初學(xué)集合常見錯(cuò)誤解析

集合，作為高中數(shù)學(xué)的第一章內(nèi)容，雖然難度不大，但學(xué)生在解答時(shí)，稍不注意，就常會(huì)解答失誤，造成失分。究其原因主要是學(xué)生學(xué)習(xí)集合時(shí)，要真正掌握集合的概念、集合中元素的性質(zhì)、符號的表示及它們之間的關(guān)系等內(nèi)容，并非易事。為此，筆者結(jié)合實(shí)例將集合中常見問題分析、總結(jié)如下：

一、遺忘空集和本身

例1.滿足M?哿{0，1，2}且M?哿{0，2，4}的集合M的個(gè)數(shù)有()。

(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè) (D)4個(gè)

錯(cuò)解：由已知，M?哿{0，2}，用列舉法得M為{0}，{2}，{0，2}，故選（C）。

剖析：忽視了M=○／，故應(yīng)選（D）。

點(diǎn)評：在集合部分，空集是一個(gè)特殊的集合，其定義為不含任何元素的集合，它的具體表現(xiàn)形式很多，可能是方程（組）無解，也可能是不等式（組）無解，或者為其他完全不存在的集合對象。課本上明確指出了它的很多性質(zhì)，如（1）○／?哿A，其中A為任一集合，當(dāng)A非空時(shí)○／?芴A；（2）○／I A=○／，○

次考試，筆者都發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤率很高。

二、忽視集合中元素的互異性

例5.設(shè)A={-1，a}，B={1，|a|}，若A∩B≠○／，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

錯(cuò)解：∵|a|≠-1，由已知A∩B≠○／∴|a|=a∴a≥0。

剖析：當(dāng)a=1時(shí)，B={1，1}和集合中元素的互異性發(fā)生矛盾，所以a的范圍應(yīng)為{a|a≥0且a≠1}，故本題應(yīng)考慮|a|≠1這一隱藏條件。

剖析：當(dāng)m=1時(shí)，A中有元素1重復(fù)，和互異性矛盾，應(yīng)舍去，∴m=-1。

剖析：本題C的值出現(xiàn)了增解，因?yàn)楫?dāng)C=1時(shí)，集合B出現(xiàn)了相同的元素，和互異性矛盾，故應(yīng)舍去，∴C=- 。

點(diǎn)評：集合中的元素有三大性質(zhì)：⑴確定性、⑵互異性、⑶無序性，其中的互異性在解題時(shí)最易被忽視，所以在已知兩個(gè)集合滿足某些條件，確定某些字母時(shí)要注意將所求得的結(jié)果代入檢驗(yàn)集合中有無重復(fù)元素。

三、不能正確理解集合中元素的形式和真正含義

例7.下列哪個(gè)集合不同于另外三個(gè)集合（ ）。

錯(cuò)解：筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生大部分選（A）、（B）或（D）。

剖析：事實(shí)上（A）、（B）、（D）都表示集合{1}，而（C）則表示的以“x=1”這個(gè)表達(dá)式為元素的集合，應(yīng)選（C）。

分析：上述五小題出錯(cuò)率都很高，應(yīng)分別選（D），（C），（D），（D），（C），究其原因主要是完全曲解了這些集合中元素的表示形式及真正含義，它們有時(shí)表示定義域，有時(shí)為值域，有時(shí)表示點(diǎn)集，只有認(rèn)真審題，了解元素的真正含義，才能立于不敗之地。

點(diǎn)評：集合有多種表示方法，如列舉法，描述法，圖示法等。描述法{x|x具有性質(zhì)p}用得最多，我們稱之為代表元素描述法，它被廣泛應(yīng)用于方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等的表示，學(xué)生往往只留意表示方法中豎線右邊的內(nèi)容，而忽視其左邊的內(nèi)容，造成對集合中元素的真正含義模糊不清，解題時(shí)屢屢犯錯(cuò)，常見錯(cuò)誤有{x＞2}=

四、對“○／”、“∈”、“?哿”、“ ?芴 ”、“∩”等符號不能正確識(shí)記

點(diǎn)評：本題錯(cuò)誤率很高，正確答案為（B），只有關(guān)系式②是正確的，“∈”表示集合和元素之間的關(guān)系，“?哿”表示集合與集合之間的關(guān)系，值得注意的是一個(gè)集合可以一個(gè)元素的形式出現(xiàn)在另一個(gè)集合中，此時(shí)它們即為元素和集合之間的關(guān)系，如②和③，對⑤來說，（1，1）并非集合{y|y=x -2x+2，x∈R}的元素，另外我們還應(yīng)注意符號“?芴”不包括相等這種情況，因此①當(dāng)A=○／時(shí)出現(xiàn)了問題。

例10.若A、B、C為三個(gè)集合，A∪B=B∩C，則一定有（ ）。

（A）A?哿C （B）C?哿A （C）A≠C （D）A=○／

錯(cuò)解：筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生選（A）、（B）、（C）或（D）均有。

剖析：學(xué)生不能正確理解集合中符號“∩，∪，?哿，∈”的含義。方法一：利用定義轉(zhuǎn)化抽象的符號語言，設(shè)任意元素x∈A或x∈B，∵A∪B=B∩C ∴x∈B且x∈C，∴A?哿C，選（A）。方法二：利用A∪B，B∩C的等價(jià)的圖形語言轉(zhuǎn)化抽象的符號語言。

五、區(qū)間端點(diǎn)取舍模糊不清

（1）若A?芴B，求a的取值范圍；

（2）若A∩B=B，求a的取值范圍；

（3）若A∩B為僅含一個(gè)元素的集合，求a的值。

分析：在考試中發(fā)現(xiàn)學(xué)生答案較多，如在解（2）時(shí)，至少會(huì)出現(xiàn)1＜a＜2，1≤a＜2，1＜a≤2，1≤a≤2四種答案，（1）和（3）亦存在類似問題，我們歸納起來發(fā)現(xiàn)這些錯(cuò)誤的共同特征是區(qū)間端點(diǎn)問題。解答這類問題的方法是借助數(shù)軸求解，首先要特別注意已知集合是否包括區(qū)間的端點(diǎn)，如本題集合B改為B={x| x -（a+1）x+a＜0}其答案又都發(fā)生變化，本題正確答案依次為（1）a＞2（2）1≤a≤2（3）a≤1，筆者據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為對區(qū)間端點(diǎn)如a=1和a=2代入集合B={1}和B={x|1≤x≤2}，由此易得區(qū)間端點(diǎn)是否滿足題意。

例12.已知集合A={ x|-2≤x≤4}，B={ x|x＞a}。

（1）若A∩B≠○／，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若A∪B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若A∩B≠○／，且A∩B≠A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：本題所揭示問題和上題類似，讀者不妨一試，能否得如下答案：（1）a＜4、（2）a＜-2、（3）-2≤a＜4，將本題中集合A改為A={ x|-2＜x＜4}，答案有何變化？集合B改為B={x|x≥a}，答案又如何？

總之，集合的概念在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位十分重要，且應(yīng)用非常廣泛，被高考列入必考內(nèi)容。我們應(yīng)高度重視，對其概念能夠透徹理解，減少考試中的不必要的失分。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”