鐘表里的數(shù)學(xué)學(xué)問

時鐘是必不可少的日常生活用具以時鐘為載體構(gòu)建的數(shù)學(xué)考賽題較為常見，且有一定難度今分類例析，供大家參考

1 時鐘盤面構(gòu)造與基本工作原理

1.時鐘盤面被等分為12個大格，每個大格所對的圓心角為360°÷12=30°；每個大格又被分成5個小格，每個小格所對的圓心角為30°÷5=6°；時針與分針同時運動，時針轉(zhuǎn)一大格為1小時，轉(zhuǎn)一小格為12分鐘分針轉(zhuǎn)一小格為1分鐘

2.時針一小時轉(zhuǎn)過30°角，轉(zhuǎn)速為：30°/h=0.5°/min；分針一小時轉(zhuǎn)過360°角，轉(zhuǎn)速為：360°/h=6°/min.

3.當(dāng)時間為h時m分（為方便應(yīng)用，規(guī)定0≤h＜12，0≤m＜60）時，設(shè)時針從“指向0時0分”到“指向h時m分”轉(zhuǎn)過的角度為α（0°≤α＜360°），則α=30°·(h+m60)；分針從“指向h時0分”到“指向h時m分”轉(zhuǎn)過的角度為β（0°≤β＜360°），則β=30°·m5.

圖1例1 （2007年，臺灣中考）如圖1，在地面上有一個鐘，鐘面的12個粗線刻度是整點時時針(短針)所指的位置根據(jù)圖中時針與分針(長針)的位置，該鐘面所顯示的時刻在下列哪一范圍內(nèi)？

A 3點～4點

B6點～7點

C 8點～9點

D10點～11點

析解 設(shè)此時此刻為h時m分，觀察圖中時針與分針的位置可知，時針從“h時0分”到“h時m分”轉(zhuǎn)過了4個小格，則m=48，分針應(yīng)指向48分鐘處，圖中點A處所示刻度應(yīng)為“9”，由此推知所示時間為10:48，在10點～11點范圍內(nèi)，選D.

例2 （2007年，廣東中山中考）由2:15到2:30，時鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度是.

析解 分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，從2:15到2:30共15分鐘，分針轉(zhuǎn)過的角度是6°×15=90°.

例3 （2006年，棗莊中考）鐘表的軸心到分針針端的長為5cm，那么經(jīng)過40分鐘，分針針端轉(zhuǎn)過的弧長是（）

A10π3cm B20π3cm

C25π3cm D50π3cm

析解 分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，40分鐘轉(zhuǎn)過的角度是6°×40=240°，分針針端轉(zhuǎn)過的弧長是2·π·5360·240=20π3cm，選B.

例4 在5點到6點之間的什么時刻，鐘面上時針和分針在“5”的兩旁并且到“5”的距離相等？

析解 設(shè)5點m分時，時針和分針到“5”的距離相等.由題意，根據(jù)“角平分線的判定定理”可知，點“5”應(yīng)在時針和分針夾角的平分線上時針從“指向5點0分”到“指向5點m分”轉(zhuǎn)過的角度為30°·m60，而分針從“指向5點0分”到“指向5點m分”轉(zhuǎn)過的角度為30°·m5由題意應(yīng)有：30°·m60=5×30°-30°·m5，解得m=30013.答略.

例5 如果現(xiàn)在鐘表的時針與分針正好重合，那么再過至少多長時間時針與分針會成為一條直線？

析解 時針與分針同時運動，時針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，設(shè)至少x分鐘后時針與分針成為一條直線，則應(yīng)有6x-0.5x=180,解之，得x=32811.答略.

例6 8點后，時針與分針第一次重合在什么時間？

析解 設(shè)8點m分時針與分針第一次重合，8:00時，時針與分針夾角為120°，從8:00到8點m分時針轉(zhuǎn)過了m·0.5°，而分針轉(zhuǎn)過了m·6°，應(yīng)有6m-0.5m=360-120，得m=48011.

例7 （2005年，江西中考）某課外學(xué)習(xí)小組在設(shè)計一個長方形時鐘鐘面時，欲使長方形的寬為20厘米，時鐘的中心在長方形對角線的交點上，數(shù)字2在長方形的頂點上，數(shù)字3、6、9、12標(biāo)在所在邊的中點上，如圖2所示

圖2（1）問長方形的長應(yīng)為多少？

（2）請你在長方框上點出數(shù)字1的位置，并說明確定該位置的方法；

（3）請你在長方框上點出鐘面上其余數(shù)字的位置，并寫出相應(yīng)的數(shù)字

析解 （1）時針、分針都是勻速轉(zhuǎn)動的，設(shè)1，2，3，…，11，12這些時刻所對應(yīng)的點分別為A,B,C, …,K,L,

則∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠KOL=∠LOA=30°,在Rt△BOC中, 由三角函數(shù)可得OC=BC·cot∠BOC =10·cot30°=103,則長方形的長為203.

（2）作出∠LOB的平分線，交LB于A，點A即為數(shù)字1的位置

（3）同（2）之理可得鐘面上其余數(shù)字的位置，作圖略

以上七個例題涉及各色題型，在求解分析過程中，把“時鐘盤面構(gòu)造與基本工作原理”充分釋放出來，同學(xué)們要認(rèn)真體會

2 時針與分針的夾角公式

析解 平面鏡里看到的物體與實際物體左右倒置，解決此類問題可把寫有數(shù)字的紙反過來，從反面透過紙去讀數(shù)，可得實際時間為21:05,選A．當(dāng)然，此題還有“作出數(shù)字關(guān)于表盤左（或右）邊界的對稱圖去讀數(shù)”等方法

4 創(chuàng)新型鐘表問題

例14 有兩個鐘表A、B，其中A每小時比標(biāo)準(zhǔn)時間快5分鐘，B每小時比標(biāo)準(zhǔn)時間慢5分鐘現(xiàn)把A、B兩鐘表時間調(diào)成與標(biāo)準(zhǔn)時間一致，那么過多長時間后，A鐘表會比B鐘表快1小時？

析解A每小時比B快5+5=10分鐘，當(dāng)A鐘表比B鐘表快1小時（60分鐘）時，時間已過了60÷10=6小時.

例15 萌萌有一個小鬧鐘，每小時比標(biāo)準(zhǔn)時間快1分鐘晚上9點睡覺時，萌萌把鬧鐘調(diào)成與標(biāo)準(zhǔn)時間一致，她想第二天早上6點起床，那么鬧鈴應(yīng)當(dāng)定成幾點幾分？

析解 從“晚上9點”到“第二天早上6點”經(jīng)過了9小時，由于鬧鐘每小時比標(biāo)準(zhǔn)時間快1分鐘，則標(biāo)準(zhǔn)時間為早上6點時，鬧鐘時間為6點9分.答略.

鐘表出了毛病走不準(zhǔn)是常事，例14、例15以此為背景命題，情境新穎，考查了學(xué)生的思維品質(zhì)與思維層次

例16 一位物理教師設(shè)計了一只新式鐘表，這只鐘表每晝夜時間長為12小時，每小時長100分┲擁閉庵恍率街穎硐允駒縞6點時，標(biāo)準(zhǔn)時間為中午12點那么標(biāo)準(zhǔn)時間為下午6點時，這只新式鐘表顯示的時間是幾點幾分？

析解 標(biāo)準(zhǔn)時間每晝夜長24×60=1@440分鐘，這只新式鐘表每晝夜“時間”長為12×100=1@200“分鐘”，每晝夜標(biāo)準(zhǔn)時間是新式鐘表“時間”的1@440÷1@200=1.2倍，從“中午12點”到“下午6點”共6×60=360分鐘（標(biāo)準(zhǔn)時間），相當(dāng)于新式鐘表“時間”的360÷1.2=300“分鐘”，即300÷100=3“小時”，故標(biāo)準(zhǔn)時間為下午6點時，這只新式鐘表顯示的“時間”是6+3=9“點”整

作者簡介 苑建廣，1973～ ，中學(xué)一級教師，數(shù)學(xué)教研組長. 勤于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究，已有四十余篇文章發(fā)表于《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《數(shù)學(xué)大世界》、《上海中學(xué)數(shù)學(xué)》、《中小學(xué)數(shù)學(xué)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》等十幾種數(shù)學(xué)期刊.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”