運用費馬小定理求解數的整除性問題

劉寶成　劉衛利

1 科學研究的思路

在世界上，以數學為內容的競賽有著悠久的歷史：古希臘時就有解幾何難題的比賽；我國戰國時期齊威王與大將田忌的賽馬，實是一種對策論思想的比賽；16世紀在意大利有過關于口吃者塔塔利亞求解三次方程的激烈競爭；17世紀，不少數學家喜歡提出一些問題向其他數學家挑戰，法國的費爾馬就是其中的佼佼者，他所提出的費爾馬大定理向人類的智慧挑戰了300年；18世紀，法國曾經進行過獨立的數學比賽；19世紀，法國科學院以懸賞的方法征求對數學難題的解答，常常獲得一些重要的數學發現. 數學王子高斯就是比賽的優勝者，……但是，所有這些比賽，都只有局部的性質并且限于在成人之間進行，而專門以中學生為對象的數學競賽卻是現代的時尚.

國際奧林匹克數學競賽命題緊密結合中學數學教學實際，活而不難，趣而不怪，巧而不偏，力求體現出科學性、知識性、應用性、啟發性、趣味性的綜合統一. 數學競賽活動是備受青少年喜愛的一種數學課外活動. 通過有趣味、有新意、有水平的題目，開發智力，引導學生提高數學素質. 數學競賽活動是落實數學素質的一種好形式. 數學競賽積累了一批閃耀著數學思想和智慧的好題目，引導學生研究賞析它，是一件賞心閱目、幸福愉快的事情.

數學是科學發展中的重要工具，歷史證明它給人們處理問題的巧妙方法并啟迪人們思維. 猜想是創造思維的先導，猜想之余就是周密細致、艱苦的論證，符合邏輯推理、符合自然規律、符合實際情況的猜想皆形成理論. 哥德巴赫猜想引起許多象陳景潤這樣的大師論證；我們大家的老師歐拉在數學領域中是富翁，他也是先提出很多猜想，進一步論證；我國數學家微分幾何之父陳省身的弟子丘成桐現在美國哈佛大學是微分幾何陣地的領先者，他先后證明了有名的幾個猜想，并且自己提出了一百多個猜想且一一進行了論證，大膽猜想才會有創造.^[1]

2 費馬小定理

3 國際奧林匹克數學競賽題

4 國際奧林匹克數學競賽題的命題規律及解題方法

國際奧林匹克數學競賽題按代數、數論、幾何、組合數學、組合幾何等分類，確定試題難度（A、B、C三級），選擇30題左右，其中初等數論常在一套題中占16. 而在初等數論中，數的整除性、同余式占有十分重要的地位. 應用費馬小定理、牛頓二項式定理，采用巧妙、靈活的分組方法證明被除數中含有除數的全部質因子. 對數的整除性還可以應用反證法、數學歸納法、等價關系等方法求解. 應用這些解題方法的具體解題過程祥見我們即將出版的《歷屆國際奧林匹克數學競賽題題解》.^[9]

參考文獻

[1] （美）M.克萊因著，北京大學數學系數學史翻譯組譯.古今數學思想[M].上海：上海科學技術出版社，1981:3-56.

[2] 《數學手冊》編寫組. 數學手冊[M].北京：人民教育出版社，1979-5:12-87.

[3] 潘承洞，潘承彪. 初等數論[M].北京：北京大學出版社，2005-7:36-88.

[4] Gauss,C.F. :Disquisitiones Arithmeticae, trans.A.A. Clarke,yale University press,1965:26-45.

[5] (美)G.H.Hardy;E.MWright An Introduction to the Theory of Numbers Oxford University Press 2007-3:42-78.

[6] 華羅庚著. 數論導引[M].北京：科學出版社，1957-07:10-125.

[7] 張賢科.代數數論導引(第2版)[M].北京：高等教育出版社2006:20-56.

[8] （美）JosephH.Silver man Friendly Introduction to Number Theory,(3rdEdition)Prentice Hall/ Pearson 2006:35-89.

[9] Kenneth Ireland, Michael Rosen A Classical Introduction to Modern Number Theory 2nd ed Springer-Verlag 2003-6:15-50

作者簡介 劉寶成，1963年生，男，陜西省鳳翔縣人，機械工程碩士在讀，副教授，陜西航空職業技術學院機械系材料成型教研室主任，從事模具設計與制造專業教學和研究.

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