從２００７年的中考數(shù)學(xué)試題看２００８年數(shù)學(xué)命題的方向

劉　頓

一年一度的中考腳步聲越來(lái)越近，同學(xué)們你準(zhǔn)備好了嗎？為了幫助同學(xué)們?cè)谟邢薜臅r(shí)間里，掌握三年來(lái)所學(xué)的知識(shí)，及時(shí)了解中考的動(dòng)向，筆者認(rèn)真學(xué)習(xí)了2007年全國(guó)部分省市的中考試題，從中獲得一些2008年中考數(shù)學(xué)的命題方向，現(xiàn)解讀如下，希望對(duì)同學(xué)們的復(fù)習(xí)能有點(diǎn)幫助.

1 通過(guò)復(fù)習(xí)，應(yīng)注意優(yōu)化思想方法

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法使數(shù)學(xué)思想得以具體落實(shí)，二者相互依存，成為數(shù)學(xué)中考永恒的主題. 但是，如果因循守舊，僅用一些傳統(tǒng)題型、固定模式進(jìn)行考查，則往往會(huì)產(chǎn)生思維定勢(shì)，忽視了數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)，所以必須對(duì)其優(yōu)化，力爭(zhēng)出新創(chuàng)奇，才能讓學(xué)生真正體會(huì)到數(shù)學(xué)思想方法的重要性.

圖1例1 （2007年成都市中考試題）如圖1，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝mx的圖象交于A(－2，1)，B(1，n)兩點(diǎn).

（1）試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求△AOB的面積.

分析 由于點(diǎn)A和B既在一次函數(shù)圖象上，又在反比例函數(shù)的圖象上，所以可以先利用待定系數(shù)法求出m，進(jìn)而求出n，這樣再運(yùn)用待定系數(shù)法構(gòu)造關(guān)于k和b的二元一次方程組即可求解.至于要求△AOB的面積，令直線與y軸的交點(diǎn)為C，也容易求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，這樣△AOB的面積即由△AOC和△BOC組成.

說(shuō)明 確定正比例函數(shù)的解析式，只要一個(gè)條件，而要求一次函數(shù)的解析式，則需要兩個(gè)獨(dú)立的條件.本題在求解時(shí)，以數(shù)形結(jié)合、方程和待定系數(shù)法的思想方法為主線，涉及到對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化等思想方法.雖然也是主要運(yùn)用了“以形定數(shù)”的思維方式，但是由于實(shí)際背景的介入，使得題目新穎別致，不同于一般的通過(guò)圖像求關(guān)系式的題目.

2 通過(guò)復(fù)習(xí)應(yīng)注意突出信息問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

當(dāng)今社會(huì)，信息容量迅速增多，表現(xiàn)形式豐富多彩，被人們稱(chēng)為“信息化時(shí)代”.在日常的生產(chǎn)生活、學(xué)習(xí)工作中，我們經(jīng)常需要將各種形式的信息轉(zhuǎn)化整合、分析處理.鑒于此，對(duì)信息轉(zhuǎn)化的突出考查，具有強(qiáng)烈的時(shí)代感.

例2 （2007年河南省中考試題）圖2和圖3是根據(jù)2006年某省各類(lèi)學(xué)校在校生人數(shù)情況制作的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖

圖2已知2006年該省普通高校在校生為97.41萬(wàn)人，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的信息解答下列問(wèn)題：

（1）2006年該省各類(lèi)學(xué)校在校生總?cè)藬?shù)約多少萬(wàn)人？（精確到1萬(wàn)人）

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）請(qǐng)你寫(xiě)出一條合理化建議.

圖3分析 要解答本題中的三個(gè)問(wèn)題，可以直接從已知的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中尋找解題的信息，再通過(guò)統(tǒng)計(jì)的方法求解.

解 （1）2006年該省種類(lèi)學(xué)校在校生總數(shù)為97.41÷4.87%≈2000（萬(wàn)人）.（2）普通高中在校生人數(shù)約為2000×10.08%＝201.6（萬(wàn)人），即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖2中的陰影部分.（3）答案不唯一，回答合理即可.

說(shuō)明 本題以統(tǒng)計(jì)為背景，而運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思想解決問(wèn)題一般要經(jīng)過(guò)這樣兩個(gè)程序：（1）從實(shí)際問(wèn)題中獲取必要的信息——分析處理有關(guān)信息——建立數(shù)學(xué)模型——解決這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題.（2）通過(guò)圖表獲取數(shù)據(jù)信息，收集、整理分析數(shù)據(jù)，再運(yùn)用統(tǒng)計(jì)量的意義去分析，這是用統(tǒng)計(jì)的思想方法解決問(wèn)題的基本方式.值得注意的是，求解信息問(wèn)題的試題，應(yīng)及時(shí)將圖形、表格、數(shù)據(jù)、文字等多種信息形式綜合為一體，需要同學(xué)們對(duì)各種不同信息“互譯”轉(zhuǎn)化，才能順利解答.

3 通過(guò)復(fù)習(xí)要強(qiáng)化數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用性的考查，已經(jīng)成為全國(guó)各地中考的普遍趨勢(shì)，是強(qiáng)化“用數(shù)學(xué)”意識(shí)的必然結(jié)果.

例3 （2007年河北省中考試題）一手機(jī)經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)某品牌的A型、B型、C型三款手機(jī)共60部，每款手機(jī)至少要購(gòu)進(jìn)8部，且恰好用完購(gòu)機(jī)款61000元.設(shè)購(gòu)進(jìn)A型手機(jī)x部，B型手機(jī)y部.三款手機(jī)的進(jìn)價(jià)和預(yù)售價(jià)如下表：.

手機(jī)型號(hào)A型B型C型進(jìn) 價(jià)（單位：元/部）90012001100預(yù)售價(jià)（單位：元/部）120016001300.

（1）用含x，y的式子表示購(gòu)進(jìn)C型手機(jī)的部數(shù)；

（2）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）假設(shè)所購(gòu)進(jìn)手機(jī)全部售出，綜合考慮各種因素，該手機(jī)經(jīng)銷(xiāo)商在購(gòu)銷(xiāo)這批手機(jī)過(guò)程中需另外支出各種費(fèi)用共1500元.

①求出預(yù)估利潤(rùn)P（元）與x（部）的函數(shù)關(guān)系式；（注：預(yù)估利潤(rùn)P＝預(yù)售總額－購(gòu)機(jī)款－各種費(fèi)用）

②求出預(yù)估利潤(rùn)的最大值，并寫(xiě)出此時(shí)購(gòu)進(jìn)三款手機(jī)各多少部.

分析 共有某品牌的A型、B型、C型三款手機(jī)共60部，其中A型手機(jī)x部，B型手機(jī)y部，所以容易求出C型手機(jī)的部數(shù)；由購(gòu)機(jī)款61000元，再依據(jù)表中的信息求出x與y的函數(shù)關(guān)系式；進(jìn)而仍依據(jù)表中的信息求出利潤(rùn)P與x的函數(shù)關(guān)系式，再由每款手機(jī)至少要購(gòu)進(jìn)8部的條件列出不等式組，從而確定了x的取值范圍，并利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解.

解 （1）因?yàn)槟称放频腁型、B型、C型三款手機(jī)共60部，所以用含x，y的式子表示購(gòu)進(jìn)C型手機(jī)的部數(shù)60－x－y.

（2）由題意，得900x+1200y+1100(60－x－y)＝61000，整理得y＝2x－50.

（3）①由題意，得P＝1200x+1600y+1300(60－x－y)－61000－1500，

即P＝500x+500.

②購(gòu)進(jìn)C型手機(jī)部數(shù)為：60－x－y＝110－3x.根據(jù)題意列不等式組，得x≥8

因?yàn)镻是x的一次函數(shù)，k＝500＞0，所以P隨x的增大而增大.

所以當(dāng)x取最大值34時(shí)，P有最大值，最大值為17500元.

此時(shí)購(gòu)進(jìn)A型手機(jī)34部，B型手機(jī)18部，C型手機(jī)8部.

說(shuō)明 在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)大環(huán)境的影響下，用數(shù)學(xué)知識(shí)確定價(jià)格，獲取預(yù)期利潤(rùn)，是中考應(yīng)用性問(wèn)題中最常見(jiàn)的一種.由此，我們更能理解，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)是如何避免盲目投資、創(chuàng)造經(jīng)濟(jì)效益的.

4 通過(guò)復(fù)習(xí)應(yīng)加強(qiáng)培養(yǎng)自己的創(chuàng)新能力

我們知道，創(chuàng)新是一個(gè)民族的靈魂.“創(chuàng)新”是當(dāng)前最熱門(mén)、最廣泛的話題之一，幾乎各行各業(yè)都在談?wù)摵蛯?shí)踐“創(chuàng)新”.創(chuàng)新能力的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，初中階段是人生智力發(fā)展的黃金時(shí)期，從培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，到傳授創(chuàng)新方法，已經(jīng)成為教育界正在探索的重要研究課題.中考，自然不能置身世外.

圖4例4 （2007年棗莊市中考試題）已知：如圖4，在△ABC中，D為AB邊上一點(diǎn)，∠A＝36°，AC＝BC，AC²＝AB·AD.

（1）試說(shuō)明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；

（2）若AB＝1，求AC的長(zhǎng)；

（3）試構(gòu)造一個(gè)等腰梯形，要求該梯形連同它的兩條對(duì)角線所形成的8個(gè)三角形中有盡可能多的等腰三角形.

分析 （1）要說(shuō)明△ADC和△BDC都是等腰三角形，只要能說(shuō)明這兩個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等即可.（2）可以設(shè)AC＝x，則由AC²＝AB·AD構(gòu)造方程即可求解.（3）要求解此問(wèn)題可通過(guò)動(dòng)手畫(huà)圖.

（3）如圖5，按照要求畫(huà)出的梯形中，有4個(gè)，6個(gè)和8個(gè)等腰三角形三種情況：①有4個(gè)等腰三角形；②有6個(gè)等腰三角形；③有8個(gè)等腰三角形.

說(shuō)明 本題的第（1）、（2）問(wèn)看是一道常規(guī)題，但在具體求解時(shí)，必須變換一下思維，或從相似三角形入手，找出角相等，或已知條件構(gòu)造出方程求解，而第（3）小問(wèn)通過(guò)動(dòng)手操作，大膽地嘗試，這些都遵循了人類(lèi)認(rèn)識(shí)新事物、發(fā)現(xiàn)新的科學(xué)現(xiàn)象或規(guī)律的必然進(jìn)程，是對(duì)創(chuàng)新方法的訓(xùn)練.

5 增加開(kāi)放程度

開(kāi)放性題目是近幾年中考的熱點(diǎn)，幾乎成為必考題型.從大處來(lái)看，常見(jiàn)的開(kāi)放題主要有條件開(kāi)放型、結(jié)論開(kāi)放型、策略開(kāi)放型和綜合開(kāi)放型四大類(lèi).

圖6例5 （2007年棗莊市中考試題）如圖6，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于E，交〣C于D.

（1）請(qǐng)寫(xiě)出五個(gè)不同類(lèi)型的正確結(jié)論；

（2）若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半徑.

分析 （1）顯然利用圓的基本性質(zhì)可知有許多正確的結(jié)論.（2）利用垂徑定理與勾股定理即可求得.

解 （1）不同類(lèi)型的正確結(jié)論有：①BC＝CE；②〣D=〤D；③∠BED＝90°；④∠BOD＝∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE²+BE²＝OB²；⑧S△ABC＝BC·OE；⑨△BOD是等腰三角形；⑩△BOE∽△BAC；等等.

（2）因?yàn)镺D⊥BC，所以BE＝CE＝12BC＝4.設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝OD－DE＝R－2.在Rt△OEB中，由勾股定理，得OE²＋BE²＝OB²，即(R－2)²+4²＝R².解得R＝5.所以⊙O的半徑為5.

說(shuō)明 本題中若再添加適當(dāng)?shù)妮o助線則還有許多與之相關(guān)的結(jié)論，同學(xué)們不妨試試.

6 注意加強(qiáng)綜合題訓(xùn)練力度

綜合題一直是中考復(fù)習(xí)最后階段的重點(diǎn)和難點(diǎn)．綜合題所考查的內(nèi)容涉及初中代數(shù)或幾何中若干不同的知識(shí)點(diǎn)，這就需要我們既要扎實(shí)地掌握好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，又具備靈活綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.在近年的中考命題中，綜合題的難度有所下降，形式與內(nèi)容也有一定程度的創(chuàng)新.

例6 （2007年懷化市中考試題）兩個(gè)直角邊為6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED按如圖7所示的位置放置，A與C重合，O與E重合.

（1）求如圖7中，A，B，D三點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）Rt△AOB固定不動(dòng)，Rt△CED沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與B點(diǎn)重合時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒后Rt△CED和Rt△AOB重疊部分面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）當(dāng)Rt△CED以（2）中的速度和方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間x＝4秒時(shí)Rt△CED運(yùn)動(dòng)到如圖7所示的位置，求經(jīng)過(guò)A，G，C三點(diǎn)的拋物線的解析式．

（4）現(xiàn)有一半徑為2，圓心P在（3）中的拋物線上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)圓，試問(wèn)⊙P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在⊙P與x軸或y軸相切的情況，若存在請(qǐng)求出P的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 以圖形為求解的切點(diǎn)，求出A，B，D三點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可以進(jìn)一步求解.

解 （1）由圖形容易求得A(0，6)，B(6，0)，D(－6，0).

說(shuō)明 本題是一道綜合性很強(qiáng)的傳統(tǒng)型壓軸題，其難度比較恰當(dāng)，選拔功能較強(qiáng)，解第4小題時(shí)要注意分類(lèi)討論，這是本題最容易失分的地方.

綜上所述，在全國(guó)各地的中考數(shù)學(xué)試題中，既有基礎(chǔ)知識(shí)，又有源于課本的例習(xí)題，更有高于課本的綜合題、創(chuàng)新題.希望同學(xué)們?cè)诤笃谟邢薜臏乜紩r(shí)間里，能對(duì)照當(dāng)?shù)貧v年的中考試題，吃透考綱要求，把握中考動(dòng)態(tài)，認(rèn)真揣摩命題者的真實(shí)意圖，更好地把握中考、迎戰(zhàn)中考.相信同學(xué)們今年中考必勝！

作者簡(jiǎn)介 劉頓，男，1962年12生，中學(xué)高級(jí)教師，中國(guó)教育學(xué)會(huì)優(yōu)秀會(huì)員，教學(xué)能手，優(yōu)秀教育工作者，近年來(lái)力至于初中數(shù)學(xué)教學(xué)的改革，在省以上報(bào)刊上正式發(fā)表教育教學(xué)文章3000余篇，參編或主編教輔用書(shū)20余部，現(xiàn)任江蘇省射陽(yáng)縣阜余中學(xué)教科室主任.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”