初學集合常見錯誤解析

集合，作為高中數學的第一章內容，雖然難度不大，但學生在解答時，稍不注意，就常會解答失誤，造成失分。究其原因主要是學生學習集合時，要真正掌握集合的概念、集合中元素的性質、符號的表示及它們之間的關系等內容，并非易事。為此，筆者結合實例將集合中常見問題分析、總結如下：

一、遺忘空集和本身

例1.滿足M?哿{0，1，2}且M?哿{0，2，4}的集合M的個數有()。

(A)1個(B)2個(C)3個 (D)4個

錯解：由已知，M?哿{0，2}，用列舉法得M為{0}，{2}，{0，2}，故選（C）。

剖析：忽視了M=○／，故應選（D）。

點評：在集合部分，空集是一個特殊的集合，其定義為不含任何元素的集合，它的具體表現形式很多，可能是方程（組）無解，也可能是不等式（組）無解，或者為其他完全不存在的集合對象。課本上明確指出了它的很多性質，如（1）○／?哿A，其中A為任一集合，當A非空時○／?芴A；（2）○／I A=○／，○

次考試，筆者都發現錯誤率很高。

二、忽視集合中元素的互異性

例5.設A={-1，a}，B={1，|a|}，若A∩B≠○／，求實數a的取值范圍。

錯解：∵|a|≠-1，由已知A∩B≠○／∴|a|=a∴a≥0。

剖析：當a=1時，B={1，1}和集合中元素的互異性發生矛盾，所以a的范圍應為{a|a≥0且a≠1}，故本題應考慮|a|≠1這一隱藏條件。

剖析：當m=1時，A中有元素1重復，和互異性矛盾，應舍去，∴m=-1。

剖析：本題C的值出現了增解，因為當C=1時，集合B出現了相同的元素，和互異性矛盾，故應舍去，∴C=- 。

點評：集合中的元素有三大性質：⑴確定性、⑵互異性、⑶無序性，其中的互異性在解題時最易被忽視，所以在已知兩個集合滿足某些條件，確定某些字母時要注意將所求得的結果代入檢驗集合中有無重復元素。

三、不能正確理解集合中元素的形式和真正含義

例7.下列哪個集合不同于另外三個集合（ ）。

錯解：筆者發現學生大部分選（A）、（B）或（D）。

剖析：事實上（A）、（B）、（D）都表示集合{1}，而（C）則表示的以“x=1”這個表達式為元素的集合，應選（C）。

分析：上述五小題出錯率都很高，應分別選（D），（C），（D），（D），（C），究其原因主要是完全曲解了這些集合中元素的表示形式及真正含義，它們有時表示定義域，有時為值域，有時表示點集，只有認真審題，了解元素的真正含義，才能立于不敗之地。

點評：集合有多種表示方法，如列舉法，描述法，圖示法等。描述法{x|x具有性質p}用得最多，我們稱之為代表元素描述法，它被廣泛應用于方程（組）、不等式（組）、函數等的表示，學生往往只留意表示方法中豎線右邊的內容，而忽視其左邊的內容，造成對集合中元素的真正含義模糊不清，解題時屢屢犯錯，常見錯誤有{x＞2}=

四、對“○／”、“∈”、“?哿”、“ ?芴 ”、“∩”等符號不能正確識記

點評：本題錯誤率很高，正確答案為（B），只有關系式②是正確的，“∈”表示集合和元素之間的關系，“?哿”表示集合與集合之間的關系，值得注意的是一個集合可以一個元素的形式出現在另一個集合中，此時它們即為元素和集合之間的關系，如②和③，對⑤來說，（1，1）并非集合{y|y=x -2x+2，x∈R}的元素，另外我們還應注意符號“?芴”不包括相等這種情況，因此①當A=○／時出現了問題。

例10.若A、B、C為三個集合，A∪B=B∩C，則一定有（ ）。

（A）A?哿C （B）C?哿A （C）A≠C （D）A=○／

錯解：筆者發現學生選（A）、（B）、（C）或（D）均有。

剖析：學生不能正確理解集合中符號“∩，∪，?哿，∈”的含義。方法一：利用定義轉化抽象的符號語言，設任意元素x∈A或x∈B，∵A∪B=B∩C ∴x∈B且x∈C，∴A?哿C，選（A）。方法二：利用A∪B，B∩C的等價的圖形語言轉化抽象的符號語言。

五、區間端點取舍模糊不清

（1）若A?芴B，求a的取值范圍；

（2）若A∩B=B，求a的取值范圍；

（3）若A∩B為僅含一個元素的集合，求a的值。

分析：在考試中發現學生答案較多，如在解（2）時，至少會出現1＜a＜2，1≤a＜2，1＜a≤2，1≤a≤2四種答案，（1）和（3）亦存在類似問題，我們歸納起來發現這些錯誤的共同特征是區間端點問題。解答這類問題的方法是借助數軸求解，首先要特別注意已知集合是否包括區間的端點，如本題集合B改為B={x| x -（a+1）x+a＜0}其答案又都發生變化，本題正確答案依次為（1）a＞2（2）1≤a≤2（3）a≤1，筆者據多年教學經驗認為對區間端點如a=1和a=2代入集合B={1}和B={x|1≤x≤2}，由此易得區間端點是否滿足題意。

例12.已知集合A={ x|-2≤x≤4}，B={ x|x＞a}。

（1）若A∩B≠○／，求實數a的取值范圍；

（2）若A∪B=B，求實數a的取值范圍；

（3）若A∩B≠○／，且A∩B≠A，求實數a的取值范圍。

分析：本題所揭示問題和上題類似，讀者不妨一試，能否得如下答案：（1）a＜4、（2）a＜-2、（3）-2≤a＜4，將本題中集合A改為A={ x|-2＜x＜4}，答案有何變化？集合B改為B={x|x≥a}，答案又如何？

總之，集合的概念在中學數學教學中的地位十分重要，且應用非常廣泛，被高考列入必考內容。我們應高度重視，對其概念能夠透徹理解，減少考試中的不必要的失分。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”