對“因數和倍數”教學的學習與思考

我在新課標實驗教材(蘇教版)五年級數學教學的研究中，發現實驗教材中“因數和倍數”知識體系編排變化較大，于是在執教前進行了深入地學習與研究。經學習與實踐，感觸頗深，下面談談自己對這部分知識的學習認識和思考。

一、對“因數和倍數”的學習體會

“因數和倍數”內容既是“數與代數”領域基礎知識的重要組成部分，又是進一步學習約分和通分以及分數四則計算的基礎。因此，這個單元的教學一直是小學數學教材中的重要內容。

實驗教材將“因數和倍數”的教學內容分散編排。有以下幾個方面的特點：(1)精簡教學內容。教材不再以整除的概念為基礎引出因數和倍數，減去了“整除”的數學化定義，而是在直觀的基礎上，借助整除的模式“na=b”直接引出因數和倍數的概念。“分解質因數”和“用短除法分解質因數”不作正式教學，而作為補充知識。(2)注重聯系實際。這部分內容的編排，盡量從學生已有的生活經驗和知識基礎出發，內容的呈現、展開注意貼近學生的認知特點；例題和習題都增加了聯系學生生活實際的素材和插圖；用鋪紙片的實際問題情景引出最大公因數和最小公倍數概念等等。這樣有利于學生理解有關整數的現實意義，也有利于培養學生的數學抽象能力。(3)增加探索性和開放性。課標強調學生自主探究、合作交流。特別是關于求兩個數的最小公倍數和最大公因數的具體方法，教材引導學生聯系找一個數的倍數、因數的方法進行有條理的思考，并鼓勵策略多樣化，淡化了傳統教學中常用的分解質因數法(短除法)等內容，從而突出了基本的數學概念和基礎的思考方法，知識結構合理而且易于掌握。

實驗教材新編排明顯改善了傳統教材的幾點不足：(1)傳統教材突顯了概念的緊密邏輯關系，但同一單元內概念多而集中。(2)抽象程度過高，學生對概念混淆，難理解、難辨析。如質數、質因數、互質數。(3)學習方式單一化，數學知識與現實意義脫離，缺乏趣味性。(4)學生解決問題的過程和方法過于模式化，不利于調動學生學習的主動性和積極性。

因數和倍數的教學新編排，旨在改善學生的學習方式，鼓勵感受解決問題策略的多樣性。因此教學中應注重強調學生的主體地位，放手讓學生探究，鼓勵用多種方法解決問題，努力培養學生探索意識和解決問題的能力，發揮學生的積極性和創造性。

二、對“因數和倍數”的教學思考

教材中刪去了“整除”的數學化定義，整除的本質還應向學生更明確的補充與滲透。介于以下兩點，其必要性很明顯：

1．教材中“因數”一詞概念模糊的問題客觀存在。本套教材中因數和倍數概念的引入不是從過去的整除定義出發，而是在本質上以“整除”為基礎，只是略去了許多中間描述。四年級學生由于還沒有涉及小數的乘除法，不出現整除的定義并不會對學生理解因數和倍數這一對相互依存的概念內涵產生其他任何影響。

2．因數的意義是否明確，這是關于概念內涵的數學問題。概念的內涵是指概念所反映的對象的本質屬性。本質屬性是指對這一類事物有決定意義的屬性。它必須具備兩個條件：第一，這類事物本身必須具備這種屬性，否則就不是這類事物；第二，能把這類事物與其他事物區別開來。在數學教學中，概念是學習性質、法則、公式等數學知識的基礎，是培養數學能力的前提，是解答數學實際問題的重要條件。筆者認為，學生對概念內涵的把握應該有守恒性。

在傳統教材的教學中，教師尚且出現了兩種爭鳴之說。一是認為“因數在現行小學數學教材和《數學課程標準》里都有兩種意義。一種是在乘法里，兩個乘數，又可以稱為是因數。另一種是在數的整除中，因數是相對于‘倍數’而言的，跟以前所說的‘約數’同義?！绷硪徊煌^點則認為“小數是不能叫做因數的，因數必須是非O自然數。(理由是從1996年上海教育出版社出版的《中學數學全書》和1994年科學出版社出版的《數學名詞》兩本書中的有關理論得到論證)”試想，連教師都在如此爭論不休的概念，學生又怎能搞得清、弄得明呢?況且，整除的前提條件再不明確，因數和倍數的概念內涵就更難以把握了。

對于上述“整除”和“因數”兩個問題，教學中我是這樣進行處理的。五年級下冊學習的內容是四年級(下冊)倍數和因數知識的延伸，著重幫助學生建立公倍數與最小公倍數、公因數和最大公因數等概念，掌握求兩個數的最小公倍數和最大公因數的方法。執教前，我先對學生在四年級已建立的知識進行了復習，然后作了鋪墊性的練習與說明：(1)讓學生明白了只有在這個乘法算式中的因數和積都是整數的情況下才能討論因數和倍數的概念。并舉出一些反例加以說明，如5×0.8=4，雖然等式成立，但不能說5和0.8是4的因數，或4是5和0.8的倍數。(2)讓學生注意區分乘法算式各部分名稱中的“因數”和本單元中的“因數”的聯系與區別。在同一個乘法算式中，兩者都是指乘號兩邊的數，但前者是相對于“積”而言的，與“乘數”同義，可以是小數，而后者是相對于“倍數”而言的，并且要求學生就用“乘數”來敘述乘法等式和算式中的“因數”。(3)還要注意區分“倍數”與前面學過的“倍”的聯系與區別?！氨丁钡母拍畋取氨稊怠币獜V，如我們可以說“15是3的5倍”，也可以說“1.5是0.3的5倍”，但我們只能說“15是3的倍數”，卻不能說“1.5是0.3的倍數”。