三角形旋轉存在性的判定與性質

如圖１，△ACM與△BCN是具有一個公共頂點的兩個正三角形，令△ACM繞頂點C旋轉不同的角度，可以得到下列圖形（圖２－圖５），許多文章對該圖形進行了研究和推廣，如將正三角形推廣到正方形、正n邊形，將兩個正三角形改為兩個等腰三角形、兩個相似三角形等等．本文將從另一個角度研究該組圖形，看看究竟是哪個三角形旋轉更具本質特點．

圖1 圖2圖3 圖4圖5注意每個圖形中的兩個三角形：△ACN和△MCB，仔細分析不難發現，這是兩個全等的三角形，并且不論在哪個圖形中，△MCB都可以看成△ACN繞頂點旋轉60°得到．圖１－圖５只是∠ACN的大小不同，具體的∠ACN度數分別為：①等于120°；②大于60°，小于120°；③等于60°；④小于60°；⑤大于120°．因此，△ACN繞頂點旋轉60°應是該組圖形中旋轉的本質規律．

于是得到三角形繞頂點旋轉的性質定理：

定理1 三角形繞它的一個頂點旋轉60°，形成以該頂點上的兩條邊為邊的兩個正三角形．

將兩個正三角形改為具有公共直角頂點的兩個等腰直角三角形，同樣的研究方法可以得到：

定理2 三角形繞它的一個頂點旋轉90°，形成以該頂點上的兩條邊為直角邊的兩個等腰直角三角形．

進一步，將兩個正三角形改為兩個具有公共頂角頂點的兩個等腰三角形（頂角均為α）.

定理3 三角形繞它的一個頂點旋轉α，形成以該頂點上的兩條邊為腰的兩個等腰三角形（頂角均為α）．

反過來，我們可以根據圖形特點，判斷該圖形中是否存在三角形旋轉，一個圖形中存在三角形繞頂點旋轉的判定定理：

定理4 如果一個圖形中存在兩個有公共頂點的正三角形，則該圖形可以看成一個三角形繞它的一個頂點轉動60°形成的．

定理5 如果一個圖形中存在兩個有公共直角頂點的等腰直角三角形，則該圖形可以看成一個三角形繞它的一個頂點轉動９０°形成的．

定理6 如果一個圖形中存在兩個有公共頂點（頂角頂點）、頂角均為α的等腰三角形，則該圖形可以看成一個三角形繞它的一個頂點轉動α后形成的．

下面舉例說明上述定理(主要是判定定理)在解題中的應用．

圖6例１如圖6所示，P是等邊△ABC內一點，∠PBM=60°，PB=PM，求證：MC=PA．

分析 由已知條件，圖形中存在兩個有公共頂點的正△ABC和正△PBM，所以該圖形可以看成一個三角形繞它的一個頂點轉動60°形成的，不難看出△BMC轉動60°到△BPA．因此，可以通過證明△BMC≌△BPA，證明MC=PA

例２ 如圖7，在四邊形中ABCD中，∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=CD,證明：BD²=AB²+BC²

分析 由∠ADC=60°，AD=CD得：△ADC為正三角形，而∠ABC=30°，若以BC為邊作一正三角形，就有兩個正三角形，并且出現一個直角三角形，聯想到勾股定理與要證結論，這個思路應該可行．

圖7證明 連結AC．因為AD=CD，∠ADC=60°，所以△ADC是正三角形．以BC為邊作正△BCE，連結AE．則△ACE為△DCB順時針轉動60°形成的圖形．所以△ACE≌△DCB，AE=DB．在Rt△ABE中，AE²=AB²+BE²，于是BD²=AB²+BC²．

圖8例3 （2006年山東競賽試題）如圖8，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BFC都是等邊三角形，則四邊形ADFE的面積為．

分析 在B點處有兩個具有公共頂點的正△ABD和△BFC，分析不難得到是因為△BDF旋轉60°到△BAC形成，于是△BDF≌△BAC．同理，在C點處有兩個具有公共頂點的正△ACE和△BFC，因此，可以證明△CEF≌△CAB．利用這兩對全等三角形問題迎刃而解．答案是6．

圖9例４ （2000年希望杯競賽試題） 如圖9，正方形ABCD中，AB=3，點E、F分別在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°．求：△AEF的面積．

分析 由于∠DAF=15°，過點A作線段AG=AD并使∠GAB=15°，交CB的延長線與點G，于是，在點A處有兩個等腰直角三角形△AFG與△ADB，△AGB是△ADF旋轉90°形成的，由此可以證明△AGE≌△AFE，△AEF的面積可由△AGE的面積求得．答案：3-3．

圖10例5 （2006年東營市中考試題）兩個全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖10所示放置，E，A，C三點在一條直線上，連結BD，取BD的中點M，連結ME，MC．試判斷△EMC的形狀，并說明理由．

分析 連結AM，由題意得：DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°．所以∠DAB=90°．又因為DM=MB,所以MA=12DB=DM，∠MAD=∠MAB= 45°．

所以∠MDE=∠MAC=105°，∠DMA=90°．所以△DMA是等腰直角三角形，分析題意容易證明△EDM≌△CAM，即△EDM繞點M旋轉90°可以與△CAM重合，因此，在點處M除了△DMA外必有另一個等腰直角三角形，不難得到△ECM的形狀是等腰直角三角形．

圖11例6 (根據2007年臨沂中考題改編)如圖11，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上，（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉，DE交AB于點M，DF交BC于點N．

求證：DM=DN ．

分析 連結BD，從結論入手，若DM=DN，則以D為直角頂點有三個等腰直角三角形，因此，存在三對旋轉：△ADM與△DBN、△DMB與△DNC、△ADB與△DBC（與結論無關），因此，可以通過證明前兩對三角形中的任一對全等證明該問題．

圖12例7 如圖11，五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD,∠BAE=∠BCD=120°,∠ ABC+∠AED=180°，連結AD．

求證：AD平分∠CDE．

分析 連結AC，因為BC+DE=CD，延長DE到F，使DF=BC，連結AF，因為AB=AE，△ABC可以看成△AEF旋轉∠BAE形成的，通過證明這兩個三角形全等，證明AC=AF，從而證明△ACD≌△AFD，于是AD平分∠CDE．

參考文獻

[1] 蓋仕廣．三角形旋轉規律的探討和應用[J]．初中數學教與學，2007,(7).

[2] 魏祖成．“雙正三角形”問題的聯想[J]．中學生數學，2007，(4).

作者簡介 蓋仕廣，1970年6月生，中學高級教師，從事數學解題教學研究，在各類中等數學刊物發表論文十余篇.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”