“等可能性”知識(shí)不宜在小學(xué)里教學(xué)的幾點(diǎn)理由

筆者聽過一節(jié)三年級(jí)的數(shù)學(xué)課，內(nèi)容是《統(tǒng)計(jì)與可能性》的第一課時(shí)。該內(nèi)容教材是這樣安排的：讓學(xué)生按小組從裝有三個(gè)紅球，三個(gè)白球的口袋中任意摸一個(gè)球，一共摸40次，將結(jié)果記錄下來，再觀察數(shù)據(jù)后回答你發(fā)現(xiàn)了什么?教學(xué)要求為通過摸球的實(shí)驗(yàn)，體驗(yàn)和認(rèn)識(shí)一些事件發(fā)生的可能性是相等的。

教學(xué)活動(dòng)開始．教師就按教材的要求組織摸球活動(dòng)，學(xué)生摸球后將結(jié)果分別記錄下來，然后全班交流摸球結(jié)果并填寫統(tǒng)計(jì)表。

學(xué)生摸球的結(jié)果是：五個(gè)組里有四個(gè)組摸到紅球和黃球的次數(shù)不相等，只有一個(gè)組摸到紅球和黃球的次數(shù)相等。教師為了讓學(xué)生得到摸到紅球、黃球的可能性相等的結(jié)論，就將各組的摸球數(shù)進(jìn)行合計(jì)。其結(jié)果是不管從小組里得到的數(shù)據(jù)，還是全班匯總得到的數(shù)據(jù)都清楚地表明：在絕大多數(shù)情況下摸到紅球和黃球的個(gè)數(shù)是不相等的，于是學(xué)生發(fā)現(xiàn)的只能是摸到紅球和黃球的次數(shù)不大可能相等。于是，教師只好說：“數(shù)學(xué)家也進(jìn)行了摸球游戲，這是數(shù)學(xué)家摸球后得到的數(shù)據(jù)。”(出示數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)見表二)下面是師生的對(duì)話。師：請(qǐng)同學(xué)們觀察這些數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)?生：摸的次數(shù)越多，摸到紅球和黃球的次數(shù)就越來越接近。師：想象一下。再實(shí)驗(yàn)下去會(huì)怎樣呢?生：摸到紅球和黃球的個(gè)數(shù)就會(huì)越來越接近，最后可能會(huì)相等。師：如果摸的次數(shù)越多，摸到紅球和黃球的次數(shù)就越接近，也就是摸到紅球和黃球的可能性相等。板書結(jié)論：摸的次數(shù)越多，摸到紅球和黃球的次數(shù)就越接近，也就是摸到紅球和黃球的可能性相等。在課后的交流中了解到該教師是按教參的要求并參照雜志上登載的教案來組織教學(xué)的，(經(jīng)查找，在某版本的教參和多種雜志的教案中都有這樣的結(jié)論——筆者注)該教師在試教中發(fā)現(xiàn)如果教師不加引導(dǎo)，學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)“摸的次數(shù)越多，摸到紅球和黃球的次數(shù)越來越接近”這樣的現(xiàn)象，很難得出“摸到紅球和黃球的可能性相等”的結(jié)論。于是教師就在正式上課時(shí)添加了自己編造的數(shù)學(xué)家摸球后得到的數(shù)據(jù)，以利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論。那么這樣做對(duì)嗎?怎樣才能得到“摸到紅球和黃球的可能性相等”的結(jié)論呢?我們不妨再來回顧一下概率的有關(guān)知識(shí)。

按照概率理論，設(shè)隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了n_A次，則稱n_A是A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻數(shù)，稱比值n_A／A為在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記作f_(A)=n_A／n。下面我們借助“拋硬幣”實(shí)驗(yàn)所采集的數(shù)據(jù)來說明一些問題。

從表中數(shù)據(jù)可以看出：(1)對(duì)于事件A，即使試驗(yàn)次數(shù)n相同，事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率也會(huì)波動(dòng)。(案例中學(xué)生摸球活動(dòng)的結(jié)果與此結(jié)論相同。)(2)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n較小時(shí)，(例如20次)對(duì)于不同的試驗(yàn)輪次，頻率波動(dòng)的幅度往往較大，而隨著n的增加。對(duì)不同的試驗(yàn)輪次，A發(fā)生的頻率的隨機(jī)波動(dòng)性有逐漸減少的趨勢(shì)，逐漸呈現(xiàn)一定的穩(wěn)定性，即當(dāng)n逐漸增大時(shí)，(例如2000次)f_(A)越來越接近0.5，此時(shí)我們才可以說，在拋硬幣時(shí)，正面朝上和反面朝上的可能性相等。(案例中摸彩球活動(dòng)的道理與此完全相同)(3)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n趨于無窮大時(shí)，頻率將趨于一個(gè)穩(wěn)定的值，這個(gè)穩(wěn)定的值就是頻率的波動(dòng)中心，我們將頻率所趨于的穩(wěn)定值看做事件A發(fā)生的概率，即正面朝上和反面朝上的概率都是1／2(案例中摸到紅球和黃球的概率都是1／2)。

從前面對(duì)概率基礎(chǔ)知識(shí)的回顧中可以看出。對(duì)等可能性現(xiàn)象的正確理解，并不是依靠觀測(cè)到“摸的次數(shù)越多，摸到紅球和黃球的次數(shù)就越接近”的現(xiàn)象，從而得出“摸到紅球和黃球的可能性相等”的結(jié)論的。而是用頻率指標(biāo)作為觀察對(duì)象，依靠大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)作支撐，來得出“摸到紅球和黃球的可能性相等”的結(jié)論的。只有當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n逐漸增大，頻率，f_(A)越來越接近0.5時(shí)，我們才能得出“摸到紅球和黃球的可能性相等”的結(jié)論，這對(duì)于三年級(jí)的學(xué)生而言，無疑是很困難的。對(duì)于三年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)“等可能性”這一概率知識(shí)，主要存在以下幾方面的困難：(1)課堂上沒有足夠的時(shí)間來做大量的試驗(yàn)來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論。(2)沒有對(duì)頻率指標(biāo)的觀測(cè)，學(xué)生是無法真正理解“等可能性”知識(shí)的。(3)從概率的基礎(chǔ)知識(shí)中可以知道，對(duì)“等可能性”概念的正確理解必須是建立在極限的基礎(chǔ)之上的。這種依靠極限理論才能正確理解的概率知識(shí)，對(duì)于三年級(jí)的學(xué)生而言能行嗎?通過以上分析，可以知道在小學(xué)三年級(jí)教學(xué)“等可能性”知識(shí)，學(xué)生是缺乏知識(shí)基礎(chǔ)的。所以筆者認(rèn)為：在小學(xué)階段學(xué)習(xí)“等可能性”知識(shí)是不合適的，建議應(yīng)該把這一內(nèi)容從小學(xué)數(shù)學(xué)教材里刪除，留到中學(xué)或大學(xué)里再學(xué)習(xí)。