與技巧解決問題，或者解法新穎有獨創性)，那么作為理性的教師應該適時調整甚至放棄原先的計劃，而不是硬要把學生不感興趣、不關心的想法灌輸下去，以為這樣的教學才圓滿——實際上這可能是在浪費時間。總之，教師在課堂教學中過分依賴教案及事先擬定的教學程序的教學行為實質上是以教案為主體、以知識灌輸為主導，很難形成師生雙向互動。

2．如何找出口?——否定錯誤。還是把錯誤引入更深的思考?

如果學生給出的回答不完全正確甚至是錯誤的，那么教師又應如何處理呢?在片段2中，教師通常會以間接提示或更直接的方式根據已有的答案糾正學生存在的錯誤。可是，這樣做是否對學生的幫助最大?有沒有其他更好的方式?

可以肯定，即使學生回答錯誤，也至少表明他的思維在活動。客觀地反映了學生目前的認知狀況。應當承認，任何人認識新事物總是漸進的，從非本質的表象逐步深入到本質的核心，而在這個過程中難免犯錯。教師在處理學生的錯誤時，通常會站在正確答案這一邊來糾正錯誤，而很少會站在犯了錯的學生這一邊來糾正錯誤。在片段2中，如果教師把自己置于學生的處境中，他可能會有新發現：π(3)²×13=π(2.5)²×(18-x)的解是-0.72。這時可以引導學生進行更深層次的思考：這個解怎么會出現的?合理嗎?有意義嗎?你能解釋它的現實意義嗎?事實上，某個問題的錯誤答案很可能預示著另一個問題的正確答案。這個看似不正確的方程很巧妙地解決了“能否裝下”的問題，只是學生尚不能認識到其中的“出口”，需要教師引導和幫助。

之所以強調對看似錯誤的回答進行挖掘，是基于下面的考慮：(1)保護信心與興趣。教師對學生的評價直接影響學生學習的情緒和狀態，因此有必要充分琢磨學生的回答，挖掘其中合理的部分，提出改進的建議，不輕易否定學生的想法，促進他們的深層次思考。(2)培養反思意識：在片段2中，如果教師先不動聲色地讓學生去解那個方程，那么學生在求得負數解后顯然不得不思考這些問題：怎么會是個負數?哪里出了問題?是不是計算有誤?列式不對嗎?這時，教師再適時介入提供一些幫助，讓全班學生參與問題討論。這樣做既讓這位學生感覺到自己與教師形成雙邊互動，又促進他對自己解答過程的反思與監控，同時還聯系了剛學過的負數，深化對負數意義的理解。