讓學生充分經歷數學模型的建構過程

關于“長方形、正方形面積計算”這一部分知識的教學，筆者一直有這樣的困惑：

1、學生怎么會有“長方形所合的平方厘米數等于長、寬厘米數的乘積”這一體驗的?讓學生完成相應的擺擺、想想、畫畫、說說活動后，學生似乎很快就探究出了長方形面積的計算方法，但學生通過簡單的操作活動就會有這樣的體驗并且很深刻嗎?能以成人的眼光審視兒童的體驗嗎?

2、對學生的操作活動加以定向，是不是僅讓學生充當一次“操作工”?(顧汝佐先生語)操作需要探究性，這樣才有意義學習的價值。操作之前，讓學生明白操作目的，并且按照一定的程序去探索“長方形、正方形面積計算”的方法，問題似乎缺少了開放性和挑戰性。只要學生按照既定步驟去完成，就會有所發現，學生活動的探究性似乎不強。操作能因為“開放性”就無需考慮操作程序而“放任自流”嗎?

基于上述思考，筆者在一所學校作了如下嘗試：

[案例描述]

一、創設情境，初步感知。

師：森林運動會開始了，參加賽跑的烏龜和兔子特地制作了兩面小彩旗(烏龜制作的小彩旗為長5厘米、寬3厘米的長方形：兔子制作的小彩旗為邊長4厘米的正方形，如圖1)，要獻給奮力拼搏的運動健將們。

師：它們都說自己制作的小彩旗面積大。究竟誰制作的小彩旗面積大呢?請小朋友們先猜一猜，再想辦法驗證一下。

(學生猜測、驗證并交流。)

生1：我認為可以把兩個圖形重合起來比一比。

生2：我想可以用1平方厘米的正方形紙片擺一擺，看哪一個用的正方形紙片多，哪一個面積就大。

師：小朋友，你們認為用哪種方法好呢?

生3：我認為用1平方厘米的正方形紙片擺的方法比兩個圖形重合起來比一比的方法更明顯。

師：那就試一試吧!

師：如果要知道黑板的面積，還能用1平方厘米的小正方形去擺嗎?

生4：不能。

生5：那很麻煩，需要擺很長時間，我們還得找一個更簡便的方法。

師：對，下面我們就一起來探索長方形和正方形面積計算的一般方法吧。

二、實踐操作，探究規律。

師：剛才小朋友們想出了用擺的方法，數出了烏龜和兔子制作的小彩旗的面積，是不是每一個圖形都有這樣的規律呢?請小朋友們按照下面的要求做一做(出示問題)：

1、用6個1平方厘米的正方形紙片。擺幾種長方形，數數每行擺幾個，擺幾行，擺出的每種長方形的面積、長和寬分別是多少?

2、再用任意多個1平方厘米的正方形紙片，擺幾種長方形，數數每行擺幾個，擺幾行，擺出的每種長方形的面積、長和寬分別是多少?

3、把你們的探究過程和發現填寫在下列表格中，并把你們的想法說給同伴聽一聽。

4、通過以上操作，你發現長方形的面積怎樣計算呢?

(學生分小組操作、探究并在小組范圍內交流。)

三、合作交流，建構模型。

生1：我們小組是這樣擺的(見表1)，我們發現擺成的長方形或正方形面積平方厘米數正好是長方形或正方形所含1平方厘米正方形的個數。

師：你們是怎么知道的呢?

生2：我們發現，如果每行擺5個，擺3行，擺出的長方形一共用15個1平方厘米的正方形紙片。

生3：如果每行擺4個，擺5行，擺出的長方形一共用20個1平方厘米的正方形紙片，也就是20平方厘米。

生4：我們發現，如果每行擺3個，擺3行，擺出的正方形一共用9個1平方厘米的正方形紙片。

生5：我們小組擺的情況是這樣的(見表2)，我們發現長方形面積=長×寬；正方形面積：邊長×邊長。

師：你們又是怎么探究出長方形或正方形面積計算方法的呢?

生6：可以這樣想(學生在投影儀上邊擺邊說)，因為1平方厘米的正方形邊長是1厘米，用它來擺長方形，如果每行擺5個，擺成的長方形的長就是5厘米；擺4行，擺成的長方形的寬就是4厘米，擺成的長方形的平方厘米數20剛好就是長與寬的乘積。

生7：如果每行擺6個，擺成的長方形的長就是6厘米；擺4行，擺成的長方形的寬就是4厘米，擺成的長方形的平方厘米數24也剛好就是長與寬的乘積。

生8：正方形也是一樣的。如果每行擺4個，擺4行，擺成的正方形的邊長就是4厘米，一共用了16個1平方厘米的小正方形，剛好等于正方形的邊長與邊長的乘積。

四、驗證規律，深化認識。

師：同學們剛才發現了長方形面積和它的長與寬之間，以及正方形的面積與它的邊長之間存在著一種規律，那么用24個1平方厘米的小正方形可以擺成哪幾種長方形呢?擺成的長方形的面積、長和寬分別是多少呢?現在請小朋友先想一想可以擺成怎樣的長方形，再擺一擺，或者用方格圖畫一畫，看看你有什么發現?

生1：我是用擺的方法……

生2：我是用畫方格圖的方法……

五、歸納總結，拓展思維。

師：老師也想制作一個面積為16平方厘米的小彩旗獻給奮力拼搏的運動健兒們，這面小彩旗會是一個怎樣的圖形呢?請小朋友先想一想，再畫一畫。

學生思考、繪畫并交流。

[反思]

1 應重視并發展學生的問題解決能力

波利亞指出：“數學老師的首要責任是盡其一切來發展學生解決問題的能力。”問題以題組的形式呈現，讓學生按照一定的要求完成操作活動，并把得到的結論在小組范圍內先展開交流，可以滿足學生的求知欲和表現欲，調動學生的熱情；另一方面，讓學生圍繞一定的主題進行設想、操作、討論，思維發生碰撞，起初學生建立的“長方形所含的平方厘米數等于長、寬厘米數的乘積”的模型也許是模糊的，但通過集體交流，智慧的火花再次發生裂變，學生對長方形和正方形面積計算“數學模型”的建構會更加深刻，由此養成一種問題意識和探究能力，并為以后學習長方體、正方體的體積計算積累豐富的經驗。

2 讓學生經歷數學模型的建構過程

數學模型的建構不是一蹴而就的。本教學案例中，我先讓學生用確定的6個1平方厘米的小正方形擺一擺，再讓學生用任意多個1平方厘米的小正方形擺一擺，進行操作探究，然后讓學生用24個1平方厘米的小正方形紙片擺，或畫面積為24平方厘米的長方形，在操作、驗證、交流過程中，有的同學能較快地建立“長方形所含的平方厘米數等于長、寬厘米數的乘積”的模型。說明他們在日常生活中已經有了相關經驗，如擺畫片，搭積木等，并且抽象概括能力較強，他們對于類似問題的解決表現得得心應手。而有的同學平時的體驗不是很深，需要“感悟”才有這樣的體驗，在比較與反思中對“長方形面積計算”才有深層次的理解，思維品質也才能在交流中發展，情感、意志、態度在交流中升華。他們在探究過程中表現出來的艱辛和喜悅，體現了“人人學不同的數學，不同的人在數學上有不同的發展”這一重要的理念。