不懼“模仿秀”　貫有精氣神

鄭云初

浙江省溫嶺市大溪中學 (317525)

引子：2008年，注定要被歷史記住的一年：汶川大地震、北京奧運會……，有幸在這一年送走了又一屆學生.因為帶高三，復習時做了一些題，即使考后，仍不由自主的關注08高考題，看到山東理科第22題，心有所觸，不揣冒昧，試呈一家之言.

1 題目呈現

08山東高考理科數學第22題(最后一題，滿分14分)：如圖，設拋物線方程為x2=2py(p>0)，M為直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.

(1)求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數列；

(2)已知當M點的坐標為(2，-2p)時，﹟AB|=410.求此時拋物線的方程；

(3)是否存在點M，使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線x2=2py(p>0)上，其中點C滿足㎡C=㎡A+㎡B(O為坐標原點).若存在，求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

2 題解簡析

此題的前兩問，由導數的幾何意義，得出A、B處的切線斜率，用點斜式表示出兩切線方程，即可解決(1)；利用弦長公式、韋達定理，可求得p，(2)獲解；(3)是一個探索存在型問題，因DC中點與AB中點所得斜率，即為AB斜率，可得D的橫坐標與M的橫坐標關系，再分類討論M相應的存在性.(自行尋查標準答案，在標準答案中，①②不必作差，兩邊乘以2p，整理即知x1，2是方程x2-2x0x-4p2=0的兩根，由韋達定理(1)獲解，且解(2)的要素即 刻呈現，可減少一個“思維回路”(文［1］).

3 似曾相識

瀏覽08年數學高考題時，初見此題，赫然入目的是圖形，感覺是那么的熟悉與親切，直覺她與上年的一道高考題很相似，馬上查了一下復習講義，果然是07年江蘇高考數學第19題(附文后)：兩題圖形如出一轍，對線條略施增刪(操作免述)，即可保持兩圖的一致性；動手做了之后，更覺08山東22題的題設及(1)(2)問與07江蘇19題的“相似度”是相當的高.在前后年中出現這種現象，遠比在同年中出現這種現象更引起我的關注與思考，關注命題者的思想脈搏，思考我們的教學與復習.

4 尋味之處

命題者的勇氣 高考是中國第一考，其社會關注度，用“萬眾矚目”來度量，至少要乘兩個數量級.面對高考，師生有壓力，命題者更有壓力，高考試題：說重一點，定人終身；說輕一點，白紙黑字，直面全國師生；說實在點，要有信度、效度、區分度，要體現穩定性、新穎性、選拔性、導向性…….而數學試題中的最后一題，更被稱為壓軸題，猶如壓軸戲，應是最精彩的，總要經受更多的目光與挑剔.堅信08年復習的教師，07年的高考題(全國和各省市)是必看(有些則做、練、講)的，猶如兵家之力求知彼，估摸08年的命題者也是關注的.而08山東命題者，敢選擇與07江蘇數學19題“相似度”如此高的題目作為壓軸題，不怕“壓軸”被“知彼”，不畏被稱“模仿秀”，著實勇氣可嘉，同時還隱隱透出一種閑看云卷云舒，靜聽潮起潮落的淡定從容，顯得底氣十足.

命題者的底氣 從題目看題目，山東題將江蘇題的拋物線回歸到最一般形態，以標準的一般方程形式呈現，更顯大氣，所設第(1)問的形式層次高(形中問數)，本質更隱蔽；從題解看考查內容，既考查導數的幾何意義，直線斜率公式，弦長公式，方程與曲線關系，方程解的意義，韋達定理等知識點，又考查學生分析轉化問題、探索問題的能力、字母運算能力等和數形結合、方程思想、分類討論等數學思想方法的運用，這些無一不是中學數學主干知識與基本方法和必備能力；從題目再探究，不難得出諸如“割線AB的斜率是切線MA、MB斜率的等差中項”、“M點的軌跡與直線AB在y軸上的截距互為充要，即：設b>0，若AB過(0,b)，則M點的軌跡方程為y=-b；反之亦然”等結論，特別是第二個結論中的一點一線，一如拋物線焦點與準線的無數“孿生”，不經意間把我們帶入一個意韻無窮的數學世界：這里的美麗不冰冷，這里的思考很火熱，這里的發現無止境.至此，我們應該說山東的命題者是“他山之玉精雕琢”而非“模仿秀”了.

命題者的和氣 此題作為壓軸題，前兩問難度中等，入手不難，計算量不大，說明了命題從中學實際出發，體現了對考生的關懷.目光放遠點，魯瓊寧粵是一批高中新課程改革省份，07年即已進入新課程高考，其他各省市今明跟上，中學師生十分關心新課程的高考，命題者正通過某些試題諄諄道來：新課程高考，更關注數學的本質與核心；題是外形，法是內在.外形是顯性的，可以相似相依，可以截然相反；而法是通性的、本質的，更值得我們去思考、研究、落實，我們的教學落腳點應是中學數學核心的概念、思想方法(文［2］)，通過它們培養學生的智商、情商和能力，使學生素質整體提升，個性得到自主發展.

一點啟示 高考命題，重點內容重點考查是一條鐵律，這里的重點內容是包含知識方法能力諸方面的，而使這一必然得以呈現的載體——題目，其出現帶有一定的偶然性.在復習中，選題要以必然性為主導，不可猜題押題被題牽著走，要研究課程標準、考試大綱的要求，起點放底，主干抓牢，減少教學過程中的盲目性與隨意性，增加復習的實效；試題評析時，要及時引導學生回頭看，看題目實質考查那些知識，用到那些方法，考查什么，能否進行進一步的探究等，使復習能落到實處.

附：2007年江蘇高考數學第19題(滿分14分)：如圖，在平面直角坐標系xOy中，過y軸正方向上一點C(0,c)任作一直線，與拋物線y=x2相交于A，B兩點.一條垂直于x軸的直線，分別與線段AB和直線l:y=-c交于點P，Q.

(1)若㎡A?㎡B=2，求c的值；

(2)若P為線段AB的中點，求證：QA為此拋物線的切線；

(3)試問(2)的逆命題是否成立?說明理由.

參考文獻

［1］羅增儒.數學解題學引論［M］.陜西：陜西師范大學出版社，2001.

［2］課題組.中數核心概念……中期研究報告.陜西：中學數學教學參考，2008，7.