從“算術”走向“代數”的一次教學跋涉

誰都知道方程在算術思維過渡到代數思維過程中的重要價值，但是真正要讓學生熟練地運用方程來解決問題，這條路卻很漫長。由于多年從事高年級數學教學的經歷，我一直在關注與思考圍繞這個主題產生的一些來自現實的問題。例如：

1、作為一種重要的解決問題的思維策略，方程真的在小學生眼里就如成人所認為的比算術思維方法高級嗎?

2、學生即使高度認同代數思維方式的優越性(降低思考難度)，就代表學生一定會無折扣地使用這種方法嗎?

3、從“算術”走向“代數”的轉折點究竟如何把握?是完全回避算術思維方法還是兩種思維方式此消彼長地長期共存?

思考，在實踐中走向深刻

稍復雜分數應用題是整個蘇教版教材(修訂本)第11冊的重點，而其中的稍復雜的分數除法應用題更加是其中的難點。本來小學生的數學思維發展水平到六年級已經處于算術思維與代數思維的轉折點，尤其在稍復雜的分數除法應用題這個知識塊更是這種轉折過程中矛盾凸顯的“事故多發地帶”，由于數量關系的復雜化，帶來學生不易判斷單位“1”的數量與數量之間的關系，特別是遇到較小量作為單位“1”時，判斷往往出錯。加上分數乘法應用題中算術方法解題思維的負遷移，因此這塊內容的教學是公認的老大難問題。

在我校進行的同課異構的校本教研活動中，數學組迎難而上，選擇了“稍復雜分數除法應用題”的一課為切入點，推出了思路不同的課例，并且由此引發了筆者的深深思考與追問。在參與開課與研討的過程中，筆者對于新課程改革的許多理念又有了更深的體驗與理解，同時也產生了許多新的困惑留待今后研究解決……

1、創設情境，引出同題。

我的開場白以去揚州游玩需要準備什么開始，學生說出了不同建議，然后教師歸納為“錢”的問題。學生根據教師提供的兩個素材(600元、1／3)編出了不同類型的問題，有分數乘法問題，當然也包括將要學習的分數除法問題。

2、引導學生自主解答，并且進行充分討論。

學生出現了以下不同的思路：

生甲：我的算式是600÷(1-1／3)。

(教師現場調查：選擇此方法并做對的學生有10人，均為優生)

生乙：我的算式是600÷(3-1)×3=900(元)，因為根據題目條件中的1／3可以看出，把劉老師帶的錢看作3份。用去的是1份，剩下的就是2份，所以先求出每份多少錢，再乘以3，就是劉老師帶的錢。

(生乙在班上屬于“怪才”，常有奇思妙解。全班選擇此方法的只有他1人，但是認同率很高)

教師繼續介紹學生另外的兩種錯誤思路：

A、600×(1-1／3)=400(元) B、600÷1／3=1800(元)

(現場調查，做錯的人數約有全班人數的一半)

師：看了你們剛才的情況，老師既高興又擔憂。高興的是有一批聰明的同學不用老師教就會解答稍復雜的分數除法應用題了，擔憂的是這么多解答錯誤的同學怎么辦?我們得幫他們尋找一種思考起來比較簡單的方法呀。

生丙：老師，可以讓他們列方程解答!

3、重點介紹列方程解答的步驟與格式要求。(略)

4、小結回顧。

師：剛才我們又學習了一種解題的新方法，你有什么感受?

生丁：比分數除法算式要容易些，就是書寫麻煩。

生戊：和600÷(3-1)×3這種方法差不多。都很簡便。

(教師現場調查：愿意選擇列方程解答方法的同學約有全班人數的三分之一多一些，而做錯題目的學生中有超過半數的人認同列方程解應用題，剩下的學生偏愛600÷(3-1)×3這種算術方法。)

5、布置課堂作業：

教師不作任何強制要求，學生自由選擇自己最喜歡的方法，但鼓勵學生一題多解。

課后作業調查顯示數據如下(作業題共4題，難易適中，全班42人)：

①選用列方程解答的學生14人，13人對，1人有錯。

②選擇分數除法解答的15人，12人正確，3人有錯。

③選擇按比例分配和整數除法的12人，全部正確。

活動結束討論時。聽到的大多數是好評聲。我并沒有滿足于其中，而是以繼續審視著自己的教學，許多新的困惑依然縈繞于腦海之中。

困惑一：兩種不同解題思維的平均安排，雖然暫時效果很好，但是否會阻礙學生代數思維的發展，進而影響后繼學習?

困惑二：先嘗試再教的模式真的適合于這類課嗎?

困惑三：學生的代數思維發展是否存在明顯的差異性呢?這對我們的數學又有什么影響?

歸因與出路——到原點后的感悟

每一個教師都知道“教無定法”，我們特定的國度、特定的時代、特定的教材與師生群體決定了我們要以寬容、理性的心態來面對“算術思維”過渡到“代數思維”這一背景下在課例教學時所遭遇的尷尬。對此，我們可以從以下幾個方面來思考。

一、深刻理解傳統數學教學文化對于教師的影響

中國是一個典型的東方古國，自古以來數學這門學科一直被稱為“算術”，傳統的觀念對小學數學教學影響深遠，曾幾何時，我們的教學對學生的算術思維訓練可謂登峰造極，后來經過十多年的發展，教師的觀念才有所轉變，從單一的算術思維訓練到兩種思維方式并存，再到現在提倡的代數思維在大眾數學教育中的重要性。這些都是積極的信號，但是冰凍三尺非一日之寒，許多觀念還需要糾正與轉變：

1、現在的應用題教學不能再停留在解題技巧的封閉操練與生搬硬套上，而應該站在解決問題的高度去實踐，讓學生以數學的視角發現提出數學問題，然后幫助學生形成基本的解決問題的方法與策略，讓他們智慧地學習。這樣，從算術思維方式過渡到代數思維方式就不是那么生硬了，遺憾的是，目前許多數學教師在教學列方程解答應用題時思路仍然停留在一種技巧性的演練，而沒有挖掘其背后的數學背景——數量關系與數學建模的思想。

2、從算術思維方式過渡到代數思維方式絕對不能淡化數量關系的訓練，數量關系訓練無論在以前還是現在都是有效的思維訓練的抓手與載體，許多常見的數量關系本身就是學生經常接觸并且容易理解的。因此教師在教學中可以就同一個問題讓學生從不同的數量關系來列出算式和方程。這樣的訓練實際上是一個數學建模的過程。

3、教師自身也要調整觀念，不要隨意流露出對于某種思維方式的喜好，因為教師的喜好不代表學生的選擇，反而會干擾學生的思維方式選擇。千萬不可以過分強行推廣代數思維方法，這樣做實際上又走了一條片面化的極端之路，因為這種思維方式的過渡是一個漫長而又螺旋式的上升過程，加上在復雜多變的現實情境中，往往無法確定算術思維與代數思維孰比孰劣，我們只有盡最大可能去追求更適合和更恰當的方法。

課堂教學是為了大多數學生思維發展服務，而不是迎合少數優等生的學習。雖然算術方法有時十分簡潔，但是這并不能動搖我們引導孩子們的思維從算術走向代數，而這兩者之間的沖突也許正好是課堂遭遇尷尬之所在。

二、勇于應對來自課堂教學中學生現實的挑戰

華東師大的著名教育學者吳亞萍教授認為：教學要對于學生的思維發展產生真實的推進意義，其前提是不僅需要面對和承認學生的差異，而目還要關注和解讀學生各自的狀態，并且在此基礎上提出不同的要求，以促進他們達到更高的水平。她的研究發現，大部分學生在教學一開始的狀態大多只是具象的思考與應用一般方法甚至是低級方法的水平，正因為如此，需要我們的教學來引導這些學生學會應用高級的思維方法，提升他們的抽象思考水平。

以上論述精辟地指出了小學階段從算術思維過渡到代數思維方式的重要性和基本原則，那就是要不斷地提升，又不能一味地迎合學生的喜好，在螺旋上升的教學中讓學生的代數思維發展達到結構化的思維水平。

讓我們再回到現實課堂：我們不妨按學生的思維水平高低分布程度將課堂分為三類：A類：優、中學生占大多數，學困生極個別。B類：優、中、差各占三分之一。C類：優等生極少數，中、差生占大多數。也許我們很少關注這種分類。但它的確是在城鄉各類學校普遍存在的。如果我們用下面的關系圖來說明什么是最適合它們的最佳模式，也就從根本上理解課堂教學的民主化推進也是分階段的。

不難想象，如果在C類班過早地放開讓學生思考解答，而沒有一種主導性的思維，學生會無所適從，而如果在A類班級采用一種思維強制滲透的話，也會導致學生的反感與不解。而處于B類水平的班級，則處于兩者之間，既要考慮建立主導的解題思維模式，又要兼顧各種個性化的解題思路。

基于以上的感悟，我認為自己的那次教學嘗試也許并不是成功的案例，因為我教的那個班思維水平介于A類與B類之間，表面的和諧并不能說明我把課堂上的收與放已經控制在一個恰當程度。

三、尋找中間地帶——培養學生的準變量思維能力

國內的數學教育學者徐文彬提出了培養學生準變量思維能力的觀點，可以有效地緩解從算術思維過渡到代數思維之間的割裂狀態。那么，什么是準變量思維呢?準變量思維的對象主要是準變量(表達式)及其代數關系與結構的非符號陳述；準變量思維的核心是充分利用算術中所隱含的代數關系與結構，以對算術及其問題進行“代數地思考”。準變量既不是常量也不是變量，而是介于兩者之間，即，它是數字語句中數字的關系和結構解釋，或數字語句中數字的代數意義；而準變量思維則是介于算術思維和代數思維之間的一種數學思維形式，它是學生數學思維從算術思維發展到代數思維的橋梁和紐帶。

那么如何培養學生的準變量思維的能力呢?

1、教師要習慣用自己的“代數眼睛和代數耳朵”，敏銳發掘可以培養學生準變量思維的素材。其實在小學低年級的一些加減法計算中就蘊涵了代數的變量思維素材，例如：

12+( )=20 32-( )：8

總之我們在日常課堂教學中，應把培養學生的準變量思維貫穿于教學的各個環節或方面：在教學的準備工作中，要充分挖掘算術中的準變量素材(比如，等號的關系性質，算術任務及其表達式在其未完成的形式中也還保留著代數的韻味，等等)，做好教學設計；在課堂教學當中，要明確培養學生準變量思維的具體要求和目標，努力提高小學數學有效教學的層次與水平：在數學學習成績評價方面，也應給予準變量思維以一定的“空間”，以確保準變量思維培養的落實；在課外輔導、各種競賽訓練和(數學)綜合實踐探索活動中，更要有意識地培養學生準變量思維，以提升他們對算術基礎的理解，并孕伏對算術和代數之間關系的認識。所有這一切都非常有利于學生數學素質的培養與提高，也有助于教師自身數學素養的升華和教學水平的提升。

2、在開展準變量思維教學時，教師應有意識防止兩種錯誤傾向：用準變量思維代替算術思維；用代數思維來取代準變量思維。這樣，就會造成把算術思維與準變量思維對立起來，而用準變量思維代替算術思維的錯誤傾向。總體上來看，這種“對立與代替”不利于學生數學素質的培養與提高。因此，為防止這種錯誤傾向的出現，我們應該在小學數學教學中，把數的常量特性和準變量特性以及算術思維和準變量思維有機地結合起來，以培養與提高學生的數學素質。也就是說，雖然我們在小學數學教學中提倡培養學生的準變量思維，但這并不排斥數概念、數計算以及數計算程序等的獲得。

最后還要強調：雖然我們在小學數學教學中提倡培養學生的準變量思維，但無意要把代數及其思維作為小學數學教學的內容和目標。小學生數學思維仍然是算術思維為主，處于算術思維向代數思維的過渡狀態，這一點毋庸置疑。